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En matemáticas, los submódulos puros son un concepto complementario a los módulos planos y generalizan la noción de Pruefer de los subgrupos puros mientras que los módulos planos son esos módulos que salen de las secuencias exactas cortas exactas después de tensoring, un submódulo puro definen una secuencia exacta corta que siga habiendo exacta después de tensoring con cualquier módulo. Los módulos planos son semejantemente exacto los límites directos de los módulos descriptivos y un submódulo puro define una secuencia exacta corta que sea un límite directo de las secuencias exactas de la fractura

Definición

Dejar el R ser un anillo, y dejar el M, P sea los módulos sobre el R . Si i : El M del → del P es entonces el inyectivo P es un submódulo puro del del del M si, para cualquie R - X, el mapa inducido natural del módulo en el i⊗id_X de los productos de tensor : El X del ⊗ del M del → del X del ⊗ del P es el inyectivo.

Análogo, un
del
de la secuencia exacta del cortocircuito del R - módulos es el exacto puro si la secuencia permanece exacta cuando tensored con cualquier R - X del módulo. Esto es equivalente a decir que el f ( A ) es un submódulo puro del B .

La pureza puede también ser elemento-sabia expresado; es realmente una declaración sobre la solubilidad de ciertos sistemas de ecuaciones lineares. Específicamente, el P es puro en el M si y solamente si la condición siguiente se sostiene: para cualquie m - por la matriz ( n un ij del del _{de ) con las entradas en el R, y cualquie y 1 del sistema,…, m} del _{del y de elementos del P, si existen el x 1 de los elementos,…, M} del in del n del _{del x tales que $del\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mbox\; del\; a\_\; del\; ^n\; del\; sum\_\; \{j=1\}\; \{ij\}\; x\_j\; =\; y\_i\; \backslash \; \{para\}\; i=1,\; \backslash \; ldots,\; m$ entonces también existen el x 1', de los elementos…, el P} del in del n del _{del x tales que $del\; \backslash \; x\text{'}\_\; del\; a\_\; del\; ^n\; del\; sum\_\; \{j=1\}\; \{ij\}\; j\; =\; y\_i\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mbox\; \{para\}\; i=1,\; \backslash \; ldots,\; m$}

Ejemplos