En las matemáticas y más específicamente la teoría determinada, el sistema vacío es el único determinado que no contiene ninguÌn elemento. En la teoría determinada axiomática es postulado para existir por el axioma del sistema vacío . El sistema vacío también a veces se llama el el sistema nulo, pero porque el sistema nulo significa algo más en la teoría de medida, que término está evitado generalmente en trabajo actual.
Las varias características posibles de sistemas son el trivial verdad para el sistema vacío.
Notación
El sistema vacío es denotado por cualquiera uno del " de los símbolos; " o " ", derivado Ø de la letra en el danés y el alfabeto noruego, introducido por el grupo (específicamente André Weil ) de Bourbaki en 1939. Otras notaciones para el sistema vacío incluyen el " { }" y " Λ".
Características
(Aquí utilizamos los símbolos matemáticos )
el del
para cualquier determinado A de, el sistema vacío es un subconjunto A :
: A del ∀: A del ⊆ del ∅
Para cualquier A del sistema, la unión A con el sistema vacío es el A :
: A del ∀: ∅ DEL ∪ DEL A = A
Para cualquier A del sistema, la intersección A con el sistema vacío es el sistema vacío:
: A del ∀: ∅ del ∩ del A = ∅
Para cualquier A del sistema, el producto de cartesiano del A y el sistema vacío es vacío:
: A del ∀: × del A ; ∅ = ∅
El único subconjunto del sistema vacío es el sistema vacío sí mismo:
: A del ∀: A DEL ⇒ DEL ∅ DEL ⊆ DEL A = ∅
La energía determinado del sistema vacío es un sistema que contiene solamente el sistema vacío:
: 2∅ = {∅}
El número de elementos del sistema vacío (que es su cardinalidad ) es el cero; particularmente, el sistema vacío es el finito:
: |∅| = 0
Para cualquie característica: para cada elemento del ∅ la característica se sostiene (la verdad vacua )
no hay elemento del ∅ para el cual la característica se sostiene
Inversamente: si, para una cierta característica, las dos declaraciones siguientes se sostienen: para cada elemento de V los asimientos de la característica
no hay elemento de V para el cual la característica lleve a cabo el entonces V = ∅
Los matemáticos hablan de " el set" vacío; algo que " un set" vacío;. En la teoría determinada, dos sistemas son iguales si tienen los mismos elementos; por lo tanto puede haber solamente un sistema sin elementos.
Considerado como subconjunto de la línea de número verdadero (o más generalmente de cualquie espacio topológico ), el sistema vacío es cerrado el y abierto. Todos sus puntos del límite (cuyo no hay ninguno) están en el sistema vacío, y el sistema por lo tanto se cierran; mientras que para todos de sus puntos (cuyo no hay otra vez ninguno), hay una vecindad abierta en el sistema vacío, y el sistema está por lo tanto abierto. Por otra parte, el sistema vacío es un acuerdo determinado por el hecho de que cada sistema finito es compacto.
El encierro del sistema vacío es vacío. Esto se conoce como " preservación de las uniones de Nullary . "
Problemas comunes
El sistema vacío no es la misma cosa que nada ; es un sistema con nada dentro de él, y un sistema es algo . Esto causa a menudo dificultad entre los que primer encuentro él. Puede ser provechoso pensar en un sistema como bolso que contiene sus elementos; un bolso vacío puede ser vacío, pero el bolso sí mismo existe ciertamente.
Por la definición del subconjunto, el sistema vacío es un subconjunto de cualquier A del sistema, como que cada x del elemento de de {} pertenece al A . Si no es verdad que cada elemento de {} está en el A, debe haber por lo menos un elemento de {} que no está presente en el A . Puesto que hay ningunos elementos de de {} en absoluto, no hay elemento de {} que no está en el A, llevándonos a concluir que cada elemento de {} está en A y que {} es un subconjunto del A . Cualquie declaración que comience el " para cada elemento {} del " no está haciendo ninguna demanda substantiva; es una verdad vacua . Esto se parafrasea a menudo como " todo es verdad de los elementos del set." vacío;
Teoría determinada axiomática
En la axiomatización de la teoría determinada conocida como teoría determinada de Zermelo-Fraenkel, la existencia del sistema vacío es asegurada por el axioma del sistema vacío . La unicidad del sistema vacío sigue del axioma del extensionality .
Cualquier axioma que indique la existencia de fijado implicará el axioma del sistema vacío, usar el esquema del axioma de la separación . Por ejemplo, si el A es un sistema entonces el esquema del axioma de la separación permite la construcción del B del sistema = {el x en el A | x del ≠ del x }, que se puede definir para ser el sistema vacío.
¿Existe o es necesario?
Mientras que el sistema vacío es un estándar y un concepto universal aceptado en matemáticas, algunos filósofos y lógicos continúan discutiendo su significado y utilidad.
