El tensor del término tiene significados levemente diversos en las matemáticas y la física . En los campos matemáticos de la álgebra multilinear y de la geometría diferenciada, un tensor es una función multilinear . En la física y la ingeniería, el mismo término significa generalmente lo que llamaría un matemático un campo de tensor : una asociación de un diverso tensor (matemático) con cada punto de un espacio geométrico, variando continuamente con la posición.

Historia

El tensor del de la palabra fue introducido en el 1846 por el serbal Hamilton de Guillermo para describir la operación de la norma en cierto tipo de sistema algebraico (conocido eventual como álgebra de Clifford). La palabra fue utilizada en su significado actual por el Woldemar Voigt en el 1899 .

El cálculo del tensor fue desarrollado alrededor 1890 por el Gregorio Ricci-Curbastro bajo cálculo diferenciado absoluto título, y hecho accesible a muchos matemáticos por la publicación texto clásico 1900 de s de Levi-Civita Tullio de 'del mismo nombre (en italiano; traducciones seguidas). En el vigésimo siglo, el tema vino ser conocido como el análisis del tensor del, y aceptación más amplia alcanzada con la introducción teoría de s de Einstein de 'de la relatividad general, alrededor 1915 .

La relatividad general se formula totalmente en la lengua de tensores. Einstein había aprendido sobre ellos, con gran dificultad, Marcelo Grossmann del geómetra, o quizás de Levi-Civita mismo. Los tensores se utilizan también en otros campos tales como mecánicos de serie continua .

Dos usos del “tensor”

Matemático

En las matemáticas, un tensor es (en un sentido informal) un generalizado linear la “cantidad” o la “entidad geométrica” que se pueden expresar como matriz multidimensional concerniente a una opción de la base del espacio particular en el cual se define. La intuición que es la base del concepto del tensor es intrínsecamente geométrica: como objeto de por sí, un tensor es independiente del de cualquier bastidor elegido de la referencia . Sin embargo, en el tratamiento moderno, la teoría del tensor es mejor mirado como asunto en la álgebra multilinear . Los usos de la ingeniería no requieren generalmente la teoría completa, general, pero la física teórica ahora hace.

Por ejemplo, el producto interno (producto de punto ) - una función con valores reales euclidiano de dos vectores que es linear en cada uno - es un tensor matemático. Semejantemente, en una superficie curvada lisa tal como un toro, el tensor métrico (campo) esencialmente define un producto interno de diverso de los vectores de la tangente en cada punto de la superficie. Apenas mientras que un que la transformación linear se puede representar como matriz de números con respecto a dado del vector basa, así que un tensor se puede escribir como colección organizada de números. En la física, los números se pueden obtener como cantidades físicas que dependan de una base, y la colección se determina para ser un tensor si las cantidades transforman apropiadamente bajo cambio de la base.

Físico - campos de tensor

Muchos “tensores informal llamados matemáticos” de las estructuras son realmente '&mdash de los campos de tensor ; una abstracción de tensores al campo, en donde las cantidades tensoriales varían de punto a punto. Las ecuaciones diferenciales planteadas en términos de cantidades del tensor son básicas a la física matemática moderno, para aplicar métodos del cálculo diferenciado también a los tensores.

Fila del tensor

La fila de un tensor particular es el número de índices del arsenal requeridos para describir tal cantidad. Por ejemplo en mecánicos clásicos, el total, la temperatura, y otras cantidades escalares son tensores de la fila 0; pero la fuerza, el ímpetu y el otro vector - las cantidades semejantes son tensores de la fila 1. Los aspectos nuevos de la teoría del tensor se consideran de la fila 2 hacia adelante. Una transformación linear tal como una relación anisotrópica (masa relativista ) entre la fuerza y los vectores de la aceleración es un tensor de la fila 2. Existe una relación similar entre la temperatura en diversos marcos de referencia en la termodinámica relativista .

Valencia del tensor

En usos físicos, los índices del arsenal son distinguidos siendo Contravariant (exponentes) o la covariante (subíndices), dependiendo del tipo de características de la transformación. La valencia de un tensor particular es el número y el tipo de índices del arsenal; los tensores con iguales alinean pero diversa valencia no es, generalmente idéntico. Sin embargo, cualquier índice dado de la covariante se puede transformar en un Contravariant uno, y viceversa, aplicando el tensor métrico . Esta operación se conoce generalmente como que levanta o que baja los índices .

