Familiar, una trayectoria es la trayectoria que un objeto móvil sigue a través de espacio. El objeto pudo ser un proyectil o un satélite, por ejemplo. ¡transitorio entre prácticamente inmóvil o los movimientos repetidores o hasta el cuerpo paran eventual el moverse. ¿quién dice esto? ¡citar una fuente por favor! --> incluye así el significado de la órbita - la trayectoria de un planeta, de un asteroide o de un cometa mientras que viaja alrededor de un Massachusetts central. Una trayectoria se puede describir matemáticamente por la geometría de la trayectoria, o como la posición del objeto en un cierto plazo.

En la teoría de control una trayectoria del es un sistema tiempo-pedido de los estados de un sistema dinámico (véase e. el mapa de Poincaré). En las matemáticas discretas, una trayectoria es una secuencia el $\_\; (del\; f^k\; (x))\; \{k\; \backslash \; en\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$ de valores calculaba por el uso iterado de un trazado $f$ a un elemento $x$ de su fuente.

La trayectoria de la palabra es también el de uso frecuente metafórico por ejemplo, describir la carrera de un individuo.

La física de la trayectoria

Un ejemplo familiar de una trayectoria es la trayectoria de un proyectil tal como una bola o una roca lanzada. En un modelo grandemente simplificado el objeto se mueve solamente bajo influencia de un campo de fuerza gravitacional homogéneo uniforme . Esto puede ser una buena aproximación para una roca que se lance para las distancias cortas por ejemplo, en la superficie de la luna . En esta aproximación simple la trayectoria toma la forma de una parábola . Generalmente, al determinar trayectoria puede ser necesario explicar las fuerzas gravitacionales no uniformes, resistencia de aire (fricción y aerodinámica ). Éste es el foco de la disciplina de la balística .

Uno de los logros notables de los mecánicos neutonianos era la derivación de las leyes de Kepler, en el caso del campo gravitacional de una masa monopunto (que representa el Sun ). La trayectoria es una sección cónica, como una elipse o una parábola . Esto conviene con las órbitas observadas de los planetas y de los cometas, una aproximación razonablemente buena. Aunque si un cometa pasa cerca del Sun, después él también sea influenciado por otras fuerzas tales como el viento solar y presión de radiación, que modifican la órbita, y hacen el cometa expulsar el material en espacio.

La teoría de Newton se convirtió más adelante en la rama de la física teórica conocida como mecánicos clásicos . Emplea las matemáticas del cálculo diferenciado (que, de hecho, también fue iniciado por Newton, en su juventud). Durante los siglos, los científicos incontables contribuyeron al desarrollo de estas dos disciplinas. Los mecánicos clásicos hicieron una demostración más prominente de la energía del pensamiento racional, es decir razón, en ciencia así como tecnología. Ayuda a entender y a predecir una gama enorme de los fenómenos . La trayectoria es solamente un ejemplo.

Considerar una partícula de la masa $m$, moviéndose en un campo potencial $V$. Físicamente hablando, la masa representa la inercia, y el campo $V$ representa fuerzas externas, de una clase particular conocida como " conservative". Es decir, $V$ dado en cada posición relevante, hay una manera de deducir la fuerza asociada que actuaría en esa posición, dice de gravedad. No todas las fuerzas se pueden expresar de esta manera, sin embargo.

El movimiento de la partícula es descrito por la ecuación diferencial second-order $m\; \backslash \; frac\; del$

l {\ mathrm {d} ^2 \ vec {x} (t)} {\ mathrm {d} t^2} = - \ nabla V (\ vec {x} (t)) con el $\backslash \; el\; vec\; \{x\}\; =\; (x,\; y,\; z)$

En el lado derecho, la fuerza se da en términos de $\backslash \; nabla\; V$, el gradiente del potencial, tomado en las posiciones a lo largo de la trayectoria. Ésta es la forma matemática de la ley de segundo de Newton del movimiento: la aceleración total de las épocas iguala la fuerza, para tales situaciones.

