En las matemáticas, un sistema insignificante es un sistema que es bastante pequeño que puede ser no hecho caso para un cierto propósito. Como ejemplos comunes, los sistemas finitos pueden ser no hechos caso cuando estudiar el límite de una secuencia, y los sistemas nulos se puede no hacer caso cuando estudia el integral de una función mensurable .

Los sistemas insignificantes definen varios conceptos útiles que se puedan aplicar en varias situaciones, tales como casi por todas partes de la verdad. Para que éstos trabajen, es generalmente solamente necesario que los sistemas insignificantes forman un ideal; es decir, que el sistema vacío sea insignificante, la unión de dos sistemas insignificantes sea insignificante, y cualquier subconjunto de un sistema insignificante sea insignificante. Para algunos propósitos, también necesitamos este ideal ser un Sigma-ideal, de modo que las uniones contables de sistemas insignificantes sean también insignificantes. Si I y J son ambos ideales de los subconjuntos del mismo determinado X, después uno puede hablar de subconjuntos del I-negligible y del J-negligible .

Ejemplos

Dejar X ser el sistema N de los números naturales y dejar un subconjunto de N ser insignificante si él es el finito. Entonces los sistemas insignificantes forman un ideal. Esta idea se puede aplicar a cualquier sistema infinito ; pero si está aplicado a un sistema finito, cada subconjunto será insignificante, que no es una noción muy útil.

O dejar X sea un sistema no numerable, y deja un subconjunto de X ser insignificante si es el contable. Entonces los sistemas insignificantes forman un sigma-ideal.

Dejar X ser un espacio mensurable equipado de una medida m, y dejar un subconjunto de X ser insignificante si es la falta de información de m-. Entonces los sistemas insignificantes forman un sigma-ideal. Cada sigma-ideal en X puede ser recuperado de esta manera poniendo una medida conveniente en X.

Dejar X ser un espacio topológico, y dejar un subconjunto ser insignificante si está de la primera categoría, es decir, si es una unión contable de los sistemas En ninguna parte-densos (donde está en ninguna parte-denso un sistema si no es el denso en ningún sistema abierto ). Entonces los sistemas insignificantes forman un sigma-ideal. X es un espacio de Baire si el interior de cada tal sistema insignificante es vacío.

Dejar X ser un sistema dirigido, y dejar un subconjunto de X ser insignificante si tiene un límite superior . Entonces los sistemas insignificantes forman un ideal. El primer ejemplo es un caso especial de esto usar ordenar generalmente de N.

Conceptos derivados

Dejar X ser un fijado, y dejar I ser un ideal de los subconjuntos insignificantes de X. Si p es un asunto sobre los elementos de X, después p es el verdadero casi por todas partes del si el sistema de puntos donde está verdad p es el complemento de un sistema insignificante. Es decir, p no puede siempre ser verdad, sino que es falso tan raramente que esto se puede no hacer caso para los propósitos actuales.

Si f y g son funciones de X al mismo espacio Y, después f y g son el equivalente si son iguales casi por todas partes. Para hacer el párrafo introductorio exacto, entonces, dejó X ser N, y dejó los sistemas insignificantes ser los sistemas finitos. Entonces f y g son secuencias. Si Y es un espacio topológico, después f y g tienen el mismo límite, o ambos no tienen ninguno. (Cuando usted generaliza esto a los sistemas dirigidos, usted consigue el mismo resultado, pero para el pesca ) O, dejar X ser un espacio de medida, y dejar los sistemas insignificantes ser los sistemas nulos. Si Y es la línea verdadera R, después o f y g tienen el mismo integral, o se define ninguno de los dos integrales.

Ver también

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