En las matemáticas, específicamente en la topología, la operación de la suma conectada es una modificación geométrica en efecto de los múltiples su es ensamblar dos múltiples dados juntos cerca de un punto elegido en cada uno. Esta construcción desempeña un papel dominante en la clasificación de las superficies cerradas .

Más generalmente, uno puede también ensamblar los múltiples juntos a lo largo de submanifolds idénticos; esta generalización se llama a menudo la suma de la fibra del . Hay también una noción estrechamente vinculada de la suma conectada en los nudos llamados la suma del nudo del o la composición de nudos.

Suma conectada en un punto

Una suma conectada de dos múltiples de $m$-dimensional es un múltiple formado suprimiendo una bola dentro de cada múltiple y que pegan junto las esferas resultantes del límite

Si ambos múltiples son orientados, hay una suma conectada única definida teniendo la orientación reversa de pegado del mapa. Aunque la construcción utilice la opción de las bolas, el resultado es único hasta el homeomorfismo . Uno puede también hacer este trabajo de la operación en la categoría lisa, y entonces el resultado es único hasta el Diffeomorphism . Hay los problemas sutiles en el caso liso: no cada diffeomorphism entre los límites de las esferas da el mismo múltiple compuesto, incluso si las orientaciones se eligen correctamente. Por ejemplo, Milnor demostró que dos 7 células se pueden pegar a lo largo de su límite de modo que el resultado sea una esfera exótica homeomórfica pero no diffeomorphic a una esfera 7. Al menos hay una manera canónica de elegir el pegado que da una suma conectada bien definida única. Esta unicidad depende crucial del teorema del anillo, que es en absoluto obvio).

La operación de la suma conectada es denotada por el $\backslash \; \#$; por ejemplo el $A\; \backslash \; \#\; B$ denota la suma conectada de $A$ y de $B$.

La operación de la suma conectada tiene la esfera $S^m$ como identidad ; es decir, el $M\; \backslash \; \#\; S^m$ es homeomórfico (o diffeomorphic) a $M$.

La clasificación de superficies cerradas, de un resultado fundacional e históricamente significativo en topología, indica que cualquier superficie cerrada se puede expresar como la suma conectada de una esfera con un cierto número $g$ de los toros y un cierto número $k$ de los planos descriptivos verdaderos

Suma conectada a lo largo de un submanifold

Dejar $M\_1$ y $M\_2$ ser dos lisos, múltiples orientados de la dimensión igual y $V$ un múltiple liso, cerrado, orientado, encajado como submanifold en $M\_1$ y $M\_2$. Suponer además que existe un isomorfismo de los paquetes del Normal $\backslash \; PSI\; del$

l : N_ {M_1} V \ a N_ {M_2} V

eso invierte la orientación en cada fibra. Entonces el $\backslash \; psi$ induce un diffeomorphism orientación-que preserva

$N\_1\; \backslash \; setminus\; V\; \backslash \; cong\; N\_\; \{M\_1\}\; V\; \backslash \; setminus\; V\; \backslash \; del\; a\; N\_\; \{M\_2\}\; V\; \backslash \; setminus\; V\; \backslash \; a\; N\_\; \{M\_2\}\; V\; \backslash \; setminus\; V\; \backslash \; cong\; N\_2\; \backslash \; setminus\; V,$

donde cada $N\_\; normal\; del\; paquete\; \{M\_i\}\; V$ diffeomorphically se identifica con una vecindad $N\_i$ de $V$ en $M\_i$, y el mapa $N\_\; del$

l {M_2} V \ setminus V \ a N_ {M_2} V \ setminus V

es la involución diffeomorphic la orientación-inversión $v\; del$

l \ mapsto v/ |v|^2

en vectores normales. La suma conectada de $M\_1$ y de $M\_2$ a lo largo de $V$ es entonces el espacio $del$

l (M_1 \ setminus V) \ bigcup_ {N_1 \ setminus V = N_2 \ setminus V} (M_2 \ setminus V)

obtenido pegando las vecindades suprimidas juntas por el diffeomorphism orientación-que preserva. La suma se denota a menudo $del$

l (M_1, V) \ # (M_2, V).