El Jonatán Lowe ha sostenido eso mientras que el " de la idea; estaba indudable una señal importante en la historia de las matemáticas,… nosotros no debe asumir que su utilidad en el cálculo es dependiente sobre su realmente denotación de alguÌn object." No está claro que tal idea tiene sentido. " Todo que nos informan nunca sobre el sistema vacío es que él (1) es un sistema, (2) no tiene ninguÌn miembro, y (3) es único entre sistemas en no tener ninguÌn miembro. Sin embargo, hay muchas cosas que “no tener ninguÌn miembro”, en el sense&mdash fijar-teórico; a saber, todos no-fijaron. Está perfectamente claro porqué estas cosas no tienen ninguÌn miembro, porque no son sistemas. Cuál es confuso es cómo puede haber, únicamente entre sistemas, fijados que no tiene ninguÌn miembro. No podemos conjurar tal entidad en existencia por stipulation." mero;
En " Para ser es ser el valor… de un " variable;, el diario de la filosofía, 1984 (reimpreso en su lógica del del libro, la lógica y la lógica ), el último George Boolos ha sostenido que podemos ir una manera larga apenas por el que cuantifica plural sobre individuos, sin el reifying fija como entidades singulares que tenían otras entidades como miembros.
En un libro reciente Tom McKay ha desacreditado el " singularist" asunción que las expresiones naturales usar plurales se pueden analizar usar sustitutos plurales, tales como muestras para los sistemas. Él está a favor de una teoría anti-singularist que diferencie de teoría determinada en eso allí no sea ninguÌn análogo del sistema vacío, y hay apenas una relación, entre, que es un análogo de la calidad de miembro y de la relación del subconjunto.
Operaciones en el sistema vacío
Las operaciones realizadas en el sistema vacío (como sistema de cosas que se funcionará sobre) pueden también ser confusas. (Tales operaciones son las operaciones de Nullary .) Por ejemplo, la suma de los elementos del sistema vacío es el cero, pero el producto de los elementos del sistema vacío es el uno (véase el producto vacío ). ¿Esto puede parecer impar, puesto que allí no hay elementos del sistema vacío, así que cómo podría importar si estén agregados o multiplicados (puesto que “” no existen)? En última instancia, los resultados de estas operaciones dicen más sobre la operación en la pregunta que sobre el sistema vacío. Por ejemplo, notar que cero es el elemento de identidad para la adición, y uno es el elemento de identidad para la multiplicación.
Límites
Puesto que el sistema vacío no tiene ninguÌn miembro, cuando se considera como subconjunto de cualquier sistema pedido, después cualquier miembro de ése fijó será un límite superior y un límite más bajo para el sistema vacío. Por ejemplo, cuando está considerado como subconjunto de los números verdaderos, con su ordenar generalmente, representado por la línea de número verdadero, cada número verdadero es un límite superior y más bajo para el sistema vacío. Cuando estaba considerado como subconjunto amplió los reals formados agregando el " dos; numbers" o " points" ¡a los números verdaderos, a saber infinito negativo, que se define para ser menos que cada otro número verdadero extendido, y el infinito positivo, denotó que se define para ser mayor que cada otro número verdadero extendido, entonces:
y máximos del
Es decir, el menos límite superior (sorbo o Supremum ) del sistema vacío es infinito negativo, mientras que el límite más bajo más grande (inf o Infimum ) es infinito positivo. Por analogía con el antedicho, en el dominio de los reals extendidos, el infinito negativo es el elemento de identidad para los operadores del máximo y del supremum, mientras que el infinito positivo es el elemento de identidad para el mínimo y el infimum.
El sistema vacío y el cero
Fue mencionado anterior que el sistema vacío tiene elementos cero, o que su cardinalidad es cero. La conexión entre los dos conceptos va más lejos sin embargo: en la definición Fijar-teórica estándar de los números naturales, cero es definido como el sistema vacío.
Teoría de la categoría
Si el A es un sistema, después existe exacto un f de la función de {} al A, la función vacía . Consecuentemente, el sistema vacío es el objeto único de la inicial de la categoría de sistemas y de funciones.
El sistema vacío se puede dar vuelta en un espacio topológico en apenas unidireccional (definiendo el sistema vacío para estar abierto); este espacio topológico vacío es el objeto inicial único en la categoría de espacios topológicos con los mapas continuos .
Uso en lingüística
El sistema vacío también se utiliza en la lingüística y particularmente en la lengua-enseñanza denotar una forma natural (también familiar nombrada la forma del diccionario), que es generalmente el nominativo singular para las idiomas con las declinaciones él se utiliza para acentuar que el nada se debe agregar al sustantivo. Sin embargo, este tipo de sistema vacío se escribe generalmente con los mismos tamaños como las otras letras y mira tan mucho más bién un ø que como un ∅.El símbolo determinado vacío se utiliza a veces en el sintaxis de lenguaje natural y la morfología para representar los morfemas que no son pronunciados.
Fijar la teoría es generalmente una herramienta básica en la semántica formal, tan los juegos del sistema vacío un papel importante en lingüística a este respecto también.
Ver también
El habitó determinadoPara denotar espacios importantes, ver también, abren la caja (␣) y el
\ verbatim en el látex .
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