En matemática, especialmente teoría de la orden, un pidió parcialmente determinado (o el poset ) formaliza el concepto intuitivo de ordenar, de una secuencia, o de un arreglo de los elementos de un determinado. Un poset consiste en un sistema junto con una relación binaria que describa, para ciertos pares de elementos en el sistema, el requisito que uno de los elementos debe preceder el otro. Sin embargo, un sistema parcialmente pedido diferencia de una orden del total en que algunos pares de elementos no se pueden relacionar el uno al otro de esta manera. Un poset finito se puede visualizar a través de su diagrama de Hasse, que representa la relación el ordenar entre ciertos pares de elementos y permite que uno reconstruya la estructura parcial de la orden del conjunto.
Un ejemplo de la vida real familiar de un sistema parcialmente pedido es una colección de gente pedida por descendancy genalogical. Algunos pares de gente llevan la relación del antepasado-descendiente pero, otros pares no llevan generalmente ninguna tal relación.
Definición formal
Una orden parcial es un " de la relación binaria ; ≤" sobre un determinado P que sea el reflexivo, el antisimétrico, y el transitivo, es decir, para todo el un, el b, y el c en el P, tenemos eso:
un ≤ un (reflexivity);
si un ≤ b y ≤ del b un de entonces = b (antisymmetry);
si un ≤ b y del ≤ c del b entonces un ≤ c (transitividad).
Es decir una orden parcial es un antisimétrico Preorder .
Un sistema con una orden parcial se llama un sistema parcialmente pedido (también llamado un poset ). El del término pidió determinado a veces también se utiliza para los posets, mientras esté claro del contexto que no se significa ningunas otras clases de órdenes. Particularmente, el pidió total sistemas que se puede también referir como " sets" pedido;, especialmente en áreas donde están mas comunes estas estructuras que posets.
Ejemplos
Los ejemplos estándar de los posets que se presentan en matemáticas incluyen:
los números verdaderos pedidos por el ≤ less-than-or-equal de la relación del estándar .
el sistema de números naturales equipados de la relación de la divisibilidad .
el sistema de los subconjuntos de un sistema dado (su energía determinado) pedido por la inclusión (véase la figura en tapa-derecho).
el sistema de subespacios de un espacio de vector pedido por la inclusión.
para un determinado parcialmente pedido P, el espacio de la secuencia que contiene todo el ordena de elementos del P, donde el de la secuencia un precede el b de la secuencia si cada artículo en un precede el artículo correspondiente en el b . Formalmente, si y solamente si para todo el n en el N .
para un X del sistema y un determinado parcialmente pedido P, el espacio de función que contiene todas las funciones del X al P, donde g del ≤ del f si y solamente si f (x) g del ≤ de (x) para todo el x en el X .
el sistema de la cima de un dirigió el gráfico acíclico pedido por el Reachability .
Órdenes en el producto de cartesiano de sistemas parcialmente pedidos
En orden de la fuerza cada vez mayor, es decir, sistemas de disminución de los pares, tres de las órdenes parciales posibles en el producto de cartesiano de dos sistemas parcialmente pedidos estar:Orden lexicográfica : ( un, b ) ≤ ( c, d ) si y solamente si < c o ( = d del ≤ del c y del b ).
( un, b ) ≤ ( c, d ) si y solamente si un d (la orden del ≤ del c y del b del ≤ de del producto).
( un, b ) ≤ ( c, d ) si y solamente si ( < c y b < d ) o ( = c y b = d ) (el encierro reflexivo del de las órdenes totales terminantes correspondientes).
Los tres se pueden definir semejantemente para el producto de cartesiano de más de dos sistemas.
Aplicado al pidió los espacios de vector sobre el mismo campo, el resultado es en cada caso también un espacio de vector pedido.
Órdenes parciales terminantes y no-terminantes
En algunos contextos, la orden parcial definida arriba se llama una orden parcial (o el reflexivo) del no-terminante del . En estos contextos un " parcial de la orden (o irreflexive) del terminante del ; <" es una relación binaria que es el irreflexive y el transitivo, y por lo tanto el asimétrico. Es decir asimétrico (por lo tanto irreflexive) y transitivo.
Así, para todo el un, el b, y el c en el P, tenemos eso:
¬ del
; ( a < un ) (irreflexivity);
si ¬ de a < de b entonces; ( b < un ) (asimetría); y
si a < b y de b < de c entonces a < c (transitividad).
Hay una 1 correspondencia to-1 entre las órdenes parciales todo no-terminantes y terminantes.
