Un sistema linear es un modelo matemático de un sistema basado en el uso de un operador linear . Los sistemas lineares exhiben típicamente las características y las características que son mucho más simples que el general, caso no linear . Como una abstracción o idealización matemática, los sistemas lineares encuentran usos importantes en teoría del control automático, el tratamiento de señales, y las telecomunicaciones . Por ejemplo, el medio de la propagación para los sistemas de comunicación sin hilos puede a menudo estar modelado por los sistemas lineares.

Un sistema determinista general se puede describir por el operador $H$ que traza un $x\; de\; la\; entrada\; (t)$ en función de $t$ a una salida $y\; (t)$, un tipo de descripción de la caja negra . Los sistemas lineares satisfacen las características de la superposición y del escalamiento :
válido dado $x\_1\; del$
de dos entradas (t) \,
$x\_2\; de$ (t) \, así como su
respectivo $y\_1\; del$
de las salidas (t) = H \ ido \ {
$y\_2\; de\; x\_1\; (t)\; \backslash \; derecho\; \backslash \}$ (t) = H \ ido \ {x_2 (t) \ derecho \} entonces un sistema linear debe satisfacer el $\backslash \; la\; alfa\; y\_1\; del\; (t)\; +\; \backslash \; y\_2\; beta\; (t)\; =\; H\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; \{\backslash \; alfa\; x\_1\; (t)\; +\; \backslash \; x\_2\; beta\; (t)\; \backslash \; derecho\; \backslash \}$ para cualquier escalar valora el $\backslash \; la\; alfa\; \backslash ,$ y $\backslash \; beta\; \backslash ,$. ¡

El comportamiento del sistema resultante sujetado a una entrada compleja se puede describir como suma de respuestas a entradas más simples. En sistemas no lineares, no hay tal relación. Esta característica matemática hace la solución de ecuaciones de modelado más simple que muchos sistemas no lineares. Para los sistemas tiempo-invariantes ésta es la base de la respuesta de impulso o de los métodos de la respuesta de frecuencia (véase la teoría de sistema LTI ), que describen un $x\; de\; la\; función\; de\; entrada\; del\; general\; (t)$ en términos de impulsos de la unidad o componentes de la frecuencia.

Las ecuaciones diferenciales típico que de los sistemas tiempo-invariantes linear se adaptan bien al análisis usar el Laplace transforman en el caso continuo, y el Z-transform en el caso discreto (especialmente en puestas en práctica de la computadora).

Otra perspectiva es que las soluciones a los sistemas lineares abarcan un sistema de las funciones que actúan como los vectores en el sentido geométrico.

Un de uso común de modelos lineares es describir un sistema no linear por la linearización . Esto se hace generalmente para la conveniencia matemática.

Respuesta de impulso de tiempo variable

El de tiempo variable h ( t ₂, t ₁) de la respuesta de impulso del de un sistema linear se define como la respuesta del sistema en el t del tiempo = el t ₂ a un solo impulso aplicado en el t del tiempo = el t ₁. Es decir si es el x ( t ) de la entrada a un sistema linear

$x\; (t)\; =\; \backslash \; delta\; (t-t\_1)\; \backslash ,$

donde δ ( t ) representa la función de delta de Dirac, y el correspondiente y ( t ) de la respuesta del sistema es

l $y\; (t)\; |\_\; \{t=t\_2\}\; =)\; t\_2,\; t\_1\; \backslash ,\; de\; h\; ($

entonces el h ( t ₂, t ₁) de la función es la respuesta de impulso de tiempo variable del sistema.

Integral de tiempo variable de la circunvolución

Tiempo continuo

La salida de cualquier sistema linear del tiempo continuo es relacionada con la entrada por el integral de tiempo variable de la circunvolución: $y\; del$

l (t) = \ ^ del int_ {- \ infty} {\ infty} h (t, s) x ds

o, equivalente, $y\; del$

l (t) = \ ^ del int_ {- \ infty} {\ infty} h (t, t \ tau) x (t \ tau) d \ tau

donde $\backslash \; tau\; =\; t\; -\; s\; del$

l \,

representa el tiempo de retraso entre el estímulo en el s del tiempo y la respuesta en el t del tiempo.

Tiempo discreto

La salida de cualquier sistema linear del tiempo discreto es relacionada con la entrada por la suma de tiempo variable de la circunvolución: $del$

l y = \ ^ del sum_ {k=- \ infty} {\ infty} {h x}

o equivalente, $del$

l y = \ ^ del sum_ {m=- \ infty} {\ infty} {h x}

donde $del$

l k = nanómetro \,

representa el tiempo de retraso entre el estímulo en el k del tiempo y la respuesta en el n del tiempo.

Causalidad

Un sistema linear es el causal si y solamente si la respuesta de impulso de tiempo variable del sistema es idénticamente cero siempre que el t del tiempo de la respuesta sea anterior que el s del tiempo del estímulo. Es decir para un sistema causal, la condición siguiente debe sostenerse: $h\; del$

l (t, s) = 0 \ \ \ \ \ t < s del mathrm {para}

Ver también

Sistema linear de los divisores en la geometría algebraica .
Teoría de sistema LTI
Análisis de sistema
Sistema de las ecuaciones lineares
Sistema no linear

ath-trozo

.

Zenithic

Ode, Gujarat

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