En la teoría de la categoría, hay una definición general del subobject que amplía la idea del subconjunto y del subgrupo .

Detalladamente, suponer que nos dan un cierto C de la categoría y los monomorfismos u del

l : &rarr del S; Un v de y del
: &rarr del T; Un .

Decimos factores del del u a través del v de y escribimos &le del u del

l ; v

cuando u = v∘u&prime del ; para un cierto u&prime del del morphism; : &rarr del S ; T . También escribimos &equiv del u del

l ; v

para denotar que ambos &le del u del

l ; &le del v y del v ; u .

Esto define un &equiv de la relación de equivalencia; en la colección de monomorfismos con el A del codomain, y las clases de equivalencia correspondientes de estos monomorfismos están los subobjects del A . La colección de monomorfismos con el A del codomain bajo &le de la relación; forma un Preorder, pero la definición de un subobject se asegura de que la colección de subobjects del A sea una orden parcial . (La colección de subobjects de un objeto puede de hecho ser una clase apropiada ; esto significa que la discusión dada es algo floja. Si la subobject-colección de cada objeto es un determinado, llamamos la categoría bien-accionado .)

El concepto dual a un subobject es un objeto del cociente del ; es decir, para definir el objeto del cociente del substituir el monomorfismo del por el epimorphism del arriba y las flechas reversas.

Ejemplos

En los sistemas de la categoría, un subobject de A corresponde a un subconjunto B de A, o algo a la colección de todos los mapas de los sistemas equipotentes a B con la imagen exactamente B. La orden parcial del subobject de un sistema en los sistemas es apenas su enrejado del subconjunto. Los resultados similares celebran en los grupos, y algunas otras categorías.

Dado un parcialmente pedido P de la clase, podemos formar una categoría con los elementos de P s del como objetos y una sola flecha que va a partir de un objeto (elemento) a otro si es la primera inferior o igual el segundo. Si el P tiene un elemento más grande, la orden parcial del subobject de este elemento más grande será el P sí mismo. Esto está en parte porque todas las flechas en tal categoría serán monomorfismos.

Ver también

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