Importancia y usos

Los tensores son importantes en la física y la ingeniería . En el campo de la proyección de imagen del tensor de la difusión, por ejemplo, de una cantidad del tensor que exprese la permeabilidad diferenciada de órganos al agua en direcciones diversas se utiliza para producir las exploraciones del cerebro ; en esta técnica los tensores en efecto se hacen visibles. Quizás los ejemplos más importantes de la ingeniería son el tensor de tensión y el tensor de tensión, que son ambos 2dos tensores de la fila, y son relacionados en un material de elástico linear general por un cuarto tensor de la elasticidad de la fila.

Específicamente, una tensión de cuantificación del 2do tensor de la fila en un objeto de 3 dimensiones/sólido tiene componentes que se puedan representar convenientemente como arsenal 3x3. Las tres caras cartesianas de un segmento infinitesimal cube-shaped del volumen del sólido son cada uno conforme a una cierta fuerza dada. Los componentes del vector de la fuerza son también tres en gran número (estando en tres-espacio). Así, 3x3, o 9 componentes se requieren para describir la tensión en este segmento infinitesimal cube-shaped (que se pueda ahora tratar como punto). Dentro de los límites de este sólido está una masa entera de las cantidades diversas de la tensión, cada 9 cantidades que requieren a describir. Así, la necesidad de un tensor del segundo orden se produce.

Mientras que los tensores se pueden representar por matrices multidimensionales de componentes, el punto del tener una teoría tensor es explicar otras implicaciones de decir que una cantidad es un tensor del, más allá de especificar que requiere un número de componentes puestos en un índice. Particularmente, los tensores se comportan de maneras específicas bajo transformaciones del coordenada que la teoría abstracta de tensores es una rama de la álgebra linear, ahora llamada el la álgebra multilinear .

La opción del acercamiento

Hay dos maneras de acercarse la definición de tensores:

la manera generalmente de la física de definir los tensores, en términos de objetos cuyos componentes transforman según ciertas reglas, exponiendo las ideas de la covariante o de las transformaciones de Contravariant .

la manera generalmente de las matemáticas, que implica el definir de ciertos espacios de vector y el no fijar de ningunos sistemas coordinados hasta que se introduzcan las bases cuando estén necesitadas. Los vectores de Contravariant, por ejemplo, se pueden también describir como las Uno-formas o como los elementos del espacio dual a los vectores de la covariante.

Los físicos y los ingenieros están entre el primer para reconocer que los vectores y los tensores tienen una significación física como entidades, que va más allá de (a menudo arbitrario) coordina el sistema en el cual se enumeran sus componentes. Semejantemente, los matemáticos encuentran que hay algunas relaciones del tensor que se derivan más convenientemente en una notación de la coordinación.

Ejemplos

Ejemplos físicos

Como ejemplo simple, considerar una nave en el agua. Queremos describir su respuesta a una fuerza aplicada. La fuerza es un vector, y la nave responderá con una aceleración, que es también un vector. La relación entre la fuerza y la aceleración es el linear en mecánicos clásicos. Tal relación es descrita por un tensor espeso dos del tipo (1.1) (es decir, aquí él transforma un vector plano en otro tal vector). El tensor se puede representar como matriz que cuando es multiplicada por un vector dé lugar a otro vector. Apenas como los números que representan un vector cambiará si uno cambia el sistema coordinado, los números en la matriz que representa el tensor también cambiará cuando se cambia el sistema coordinado.

En la ingeniería, las tensiones dentro de un cuerpo sólido o el líquido también son descritos por un tensor; el " de la palabra; tensor" es latino para algo que estira, es decir, la tensión de las causas. Si un elemento superficial particular dentro del material se selecciona, el material en un lado de la superficie aplicará una fuerza en el otro lado. Esta fuerza no será generalmente ortogonal a la superficie, sino que dependerá de la orientación de la superficie de una manera linear. Esto es descrita por un tensor del tipo (2.0), en la elasticidad linear, o más exacto por un campo tensor del tipo (2.0) puesto que las tensiones pueden cambiar de punto a punto.

Ejemplos matemáticos

Algunos ejemplos bien conocidos de tensores en la geometría diferenciada son las formas de la ecuación cuadrática tal como tensores métricos y el tensor de la curvatura.

Formalmente hablando, un tensor tiene un tipo particular según la construcción con los productos de tensor que le dan lugar. Para los propósitos de cómputo, puede ser expresado como la secuencia de valores representados por una función con un Tuple - dominio valorado y una gama valorada escalar . Los valores del dominio son tuples que cuentan los números y estos números se llaman los índices. Por ejemplo, un tensor de la fila 3 pudo tener dimensiones 2, 5, y 7. Aquí, los índices se extienden de “1, 1, 1” con “2, 5, 7”; así el tensor tendría un valor en “1, 1, 1”, otro en “1, 1, 2”, y así sucesivamente para un total de 70 valores. Como caso especial, los vectores (finito-dimensionales) se pueden expresar como secuencia de valores representados por una función con un dominio valorado escalar y una gama valorada escalar; el número de índices distintos es la dimensión del vector. Usar este acercamiento, el tensor de la fila 3 de la dimensión (2.7) se puede representar como arsenal de 3 dimensiones del × 7. del × 5 del tamaño 2. En este uso, el número de " dimensions" abarcar el arsenal es equivalente al " rank" del tensor, y de las dimensiones del tensor ser equivalente al " size" de cada dimensión del arsenal.

