Si el axioma de la opción también se sostiene, después las condiciones siguientes son todas equivalentes: el S del

es un sistema finito.

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El chantre de Jorge inició su teoría de sistemas para proporcionar un tratamiento matemático de sistemas infinitos. Así la distinción entre las mentiras finitas e infinitas en la base de la teoría determinada. Ciertos foundationalists, los finitists terminantes, rechazan la existencia de sistemas infinitos y abogan así matemáticas basadas solamente en sistemas finitos. Los matemáticos de corriente consideran el finitism terminante que confina también, pero reconocen su consistencia relativa: el universo de los sistemas finitos constituye hereditario un modelo de la teoría determinada de Zermelo-Fraenkel con el axioma del infinito substituido por su negación.

Incluso para esos matemáticos que abracen sistemas infinitos, en ciertos contextos importantes, la distinción formal entre el finito y el infinito puede permanecer un asunto delicado. La dificultad proviene los teoremas del estado incompleto de Gödel. Uno puede interpretar la teoría de sistemas hereditario finitos dentro Peano aritmético (y ciertamente también viceversa), así que el estado incompleto de la teoría de la aritmética de Peano implica el de la teoría de sistemas hereditario finitos. Particularmente, existe una plétora de los modelos no estándar supuesto de ambas teorías. Una paradoja que parece, los modelos no estándar de la teoría de sistemas hereditario finitos contiene sistemas infinitos --- pero estos sistemas infinitos parecen finitos dentro del modelo. (Esto puede suceder cuando el modelo carece los sistemas o las funciones necesarios atestiguar la infinidad de éstos fija.) A causa de los teoremas del estado incompleto, ningún predicado de primer orden, ni incluso cualquier esquema recurrente de predicados de primer orden, puede caracterizar la parte estándar de todos tales modelos. Así pues, por lo menos desde el punto de vista de la lógica de primer orden, uno puede esperar solamente caracterizar aspecto finito aproximadamente.

Más generalmente, las nociones informales como el determinado, y particularmente el sistema finito, pueden recibir interpretaciones a través de una gama de sistemas formales que varían en su axiomatics y aparato lógico. Las teorías determinadas axiomáticas más conocidas incluyen la teoría determinada (ZF) de Zermelo-Fraenkel, la teoría determinada de Zermelo-Fraenkel con el axioma de la opción (ZFC), la teoría determinada (NBG) de Von Neumann-Bernays-Gödel, la teoría determinada No-bien-fundada, tipo teoría y todas las teorías de s de Bertrand Russell 'de sus varios modelos. Uno puede también elegir entre lógica de primer orden clásica, varias lógicas higher-order y lógica intuicionista.

Un formalista pudo ver el significado del determinado que variaba de system to system. Un Platonist pudo ver sistemas formales particulares como aproximar una realidad subyacente.

En los contextos en donde la noción del número natural se sienta lógicamente antes de cualquier noción del sistema, uno puede definir un determinado S como finito si el S admite un Bijection a un cierto sistema de los números naturales del

Interesante, las varias características que seleccionan los sistemas finitos entre todos los sistemas en la teoría ZFC resultan lógicamente inequivalent en sistemas más débiles tales como ZF o teorías determinadas intuicionistas. Dos definiciones ofrecen prominente en la literatura, una debido al Richard Dedekind, el otro al Kazimierz Kuratowski (Kuratowski es la definición usada arriba).

Llamar un Dedekind del S del sistema infinito si existe un $f\; inyectivo,\; no-surjective\; de\; la\; función:\; S\; \backslash \; rightarrow\; S$. Tal función exhibe un bijection entre el S y un subconjunto apropiado del S, a saber la imagen del f . Dado un x del elemento en un determinado infinito S de Dedekind, podemos formar una secuencia infinita de elementos distintos del S, a saber $x,\; f\; (x),\; f\; (f\; (x)),\dots$. Inversamente, dado una secuencia en el S que consiste en los elementos $x\_1,\; x\_2,\; x\_3,\dots$, podemos definir un f de la función tales que en elementos en el =x_ del $f\; de\; la\; secuencia\; (x\_i)\; \{i+1\}$ y el f se comporta como la función de identidad de otra manera. Así los sistemas infinitos de Dedekind contienen los subconjuntos que corresponden bijectively con los números naturales. Dedekind finito significa naturalmente que cada uno mismo-mapa inyectivo es también surjective.

El aspecto finito de Kuratowski se define como sigue. Dado cualquier S del sistema, la operación binaria de la unión dota el P de Powerset con la estructura de un Semi-enrejado . El K de la escritura para el secundario-semi-enrejado generado por vacío-fijó y los singletons, determinado S Kuratowski de la llamada finito si el S sí mismo pertenece al K . Intuitivo, el K consiste en los subconjuntos finitos del S . Crucial, uno no necesita la inducción, la repetición o una definición de números naturales definir el generado por puesto que uno puede obtener el K simplemente tomando la intersección de todos los secundario-semi-enrejados que contienen el sistema vacío y los singletons .

Los lectores desconocedores con semi-enrejados y otras nociones de la álgebra abstracta pueden preferir una formulación enteramente elemental. El finito S de los medios de Kuratowski miente en el K del sistema, construido como sigue. Escribir a M para el sistema de todo el X de los subconjuntos de P ( S ) tales que:
El X contiene el sistema vacío;
El X contiene el T implica el X contiene la unión del T cualquier singleton.