Su tipo del diffeomorphism depende de la opción de los dos embeddings de $V$ y de la opción del $\backslash \; psi$.

Libremente hablando, cada fibra normal del submanifold $V$ contiene un monopunto de $V$, y la suma conectada a lo largo de $V$ es la suma conectada describió simplemente la sección precedente, realizada a lo largo de cada fibra. Por esta razón, la suma conectada a lo largo de $V$ se llama a menudo la suma de la fibra del .

El caso especial de $V$ al punto recupera la suma conectada de la sección precedente.

Suma conectada a lo largo de un submanifold del codimension-two

Otro caso especial importante ocurre cuando la dimensión de $V$ es dos menos que el del $M\_i$. Entonces el $\backslash \; psi$ del isomorfismo de paquetes normales existe siempre que sus clases de Euler estén enfrente de: $e\; del$

l (N_ {M_1} V) = - e (N_ {M_2} V).

Además, en este caso el grupo de la estructura de los paquetes normales es el $SO\; del\; grupo\; del\; círculo\; (2)$; sigue que la opción de embeddings se puede canónico identificar con el grupo de clases de Homotopy de mapas de $V$ al círculo, que alternadamente iguala el primer grupo integral $H^1\; (V)$ de Cohomology . El tipo del diffeomorphism de la suma depende tan de la opción del $\backslash \; psi$ y de una opción del elemento de $H^1\; (V)$.

Una suma conectada a lo largo de un codimension-two $V$ se puede también realizar en la categoría de los múltiples simplécticos que esta elaboración se llama la suma simpléctica .

Operación local

La suma conectada es una operación local en los múltiples, significando que altera los summands solamente en una vecindad de $V$. Esto implica, por ejemplo, que la suma se puede realizar en un solo múltiple $M$ que contiene el dos desunir las copias de de $V$, con el efecto de pegar $M$ a sí mismo. Por ejemplo, la suma conectada de una dos-esfera en dos puntos distintos de la esfera produce el dos-toro.

Suma conectada de nudos

Hay una noción estrechamente vinculada de la suma conectada de dos nudos. De hecho, si uno mira un nudo simplemente como uno-múltiple, después la suma conectada de dos nudos está apenas su suma conectada como uno-múltiple. Sin embargo, la característica esencial de un nudo no es su estructura multíple (todos los nudos son círculos) pero algo su que encaja en el espacio ambiente . La suma conectada de nudos tiene tan una definición más elaborada que produzca una encajadura bien definida, como sigue.png|pulgar|centro|300px|Encontrar un rectángulo en el plano donde está arcos un par de lados a lo largo de cada nudo pero está desunen de otra manera de los nudos. ]]

Este procedimiento da lugar a la proyección de un nuevo nudo, la suma conectada (o suma del nudo del, o composición ) de los nudos originales.

Bajo esta operación, nudos en forma de espacio 3 un monoide comutativo con la facturización de la prima, que permite que definamos qué es significada por un nudo de la prima. La prueba del commutativity puede ser considerada dejando a un encogimiento del summand hasta que sea muy pequeña y después de tracción de ella a lo largo del otro nudo. El unknot es la unidad. El nudo del trébol es el nudo más simple de la prima. Nudos dimensionales más altos pueden ser agregados empalmando el $n$-spheres.

En tres dimensiones, el unknot no se puede escribir como la suma de dos nudos no triviales. Este hecho sigue de la aditividad del género del nudo; otra prueba confía en una construcción infinita a veces llamada el timo de Mazur. En dimensiones más altas, es posible conseguir un unknot agregando dos nudos no triviales.

Ver también

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