Un campo de tensor asocia un valor del tensor a cada punto en un múltiple . Así, en vez simplemente de tener 70 valores según lo indicado en el ejemplo antedicho, para un campo de tensor de la fila 3 con las dimensiones “2, 5, 7”; cada punto en el espacio tendría 70 valores asociados a él. Es decir los medios de un campo de tensor allí son una cierta función tensor-valorada que tiene, por ejemplo, espacio euclidiano como su dominio.

Acercamientos, detalladamente

Hay acercamientos equivalentes del del a la visualización y al trabajo con los tensores; que el contenido es realmente igual puede llegar a ser solamente evidente con una cierta familiaridad con el material.
El acercamiento clásico del el

l el acercamiento clásico ve los tensores mientras que el multidimensional pone en orden que sean el n - generalizaciones dimensionales de escalares, los vectores de 1 dimensión y las matrices de 2 dimensiones . El " components" del tensor están los valores en el arsenal. Esta idea se puede entonces generalizar más a fondo a los campos de tensor donde están las funciones o aún los diferenciales los elementos del tensor . el

l sin embargo, contar como tensor, los órdenes necesita transformar correctamente cuando se cambia la referencia coordina el sistema. Esta transformación es una generalización de la relación que se sostiene para los componentes del vector, y es semejantemente una expresión de la independencia de la entidad subyacente del marco de referencia en el cual se expresa.

el acercamiento moderno del el

l el acercamiento (componente-libre) moderno ve los tensores inicialmente como objetos abstractos, expresando un cierto tipo definido de concepto multilinear. Sus características bien conocidas se pueden derivar de sus definiciones, como mapas lineares o más generalmente; y las reglas para las manipulaciones de tensores se presentan como extensión de la álgebra linear a la álgebra multilinear . Este tratamiento ha intentado substituir el tratamiento component-based para el estudio avanzado, de la manera que el tratamiento componente-libre más moderno de vectores substituye el tratamiento component-based tradicional después de que el tratamiento component-based se haya utilizado para proporcionar una motivación elemental para el concepto de un vector. Usted podría decir que el lema es “tensores es elementos de un cierto espacio del tensor”. Sin embargo, un acercamiento componente-libre no ha llegado a ser completamente popular, debido a las dificultades implicadas con el donante de una interpretación geométrica a alto-alinea los tensores.

que el tratamiento intermedio del del artículo de los tensores intenta tender un puente sobre los dos extremos, y demostrar sus relaciones.

En el extremo se expresa el mismo contenido de cómputo, ambas maneras. Ver el glosario de la teoría del tensor para un listado de términos técnicos.

Densidades del tensor

considera también:

la densidad del tensor Es también posible que un campo de tensor tenga un " density". Un tensor con el r de la densidad transforma como tensor ordinario bajo transformaciones coordinadas, salvo que también es multiplicado por el determinante Jacobian a la energía del r th. Invariante, en la lengua de la álgebra multilinear, uno puede pensar en densidades del tensor como mapas multilineares que toman sus valores en el espacio (de 1 dimensión) del n - formas (donde está la dimensión el n del espacio), en comparación con tomar sus valores en apenas el R . Un " más alto; weights" entonces apenas corresponder a tomar productos de tensor adicionales con este espacio en la gama. En la lengua de los paquetes del vector el paquete determinante del paquete de la tangente es una línea paquete que se puede utilizar “para torcer” otras veces del r de los paquetes.

Ver también

Glosario de la teoría del tensor

Notación

Notación abstracta del índice
Notación de Einstein
Notación de Voigt
Notación de Mandel
Notación gráfica de Penrose
que levanta y que baja los índices

Fundacional

Covariación y contravariance de los vectores
Paquete de fibra
Uno-forma
Campo de tensor
Producto de tensor

Usos

Diferenciación absoluta
Uso de la teoría del tensor en la ingeniería
Uso de la teoría del tensor en la física
Curvatura
Ecuaciones de campo de Einstein
Mecánicos flúidos
Geometría Riemannian
Derivado del tensor
Tensor de la estructura

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