Ejemplos

Gravedad uniforme, ninguna fricción o viento

El caso de la gravedad uniforme, sin hacer caso de la fricción y del viento, rinde una trayectoria que sea una parábola . Para modelar esto, uno elige el $V\; =\; m\; g\; z$, donde está la aceleración $g$ de la gravedad . Esto da las ecuaciones del movimiento = \ frac del $\backslash \; del\; frac\; del$

l {\ mathrm {d} ^2 x} {\ mathrm {d} t^2} {\ mathrm {d} ^2 y} {\ mathrm {d} t^2} = $\backslash \; frac\; del$
0 {\ mathrm {d} ^2 z} {\ mathrm {d} t^2} = - g

Las simplificaciones se hacen por estudiar los fundamentos. La situación real, por lo menos en la superficie de la tierra, es considerablemente más complicada que este ejemplo sugeriría, cuando viene a computar trayectoria real. Deliberadamente introduciendo tales simplificaciones, en el estudio de la situación dada, una, de hecho, aborda el problema de una manera que ha probado excesivamente útil en la física.

El actual ejemplo es uno de ésos investigados original por el Galileo Galilei . Para descuidar la acción de la atmósfera, en formar una trayectoria, (en el mejor de los casos) ha sido considerado una hipótesis vana por los investigadores importados prácticos, todo con las Edades Medias en el Europa . Sin embargo, anticipando la existencia del vacío, para ser demostrado más adelante en la tierra por su Evangelista Torricelli del colaborador, Galileo podía iniciar la ciencia futura de los mecánicos . Y en un vacío cercano, como resulta por ejemplo en la luna, su trayectoria parabólica simplificada prueba esencialmente correcto.

Concerniente a un terreno plano, dejar la velocidad horizontal inicial ser $v\_h\; \backslash ,$, y la velocidad vertical inicial sea $v\_v\; \backslash ,$. Será demostrado que, la gama es $2v\_h\; v\_v/g\; \backslash ,$, y la altitud máxima es el $\{v\_v^2\}\; /2g\; \backslash ,$. La gama máxima, para una velocidad inicial total dada $v$, se obtiene cuando $v\_h=v\_v\; \backslash ,$, es decir el ángulo inicial son 45 grados. Esta gama es $v^2/g\; \backslash ,$, y la altitud máxima en la gama máxima es un cuarto de eso.

Derivación

Las ecuaciones del movimiento se pueden utilizar para calcular las características de la trayectoria.

Dejar el $p\; del\; (t)\; \backslash ;$ sea la posición del proyectil, expresada como $t\; vector\; \backslash ;$ sea el tiempo en el vuelo del proyectil, $v\_h\; del$
\; sea el $v\_v\; horizontal\; inicial\; del$
de la velocidad (que es constante) \; sea la velocidad vertical inicial hacia arriba. La trayectoria del proyectil se sabe para ser un $p\; del\; de\; laparábolatan\; (t)\; =\; (A\; t,\; 0,\; t^2\; +\; b\; t\; +\; c)\; \backslash ,$ donde está parámetros, \, del $A,\; \backslash ,\; de\; a,\; \backslash ,\; de\; b\; c$ que se encontrarán. Los primeros y segundos derivados de $p$ son: $p\text{'}(del\; t)\; =\; (A,\; 0,\; 2\; t\; +\; b),\; \backslash \; delpatiop\; (t)\; =\; (0,\; 0,\; 2\; a).$ En $t=0$

$p\; (0)\; =\; (0,\; 0,\; 0)\; \backslash \; p\text{'}(0)\; =\; (v\_h,\; 0,\; v\_v),\; \backslash \; p\; (0)\; =\; (0.0,\; -\; g)$, \ a tan del
$A\; =\; del\; v\_h\; =\; -\; g/2,\; \backslash ,\; \backslash \; c\; =\; 0$ de b = del v_v. Esto rinde la fórmula para una trayectoria parabólica: $p\; del\; (t)\; =\; (v\_h\; t,\; 0,\; v\_v\; t\; -\; g\; t^2/2)\; \backslash ,\; \backslash \; qquad$ (ecuación I: trayectoria de la parábola).

Gama y altura

La gama $R$ del del proyectil se encuentra cuando el $z$-component de $p$ es cero, eso es cuando $0\; =\; el\; v\_v\; t\; -\; g\; t^2/2\; =\; t\; \backslash \; se\; fue\; (v\_v\; -\; g\; t/2\; \backslash )derecho\backslash ,$ cuál tiene soluciones en $t=0$ y $t\; =\; 2\; v\_v\; /g$ (el colgar-tiempo del del proyectil ). La gama entonces está $R\; =\; 2\; v\_h\; v\_v/g.\; \backslash ,$

De la simetría de la parábola la altura máxima del ocurre en el punto intermedio $t=v\_v/g$ en el $p\; del\; de\; la\; posición\; (v\_v/g)=\; (v\_h\; v\_v/g,\; 0,\; v\_v^2/(2g))\backslash ,$ Esto puede también ser derivada encontrando cuando el $z$-component del $p\text{'}\; es\; cero.$

