En las matemáticas, un subring es un subconjunto de un anillo, que contiene la identidad multiplicativa y es sí mismo un anillo bajo mismas operaciones binarias naturalmente, esos autores que no requieran los anillos contener una identidad multiplicativa no requieran subrings poseer la identidad (si existe). Esto lleva a la ventaja agregada que los ideales se convierten en subrings (véase abajo).

El subring de un anillo ( R, +, *) es un subgrupo de (el R, +) que contiene la identidad y es cerrado bajo multiplicación.

Por ejemplo, el Z del anillo de los números enteros es el subring del campo de los números verdaderos y también el subring del anillo del Z de los polinomios .

El Z del anillo no tiene ningún subrings (con identidad multiplicativa) con excepción de sí mismo.

Cada anillo tiene subring más pequeño único, isomorfo al Z de los números enteros o a un cierto Z del anillo/al Z del n con el n al número entero no negativo (véase el característico).

Algunos anillos se pueden describir como la unión de los subrings comutativos constitutivo . Ver por ejemplo el perfil de los quaternions y el perfil de los coquaternions .

La prueba de Subring indica que para cualquier anillo, un subconjunto no vacío de ese anillo es sí mismo un anillo si es cerrado bajo la multiplicación y substracción, y tiene una identidad multiplicativa.

Subring generó por un sistema

Dejar el R ser un anillo. Cualquier intersección de subrings del R es otra vez el subring del R . Por lo tanto, si el X es cualquier subconjunto del R, la intersección de todos los subrings del R que contiene el X es un subring S del R . El S es el subring más pequeño del R que contiene el X . (" Smallest" significa que si el T es el algún otro subring del R que contiene el X, después el S está contenido en el T .) El S reputa subring del ''' generado ''' R por el X . Si el S = el R, nosotros puede decir que el R del anillo es generado al lado del X .

Relación a los ideales

Los ideales apropiados nunca son subrings desde entonces si contienen la identidad entonces que deben ser el anillo entero. Por ejemplo, los ideales en el Z están del Z del n de la forma donde está cualquier número entero el n . Éstos son subrings si y solamente si el n = ± 1 (si no no contienen 1) en este caso son todo el Z .

Si uno omite el requisito que los anillos tienen un elemento de unidad, después la necesidad de los subrings contiene solamente 0 y sea cerrada bajo la adición, la substracción y multiplicación, y los ideales se convierten en subrings. Ideales mayo o mayo no tener su propia identidad multiplicativa (distinta de la identidad del anillo):
El ideal I = {( z, 0)| z en el Z } del Z del × del Z del anillo = {( x, y )| el x, el y en el Z } con la adición del componentwise y la multiplicación tiene la identidad (1.0), que es diferente de la identidad (1. El I es tan un anillo con la unidad, y un " subring-sin-unity", pero no un " subring-con-unity" del Z del × del Z .
Los ideales apropiados del Z no tienen ninguna identidad multiplicativa.

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