En la teoría de grupo, dada un grupo el G de bajo operación binaria *, decimos que un cierto H del subconjunto G es un subgrupo del G si el H también forma a grupo bajo operación *. Más exacto, el H es un subgrupo del G si la restricción de * al H es una operación del grupo en el H . Esto es representada generalmente notationally por el G del ≤ del H, leyó como " El H es un subgrupo de " de G del ;.

Un subgrupo apropiado de un G del grupo es un H del subgrupo que es un subconjunto apropiado G (es decir &ne del H ; G ). El subgrupo trivial de cualquier grupo es el subgrupo { e } que consiste en apenas el elemento de identidad. Si el H es un subgrupo del G, después el G a veces se llama un overgroup H .

Las mismas definiciones se aplican más generalmente cuando el G es un semigrupo arbitrario, pero este artículo se ocupará solamente de los subgrupos de grupos. El G del grupo es denotado a veces por los pares pedidos ( G, *), para acentuar generalmente la operación * cuando el G lleva las estructuras algebraicas u otras múltiples.

En el siguiente, seguimos la convención generalmente * y escribiendo al del producto un * del de caída b como simplemente ab .

Características básicas de subgrupos

el H del

es un subgrupo del G del grupo si y solamente si es productos inferiores no vacíos y cerrados y lo contrario. (Las condiciones del encierro significan el siguiente: siempre que el un y el b estén en el H, entonces ab y un ^{&minus de ; 1} están también en el H . Estas dos condiciones se pueden combinar en una condición equivalente: siempre que el un y el b estén en el H, entonces ^{&minus del ab del ; 1} está también en el H .) En caso de que el H sea finito, después el H es un del subgrupo si y solamente si el H de es cerrado debajo de productos. (En este caso, cada del elemento un del H genera un subgrupo cíclico finito del H, y lo contrario del un es entonces al ^{&minus de ; 1} = un &minus del n del ^{de ; 1}, donde está la pedido el n del al .)
La condición antedicha se puede indicar en términos de homomorfismo ; es decir, el H es un subgrupo de un G del grupo si y solamente si el H es un subconjunto del G y allí es un homomorfismo de la inclusión (es decir, i ( un ) = un para cada un ) del H a el G .
La identidad de un subgrupo es la identidad del grupo: si el G es un grupo con el G del _{del e de la identidad, y el H es un subgrupo del G con el H} del _{del e de la identidad, entonces el H del del e = el G} del _{del e .
Lo contrario de un elemento en un subgrupo es lo contrario del elemento en el grupo: si el H es un subgrupo de un G del grupo, y un y un b son elementos del H tales que el ab = los vagos del = el H} , entonces ab del _{del e = los vagos del = el G} del _{del e .
La intersección del A de los subgrupos y del B es otra vez un subgrupo. La unión del A de los subgrupos y del B es un subgrupo si y solamente si el A o el B contiene el otro, puesto que por ejemplo 2 y 3 están en la unión de 2Z y de 3Z pero no es su suma 5.
Si el S es un subconjunto del G, después existe un subgrupo mínimo que contiene el S, que puede ser encontrado tomando la intersección de todos los subgrupos que contienen el S ; es denotado por el < S > y reputa el subgrupo generado por '' S '' . Un elemento del G está en el < S > si y solamente si es un producto finito de elementos del S y de sus lo contrario.
Cada del elemento un de un G del grupo genera el subgrupo cíclico < un >. Si el < un > es el isomorfo al Z /el Z del n para un cierto positivo n del número entero, después el n es el número entero positivo más pequeño para qué se llama un n del ^de = el e, y el n la pedido un . Si el < un > es isomorfo al Z, después el un se dice para tener orden infinita del .
Los subgrupos de cualquier grupo dado forman un el enrejado completo bajo inclusión, llamada el enrejado de los subgrupos . (Mientras que el Infimum aquí es la intersección fijar-teórica generalmente, el Supremum de un sistema de subgrupos es el del subgrupo generado por la unión fijar-teórica de los subgrupos, no la unión fijar-teórica sí mismo.) Si el e es la identidad del G, después el grupo trivial { e } es el subgrupo mínimo del G, mientras que el subgrupo máximo es el G sí mismo del grupo.}

¡Example

Dejar el G ser el grupo abeliano cuyos elementos son el G del = {0.7} y cuya operación del grupo es modulo de la adición ocho . Su tabla de Cayley es

Teorema de Cosets y de Lagrange

Dado un subgrupo el H y un cierto un en G, definimos el dejado el de Coset ah = {el ah : h en el H }. Porque el un es inversible, el &phi del mapa; : &rarr del H ; ah dado por φ ( h ) = el ah es un Bijection . Además, cada elemento del G se contiene en exacto uno dejó el coset del H ; los cosets izquierdos son las clases de equivalencia que corresponden al de la relación de equivalencia al del ~ de ₁ un de ₂ si y solamente si de un ₁^{− el 1} un ₂ está en el H . El número de cosets izquierdos del H se llama el índice H en el G y se denota cerca: '' H ''.

El teorema de Lagrange indica que para un finito G del grupo y un H, $G\; del\; subgrupo\; del\; :\; H\; =\; \{\; |G|\; \backslash \; encima\; |H|\; \}$ donde |G| y |H| denotan las pedidos G y del H, respectivamente. Particularmente, la orden de cada subgrupo del G (y la orden de cada elemento del G ) deben ser un divisor |G| .

Los cosets correctos se definen análogo: ha = { ha : h en el H }. Son también las clases de equivalencia para una relación de equivalencia conveniente y su número es igual a: '' H ''.

Si el ah = el ha para cada un en el G, entonces H reputa un subgrupo normal . Cada subgrupo del índice 2 es normal: los cosets izquierdos, y también los cosets correctos, son simplemente el subgrupo y su complemento.

Ver también

Subgrupo de Cartan
Subgrupo apropiado
Subgrupo estable

.

Zenithic

Carbuncle (Tasmania)

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