Ángulo de la elevación

En términos de ángulo del $\backslash \; theta$ de la elevación y de la velocidad inicial $v$: $v\_h=v\; del\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; theta,\; \backslash \; v\_v=v\; del\; patio\; \backslash \; pecado\; \backslash \; theta\; \backslash ;$ dando gama como

$R=\; 2\; v^2\; \backslash \; lechuga\; romano\; (\backslash \; theta)\; \backslash \; pecado\; (\backslash \; theta)/g\; =\; v^2\; \backslash \; pecado\; ()/g\; de\; 2\; \backslash \; theta\; \backslash .$ Este ecuación puede ser cambiado encontrar ángulo para required gama

$\{\backslash \; theta\}\; =\; \backslash \; frac\; 1\; 2\; \backslash \; sin^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; (\{\{\}\; \backslash \; encima\; de\; g\; R\; \{v^2\}\}\; \backslash )$ derecho (ecuación II: ángulo del lanzamiento) del proyectil Observar que la función del seno es tal que hay dos soluciones para el $\backslash \; theta$ para una gama dada $d\_h$. Físicamente, esto corresponde a un tiro directo contra un mortero tirado para arriba y sobre obstáculos a la blanco. El $\backslash \; theta$ del ángulo que da la gama máxima puede ser encontrado considerando el derivado o el $R$ con respecto al $\backslash \; theta$ y fijándolo a cero.

$\{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; R\; \backslash \; sobre\; \backslash \; mathrm\; \{\}\; \backslash \; theta\; de\; d\}\; =\; \{2v^2\; \backslash \; sobre\}\; \backslash \; lechuga\; romana\; (2\; \backslash \; theta)\; =0$ de g cuál tiene soluciones no triviales en $2\; \backslash \; el\; theta=\; \backslash \; pi/2=90^\; \backslash \; circ$. La gama máxima es entonces $R\_\; \{máximo\}\; =\; v^2/g\; \backslash ,$. En este $sin\; del\; ángulo\; (\backslash \; pi/2)=1$ así que la altura máxima obtenida es el $\{v^2\; \backslash \; sobre\; 4g\}$.

Para encontrar ángulo dando máximo altura para dado velocidad calcular derivado de máximo altura $H=v\; sin\; (\backslash )/(de\; la\; theta\; 2g)$ con respecto al $\backslash \; theta$, eso es $\{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; H\; \backslash \; sobre\; \backslash \; mathrm\; \{\}\; \backslash \; theta\; de\; d\}\; =v\; \backslash \; lechuga\; romano\; (\backslash )/(de\; la\; theta\; 2g)$ cuál es cero cuando $\backslash \; el\; theta=\; \backslash \; pi=180^\; \backslash \; circ$. Tan el $H\_\; máximo\; de\; la\; altura\; \{máximo\}\; =\; \{v\; \backslash \; sobre\; 2g\}$ es obtiene cuando el proyectil se enciende derecho para arriba. La ecuación de la trayectoria de un proyectil encendido en gravedad uniforme en un vacío en la tierra en coordenadas cartesianos es

$y=\; \{g\; \backslash \; sec^2\; \backslash \; theta\; \backslash \; sobre\; 2v\_0^2\}\; x^2+x\; \backslash \; tan\; \backslash \; theta+h$,

donde está la velocidad el v ₀ inicial, el h es la altura que el proyectil se enciende de, y el g es la aceleración debido a la gravedad).

Cuesta arriba/cuesta abajo en gravedad uniforme en un vacío

Dado un $\backslash \; alpha$ del ángulo de la colina y el $\backslash \; theta$ del ángulo de lanzamiento como antes, puede ser demostrado que la gama a lo largo de la colina $R\_s$ forma un cociente con la gama original $R$ a lo largo del horizontal imaginario, tales que:

$\backslash \; frac\; \{R\_s\}\; \{R\}\; =\; (1\; \backslash \; choza\; \backslash )\; \backslash \; sec\; \backslash \; alfa$ (ecuación 11) de la theta \ del tan \ de la alfa

