En las matemáticas, en Punto-fijar más específicamente la topología, el sistema derivado de un S del subconjunto de un que el espacio topológico es el sistema de todos los puntos de límite del S . Es denotado generalmente por el S′ .

El concepto primero fue introducido por el chantre de Jorge en 1872 y él desarrolló la teoría determinada en parte grande a los sistemas derivados estudio en la línea verdadera .

Características

Un S del subconjunto de un espacio topológico es cerrado exacto cuando los S \ el subseteq S. El S de dos subconjuntos y el T son separado exacto cuando son desunen y es cada uno desune del otro sistema derivado (los sistemas derivados no necesitan sin embargo ser desunen de uno a).

El S del sistema se define para ser el perfecto si S = S′ . Equivalente, un sistema perfecto es un sistema cerrado sin los puntos aislados

Dos espacios topológicos son el homeomórfico si y solamente si hay un Bijection a partir del uno al otro tales que el sistema derivado de la imagen de cualquier subconjunto es la imagen del sistema derivado de ese subconjunto.

El teorema del Chantre-Bendixson del indica que cualquier espacio del polaco se puede escribir como la unión de un sistema contable y de un sistema perfecto. Porque cualquier subconjunto de G δ del de un espacio polaco es otra vez un espacio polaco, el teorema también demuestra que cualquier subconjunto de G δ del de un espacio polaco es la unión de un sistema contable y de un sistema perfecto.

Topología en términos de sistemas derivados

Porque los homeomorphisms se pueden describir enteramente en términos de sistemas derivados, los sistemas derivados se han utilizado como la noción primitiva en la topología . Un sistema del X de los puntos se puede equipar de un operador * que traza subconjuntos del X a los subconjuntos del X, tal que para cualquie S del sistema y cualquie del punto un : del

\

  • = \ empty del empty^*
  • del S^ {**} \ del subseteq S^* a \ en S^* \ a a \ adentro (S \ setminus \ {a \})
  • de ^* (S \ taza T)^* \ subseteq S^* \
  • de la taza T^* S \ subseteq T \ a S^* \ al subseteq T^*

    Observar que 5 dados, 3 es equivalentes a 3 ' abajo, y que 4 y 5 juntos son equivalentes a 4 ' abajo, así que tenemos los axiomas equivalentes siguientes: del

    \

  • = \ empty del empty^* l S^ {**} \ del subseteq S^* 3 '.   S^* = (S \ setminus \ {a \}) ^*
    4 '.   \, (S \ taza T)^* = S^* \ taza T^*
  • ¡Si llamamos un sistema S cerrado si el S^* \ el subseteq S, éste definen una topología en el espacio en el cual * es el operador determinado derivado, es decir, S^* = s \, \! . Si también requerimos que el sistema derivado de un sistema que consiste en un solo elemento sea vacío, el espacio resultante será un espacio T1.

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