En el análisis matemático, más exacto en el análisis de Microlocal, el frente de onda del (fijar) WF ( f ) caracteriza las singularidades de un f de la función generalizada, no sólo en el espacio, pero más exacto también con respecto a su Fourier transforma en cada punto.

Introducción

En términos más familiares, WF ( f ) dice no sólo a donde no está " el f de la función; nice" (que es descrito ya por su ayuda singular ), pero también cómo o porqué él no es agradable, siendo más exacto sobre la “dirección”. Este concepto es sobre todo útil en la dimensión por lo menos dos, por lo tanto. El " del término; front" de la onda; fue acuñado por el Lars Hörmander alrededor 1970 .

El frente de onda del determinado es un subconjunto cónico cerrado de del paquete de la cotangente

$T^*(X)$

del multíple diferenciable X en el cual se considera la función generalizada. Se define tales que su proyección en el X es igual a la ayuda singular w. de la función la regularidad considerada (es decir gavilla secundaria-pre del " smoother" funciones).

Definición

Usar, local \ xi, el frente de onda WF determinado ( f ) de los coordenadas del $x\; de\; un\; f\; de\; la\; función\; generalizada\; se\; puede\; definir\; de\; la\; manera\; general\; siguiente:$

$\{\backslash \; rm\; WF\}\; (f)\; =\; \backslash \; \{(),\; \backslash \; XI\; de\; x\; \backslash \; en\; T^*(X)\; \backslash \; mediados\; de\; \backslash \; XI\; \backslash \; en\; \backslash \; Sigma\_x\; (f)\; \backslash \}$

donde $\backslash \; Sigma\_x\; (f)$ es el " fibra singular del f sobre " del x ;, cuál es el complemento ortogonal de todo el $\backslash \; xi$ de las direcciones tales que el Fourier transforma del f, " localized" en el x, está suficientemente el " nice" cuando está restringido a una vecindad cónica del $\backslash \; xi$.

" Localized" puede aquí ser expresado diciendo que el f es truncado por una cierta función lisa del atajo que no desaparece en el x . (El proceso de la localización se podría hacer en una manera más elegante, usar los gérmenes )

Más concreto, esto se puede expresar como $\backslash \; XI\; \backslash \; notin\; \backslash \; Sigma\_x\; del$

l (f) \ iff \ existe \ phi \ en \ D_x mathcal, \ \ existe V \ en \ V_ mathcal \ XI: \ widehat {\ phi f}|_V \ en O (V) (o $\backslash \; xi=o$, nunca en el $\backslash \; Sigma\_x\; (f)$) donde
el $\backslash \; D\_x$ mathcal son las funciones lisas compacto apoyadas que no desaparecen en el x,
el $\backslash \; V\_\; mathcal\; \backslash \; xi$ son las vecindades cónicas $\backslash \; xi$, es decir V de las vecindades tales que $c\; \backslash \; el\; cdot\; V\; \backslash \; subconjunto\; V$ para todo el $c\; >\; 0$,
$\backslash \; widehat\; u|\_V$ denota el Fourier transforma (compacto apoyado generalizado) del u de la función, restringido al V,
y finalmente $O:\; \backslash \; Omega\; \backslash \; a\; O\; (\backslash \; Omega)$ es el presheaf que caracteriza la regularidad del Fourier transforma.

Típicamente, las secciones del O son caracterizadas por una cierta condición del crecimiento (o disminución) en el infinito, e. tal que el $(1+|\backslash \; XI|)\; los\; ^s\; v\; (\backslash \; XI)$ pertenecen a un cierto espacio L^p. Esta definición tiene sentido, porque el Fourier transforma se convierte en más asiduo (en términos de crecimiento en el infinito) cuando el f se trunca con el $liso\; \backslash \; phi$ del atajo.

El " más difícil; problem", desde un punto de vista teórico, está encontrando el adecuado O de la gavilla el caracterizar de las funciones que pertenecen a un dado E del subsheaf del G del espacio de funciones generalizadas.

Ejemplo

Si tomamos el G = &prime del D ; el espacio de las distribuciones de Schwartz y quiere caracterizar las distribuciones que están localmente las funciones del $C^\; \backslash \; infty$, debemos tomar para el O (el Ω) los espacios de función clásicos llamaron el &prime del O ; M (&Omega del _{;) en la literatura.}

Entonces la proyección en el primer componente del sistema del frente de onda de una distribución no es nada que su ayuda singular, es decir el complemento clásico del sistema en el cual su restricción sería una función lisa .

Usos

El sistema del frente de onda es útil, entre otros, al estudiar la propagación de las singularidades de los operadores de Pseudodifferential

Ver también

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