Si " ≤" es una orden parcial no-terminante, entonces el " parcial terminante correspondiente de la orden; <" es la reducción reflexiva dada cerca:
l < b si y solamente si ( un b del ≤ de y un b del ≠ de )
Inversamente, si " <" es una orden parcial terminante, entonces el " parcial no-terminante correspondiente de la orden; <" es el " ≤" dado cerca:
l un b del ≤ de si y solamente si < b o = b . Ésta es la razón de usar el " de la notación; ≤".
Las órdenes parciales terminantes son útiles porque corresponden más directo a los gráficos acíclicos dirigidos (dags): cada orden parcial terminante es un dag, y el encierro transitivo de un dag es una orden parcial terminante y también un dag sí mismo.
Lo contrario y orden duales
El &ge de lo contrario o del inverso; de un &le parcial de la relación de orden; satisface el &ge del x ; y si y solamente si &le del y ; x . Lo contrario de una relación de orden parcial es reflexivo, transitivo, y antisimétrico, y por lo tanto sí mismo una relación de orden parcial. La orden dual del de un sistema parcialmente pedido es el mismo sistema con la relación de orden parcial substituida por su lo contrario. El > de la relación irreflexive; está al ≥ como < está al ≤.
Ninguno de estos &le de cuatro relaciones;, <, ≥, y > en un sistema dado determinar únicamente los otros tres.
En el x de los elementos del general dos y el y de una orden parcial puede colocarse en cualesquiera de cuatro mutuamente - relaciones exclusivas el uno al otro: el y del x el < y, o el x = y, o x >, o el x y el y es el incomparable (ninguno de los otros tres). Un pidió total para fijar es uno que elimina esta cuarta posibilidad: todos los pares de elementos son comparables y entonces decimos que la tricotomía se sostiene. Los números naturales los números enteros los números racionales y el Reals son todos ordenaron total por su magnitud (firmada) algebraica mientras que no son los números complejos . Éste no es decir que los números complejos no pueden ser pedidos total; podríamos por ejemplo pedirlos lexicográfico vía el x + el y del i < el u + el v del i si y solamente si el x < el u o (el x = el u y el y < el v ), solamente éste no está ordenando por magnitud en ninguÌn sentido razonable mientras que hace 1 mayor de 100 el i . Pedirlos por magnitud absoluta rinden un preorder en el cual todos los pares sean comparables, pero esto no es una orden parcial desde 1 y el i tiene la misma magnitud absoluta pero no es igual, violación antisymmetry.
Número de órdenes parciales
La secuencia A001035 en el OEIS da el número de órdenes parciales en un sistema de elementos del n :
El número de órdenes parciales terminantes es igual que el de órdenes parciales.
Extensión linear
Un T de la orden del total es una extensión linear de un parcial P de la orden si, siempre que el y del ≤ del x en el P él también los asimientos ese y del ≤ del x en el T . En el de informática, los algoritmos para encontrar extensiones lineares de órdenes parciales se llaman el de clasificación topológico.
Teoría de la categoría
Cuando están considerados como categoría donde hom ( x, y ) = {( x, y ) | &le del x ; el y } y (el y, el z ) o ( x, y ) = (el x, el z ), los posets es equivalente a uno otro si y solamente si son el isomorfo. De un poset, el elemento más pequeño, eventualmente, es un objeto de la inicial, y el elemento más grande, eventualmente, un objeto terminal . También, cada sistema pre-ordered es equivalente a un poset. Finalmente, cada subcategoría de un poset es el Isomorfismo-cerrado.
Órdenes parciales en espacios topológicos
Si el P es un espacio topológico, después es acostumbrado asumir que el R es cerrado en el . Bajo esta asunción las relaciones se comportan bien en los límites ; si y para todo el i, entonces . Ver a Deshpande (1968).
Intervalo
Para el un b del ≤ de, el intervalo es el sistema de satisfying del x de los puntos un b del ≤ del x y del x del ≤ de, también escrito un b del ≤ del x del ≤ de . Contiene por lo menos el de los puntos un y el b . Uno puede elegir ampliar la definición a todos los pares ( un, b ). Los intervalos adicionales son todos vacíos.Usar el " terminante correspondiente de la relación; <", uno puede también definir el intervalo ( un, b ) como el sistema de satisfying del x de los puntos < el x y el x < el b, también escrito el < el x < el b . Un intervalo abierto puede ser vacío incluso si < el b .
También y ('' a '', '' b '' se puede definir semejantemente.
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