En las matemáticas, un sistema nulo es un sistema que es insignificante en un cierto sentido . Para diversos usos, el significado del " negligible" varía. En la teoría determinada, hay solamente un sistema nulo, y es el sistema vacío . En la teoría de medida, fijada de la medida 0 se llama un sistema nulo (o simplemente una medida cero determinado del ). Más generalmente, siempre que un ideal se tome según lo entendido, después un sistema nulo es cualquier elemento de eso ideal.

El resto de este artículo discute la noción medida-teórica.

Definición

Dejar el X ser un espacio mensurable, dejar el μ ser una medida en el X, y dejar el N ser un sistema mensurable en el X . Si el μ es una medida positiva, después el N es la medida cero nula (o del ) si su μ de la medida ( N ) es el cero. Si el μ no es una medida positiva, después el N es μ-nulo si es el N |μ|- falta de información, donde |μ| es la variación total del μ; equivalente, si cada mensurable A del subconjunto del N satisface el μ ( A ) = 0. Para las medidas positivas, esto es equivalente a la definición dada arriba; pero para las medidas firmadas, esto es más fuerte que simplemente diciendo ese μ ( N ) = 0.

Un sistema nonmeasurable se considera nulo si es un subconjunto de un sistema mensurable nulo. Algunas referencias requieren un sistema nulo ser mensurable; sin embargo, los subconjuntos de sistemas nulos son todavía insignificantes para los propósitos medida-teóricos.

Al hablar de sistemas nulos en el '' n euclidiana '' - espaciar el n , él del ^{del R de se entiende generalmente que la medida que es utilizada es la medida de Lebesgue.}

Características

El sistema vacío es siempre un sistema nulo. Más generalmente, cualquier unión contable de sistemas nulos es nula. Cualquier subconjunto mensurable de un sistema nulo es sí mismo un sistema nulo. Junto, estos hechos demuestran a eso el m - sistemas nulos de la forma del X un Sigma-ideal en el X . Semejantemente, el mensurable m - los sistemas nulos forman un sigma-ideal de la Sigma-álgebra de sistemas mensurables. Así, los sistemas nulos se pueden interpretar como sistemas insignificantes que definen una noción casi por todas partes .

Medida de Lebesgue

La medida de Lebesgue es la manera estándar de asignar una longitud, el área o el volumen a los subconjuntos del espacio euclidiano .

Un N del subconjunto del R tiene medida nula de Lebesgue y se considera para ser un sistema nulo en el R si y solamente si: el del dado cualquier e, del número positivo del allí es a la secuencia { n del _{del I } de los intervalos tales que el N está contenido en la unión del n} del _{del I y la longitud total del n} del _{del I es menos que el e . Esta condición se puede generalizar al n del ^{del R, usar el n - cubos en vez de intervalos. De hecho, la idea se puede hacer para tener sentido en cualquier múltiple topológico, incluso si no hay medida de Lebesgue allí.}}

Por ejemplo:
Con respecto al n del ^{del R, todo el los sistemas de 1 punto es nulo, y por lo tanto todos los sistemas contables son nulos. Particularmente, el Q del sistema de los números racionales es un sistema nulo, a pesar de ser el denso en el R .
El chantre determinado es un ejemplo de un sistema no numerable nulo en el R .
Todos los subconjuntos de n} del ^{del R cuya dimensión sea más pequeño que el n tienen medida nula de Lebesgue en el n} del ^{del R . Por ejemplo las líneas rectas o los círculos son sistemas nulos en el 2} del ^{del R .
Lema de Sard: el sistema de los valores críticos de una función lisa tiene medida cero.}

Aplicaciones

Los sistemas nulos desempeñan un papel dominante en la definición Lebesgue integral: si el f de las funciones y el g está igual excepto prendido un sistema nulo, después el f es integrable si y solamente si es el g, y sus integrales son iguales.

Una medida en la cual todos los subconjuntos de sistemas nulos son mensurables es el completo del . Cualquier medida no-completa se puede terminar para formar una medida completa afirmando que los subconjuntos de sistemas nulos tienen medida cero. La medida de Lebesgue es un ejemplo de una medida completa; en algunas construcciones, ha definido como la terminación de una medida no-completa de Borel.

Ver también

Función del chantre
Medida (matemáticas)

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