En esta ecuación, cuesta abajo ocurre cuando el $\backslash \; alpha$ está entre 0 y -90 grados. Para esta gama del $\backslash \; alpha$ sabemos: = \ tan \ = \ sec \ alpha de alpha del $\backslash \; del\; tan\; (-\; \backslash \; alfa)\; y\; del$ \backslash \; del\; sec\; (-\; \backslash \; alfa).\; Así\; para\; esta\; gama\; del$ \backslash \; alpha$,$ R\_s/R=\; ()\; \backslash \; sec\; \backslash \; alfa$de\; 1+\; \backslash \; del\; tan\; \backslash \; de\; la\; theta\; \backslash \; del\; tan\; \backslash \; de\; la\; alfa.\; Así$ R\_s/R$es\; un\; valor\; positivo\; que\; significa\; que\; la\; gama\; cuesta\; abajo\; essiempremás\; futura\; que\; a\; lo\; largo\; de\; terreno\; llano.\; Esto\; tienesentidoperfecto\; mientras\; que\; se\; espera\; que\; la\; gravedad\; asista\; al\; proyectil,\; dándole\; mayor\; gama.$$

Mientras que la misma ecuación se aplica a los proyectiles encendidos cuesta arriba, la interpretación es tan más compleja que a veces la gama ascendente puede ser más corta o más de largo que la gama equivalente a lo largo del terreno llano. La ecuación 11 de mayo se fije a $R\_s/R=1$ (es decir la gama inclinada es igual a la gama llana del terreno) y a solucionar para el " angle" crítico; $\backslash \; theta\_\; \{cr\}$:

$1=\; (1\; \backslash )\; \backslash \; sec\; \backslash \; alfa\; \backslash \; patio\; del\; tan\; \backslash \; de\; la\; theta\; \backslash \; del\; tan\; \backslash \; de\; la\; alfa\; \backslash ;$
$\backslash \; theta\_\; \{cr\}\; =\; \backslash \; arctan\; ((1\; \backslash )\; \backslash )\; \backslash \; patio\; de\; la\; choza\; del\; csc\; \backslash \; de\; la\; alfa\; \backslash \; de\; la\; alfa\; \backslash ;$

La ecuación 11 de mayo también se utilice para desarrollar el " " de la regla del fusilero; para los pequeños valores del $\backslash \; alpha$ y del $\backslash \; theta$ (es decir cerca de la leña horizontal, que es el caso para muchas situaciones del arma de fuego). Para los pequeños valores, el $\backslash \; el\; tan\; \backslash \; alpha$ y $\backslash \; el\; tan\; \backslash \; theta$ tienen un pequeño valor y así cuando está multiplicado junto (como en la ecuación 11), el resultado es casi cero. Así la ecuación 11 de mayo se aproxime como:

$\backslash \; frac\; \{R\_s\}\; \{R\}\; =\; (1-0)\; \backslash \; sec\; \backslash \; alfa$ Y solucionando para la gama llana del terreno, $R=R\_s\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; "\; del\; de$ R$de\; la\; alfa\; \backslash$; Rule" del fusilero; Así si el tirador intenta golpear la distancia llana R, él golpeará realmente la blanco inclinada. " Es decir fingir que la blanco inclinada está en una distancia horizontal igual a la distancia de la gama inclinada multiplicada por el coseno del ángulo de inclinación, y puntería como si la blanco fuera realmente en ésa position." horizontal;

Derivación basada en ecuaciones de una parábola

La intersección de la trayectoria de proyectil con una colina se puede derivar lo más fácilmente posible usar la trayectoria en forma parabólica en los coordenadas cartesianos (ecuación 10) que interseca la colina de la cuesta $m$ en forma linear estándar en el $de\; los\; coordenadas\; (x,\; y)$:
$y=mx+b\; del$
\; (ecuación 12) donde en este caso, $y=d\_v$, $x=d\_h$ y $b=0$

Substituir el valor del $d\_v=m\; d\_h$ en la ecuación 10: x=- del $m\; del\; \backslash \; frac\; \{g\}\; \{2v^2\; \{\backslash \; lechuga\; romana\}\; ^2\; \backslash \; theta\}\; x^2\; +\; \backslash $ x=\; frac\; \{\backslash \; pecado\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; theta\}\; x$\backslash \; frac\; \{2v^2\; \backslash \; cos^2\; \backslash \; theta\}\; \{g\}\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; pecado\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; theta\}\; -\; m\; \backslash \; derecho)$ dejado (que soluciona sobre x) Este valor de x se puede substituir nuevamente dentro de la ecuación linear 12 para conseguir la coordinada Y correspondiente en la intercepción: $y=mx=m\; del\; \backslash \; frac\; \{2v^2\; \backslash \; cos^2\; \backslash \; theta\}\; \{g\}\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; pecado\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; theta\}\; -\; m\; \backslash \; derecho)$ dejado Ahora la gama inclinada $R\_s$ es la distancia de la intercepción del origen, que es apenas la hipotenusa de x y de y:

$R\_s=\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{x^2+y^2\}\; =\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{\backslash \; ido\; (\backslash \; frac\; \{\}\; \backslash \; dejado\; de\; 2v^2\; \backslash \; de\; cos^2\; \backslash \; de\; la\; theta\}\; \{g\; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; pecado\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; theta\}\; -\; m\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; derecho)\; ^2+\; \backslash \; ido\; (m\; \backslash \; frac\; \{\}\; \backslash \; dejado\; de\; 2v^2\; \backslash \; de\; cos^2\; \backslash \; de\; la\; theta\}\; \{g\; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; pecado\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; theta\}\; -\; m\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; derecho)\; ^2\}$

$=\; \backslash \; frac\; \{2v^2\; \backslash \; cos^2\; \backslash \; theta\}\; \{\}\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; de\; g\; \{\backslash \; se\; fue\; (\backslash \; frac\{\backslash \; pecado\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; lechuga\; romano\; \backslash \; theta\}\; -\; m\; \backslash \; derecho)\; ^2+m^2\; \backslash \; ido\; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; pecado\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; theta\}\; -\; m\; \backslash \; derecho)\; ^2\}$
$=\; \backslash \; frac\; \{2v^2\; \backslash \; cos^2\; \backslash \; theta\}\; \{g\}\; \backslash \; ido\; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; pecado\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; theta\}\; -\; m\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{1+m^2\}$

Ahora el $\backslash \; alpha$ se define como el ángulo de la colina, así que por la definición de la tangente, $m=\; \backslash \; el\; tan\; \backslash \; alpha$. Esto se puede substituir en la ecuación para $R\_s$:

$R\_s=\; \backslash \; frac\; \{2v^2\; \backslash \; cos^2\; \backslash \; theta\}\; \{g\}\; \backslash \; se\; fue\; (\backslash \; -\; \backslash \; tan\; \backslash )\; alfa\; \backslash \; derecho\; \backslash raíz\; cuadrada\{1+\; \backslash \; tan^2\; \backslash \; alfa\}\; del\; frac\; \{\backslash \; pecado\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; theta\}$ Ahora esto puede refactored y la identidad trigonométrica para = \ raíz cuadrada {1 + \ tan^2 \ alfa} del $\backslash \; del\; sec\; \backslash \; de\; la\; alfa\; puede\; ser\; utilizada:$

$R\_s=\; \backslash \; frac\; \{2v^2\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; theta\; \backslash \; pecado\; \backslash \; theta\}\; \{g\}\; \backslash \; se\; fue\; (1\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pecado\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \}\; \backslash \; tan\; \backslash )\; alfa\; \backslash \; derecho\; \backslash \; sec\; \backslash \; alpha$ de la theta Ahora la gama plana $R=v^2\; \backslash \; pecado\; 2\; \backslash \; theta/g\; =\; 2v^2\; \backslash \; pecado\; \backslash \; theta\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; theta/g$ por la identidad trigonométrica previamente tan usada y el $\backslash \; el\; pecado\; \backslash \; la\; theta\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; theta=tan\; \backslash \; theta$:

$R\_s=R\; (1\; \backslash )\; \backslash \; sec\; \backslash \; alfa\; del\; tan\; \backslash \; de\; la\; theta\; \backslash \; del\; tan\; \backslash \; de\; la\; alfa\; \backslash ;$
$\backslash \; frac\; \{R\_s\}\; \{R\}\; =\; (1\; \backslash )\; \backslash \; sec\; \backslash \; alpha$ del tan \ de la theta \ del tan \ de la alfa

Objetos Orbiting

Si en vez de una fuerza gravitacional del uniforme hacia abajo consideramos dos cuerpos que se mueven en órbita alrededor con la gravitación mutua entre ellos, obtenemos Leyes de Kepler del movimiento planetario . La derivación de éstos era uno de los trabajos principales Isaac Newton y con tal que mucha de la motivación para el desarrollo del cálculo diferenciado .

Ver también

trayectoria de la En popa-travesía
Órbita (dinámica)
Órbita (teoría de grupo)
Órbita planetaria
Diagrama de Porkchop
Cuerpo rígido
Trayectoria de un proyectil

.

Zenithic

Gillian Cross

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