= J^T J \

el resultado es el métrico G del tensor.

Usar el tensor métrico para calcular distancia

en el siguiente, utilizamos la notación de Einstein para las sumas implícitas.

La longitud de un segmento de una curva dada parámetros por el t, del un al b, se define como: $L\; del$

l = \ despegue del int_a^b \ raíz cuadrada {g_ {ij} {dx^i \ sobre despegue} {dx^j \ sobre despegue}} \

donde ( x ₁ ( t ),…, n ( t ) del _{) del x es la ecuación que describe esta curva en el sistema coordinado local.}

Usar el tensor métrico para calcular ángulo

en el siguiente, utilizamos la notación de Einstein para las sumas implícitas.

El &theta del ángulo; entre dos tangente vectors $U=u^i\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; sobre\; \backslash \; x\_i\; parcial\}\; \backslash$ y $V=v^i\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; sobre\; \backslash \}\; parcial\; \backslash$ del x_i, se define como:

$\backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; =\; \backslash \; frac\; de\; la\; theta\; \{u^iv^j\; del\; g\_\; \{ij\}\}\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{\backslash \; se\; fue|\; u^iu^j\; del\; g\_\; \{ij\}\; \backslash \; derecho|\; \backslash \; se\; fue|\; v^iv^j\; del\; g\_\; \{ij\}\; \backslash \; derecho|\}\}.\; \backslash$

Ejemplos

El métrico euclidiano

$g\_\; \{ij\}\; =\; \backslash \; comienzan\; \{bmatrix\}\; 1\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 1\; \backslash \; fin\; \{\}\; \backslash \; =\; \backslash \; delta\_\; \{ij\}$ del bmatrix

La longitud de una curva reduce a la fórmula familiar del cálculo :

$L\; =\; \backslash \; int\_a^b\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{(dx^1)^2\; +\; (dx^2)^2\}\; \backslash$

El métrico euclidiano en algunos otros sistemas coordinados comunes se puede escribir como sigue.

Coordenadas polares : $(x^1,\; x^2)=\; (r,\; \backslash )\; \backslash$ de la theta

$g\_\; \{ij\}\; =\; \backslash \; comienzan\; \{bmatrix\}\; 1\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; (x^1)^2\; \backslash \; fin\; \{\}\; \backslash$ del bmatrix

Coordenadas cilíndricos : $(x^1,\; x^2,\; x^3)=\; (,\; de\; r\; \backslash \; theta,\; z)\; \backslash$

$g\_\; \{ij\}\; =\; \backslash \; comienzan\; \{bmatrix\}\; 1\; y\; 0\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; (x^1)^2\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 0\; y\; 1\; \backslash \; fin\; \{\}\; \backslash$ del bmatrix

Coordenadas esféricos : $(x^1,\; x^2,\; x^3)=\; (,\; \backslash \; phi,\; \backslash )\; \backslash$ de r de la theta

$g\_\; \{ij\}\; =\; \backslash \; comienzan\; \{bmatrix\}\; 1\; y\; 0\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; (x^1)^2\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 0\; y\; (x^1\; \backslash \; pecado\; x^2)^2\; \backslash \; fin\; \{\}\; \backslash$ del bmatrix

Coordenadas arbitrarios : El tensor métrico de la covariante se puede encontrar siempre para un sistema coordinado arbitrario en espacio euclidiano aplicando la regla de la transformación del tensor de la covariante: = \ frac {\ x_i parcial} del _ del $\backslash \; de\; la\; barra\; del\; \{g\}\; \{kilolitro\}\; \{\backslash \; \_k\; parcial\; \backslash \; de\; la\; barra\; \{x\}\}\; \backslash \; g\_\; del\; frac\; \{\backslash \; x\_j\; parcial\}\; \{\backslash \; \_l\; parcial\; \backslash \; de\; la\; barra\; \{x\}\}\; \{ij\}$ Un punto de partida fácil para esta transformación es a menudo los coordenadas cartesianos, donde están los coordenadas los $x\_i$ y los $x\_j$ familiares, y = \ delta_ {ij} del g_ del $\{ij\}$

El métrico Pseudo-Euclidiano

$g\; =\; \backslash \; comienzan\; \{bmatrix\}\; -1\; y\; 0\; y\; 0\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 1\; y\; 0\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 0\; y\; 1\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 0\; y\; 0\; y\; 1\; \backslash \; fin\; \{\}\; \backslash$ del bmatrix

Covariante y tensores métricos de Contravariant

Hay dos versiones del tensor métrico, de un $g\_\; del\; tensor\; de\; la\; covariante\; \{ij\}$ y de un $g^\; contravariant\; del\; tensor\; \{ij\}$. Estos dos tensores deben satisfacer la identidad: = \ delta^i_j del g_ del g^ del $del\; \{ik\}\; \{kj\}\; Estos\; dos\; tensores\; son\; utilizados\; para\; transformar\; entre\; la\; covariante\; y\; las\; formas\; contravariant\; de\; tensores\; por\; el\; que\; levanta\; y\; que\; baja\; los\; índices,\; como\; sigue:$ A^j\; del\; =$ A\_j\; g^\; de\; A\_i\; \{ij\}$=\; g\_\; de\; A^i\; \{ij\}$$

El isomorfismo de la tangente-cotangente

En análisis del tensor, el tensor métrico es de uso frecuente proporcionar un isomorfismo canónico del espacio de tangente al espacio de la cotangente: dado un multíple M, &isin del v ; El M del p de T _{y un métrico g del tensor en el M, tenemos ese g ( v ,•), trazando eso envía otro &isin dado del w del vector; El M del p} de T _{a el g ( v, w ), es un elemento del M del p} * de T _{del espacio dual. El nondegeneracy del tensor métrico le hace una correspondencia una por, y el hecho de que el g sí mismo sea un tensor significa que esta identificación es independiente de coordenadas. En terminología componente, significa que una puede identificar covariante y contravariant se opone es decir, el " aumento y un indices." más bajo;}

Esto tiene una interpretación física agradable se palíe que a menudo. El tensor métrico tiene que hacer obviamente con la medida. ¿Podemos pedir, qué somos la escala para estas medidas? Una opción del de la base define el sistema de unidades en nuestro múltiple. Las nociones del contravariance y de la covariación corresponden a las cantidades cuyos componentes transforman el " inversely" o " with" el sistema coordinado, por lo tanto los nombres. Por ejemplo, considerar el R ³ con la carta coordinada estándar. Si transformamos el sistema coordinado reduciendo proporcionalmente la distancia de unidad (decir los metros) por un factor de 1000, el vector de la dislocación (1.3) se convierte (1000. Por una parte, si (1.3) representa un vector dual (por ejemplo, fuerza de campo eléctrico), un objeto que toma un vector de la dislocación y rinde un escalar (en el ejemplo: la diferencia potencial en, por ejemplo, voltios), entonces los coordenadas transformados se convierte (0. ¿Qué el métrico euclidiano en el R ³ hace? (1.3) el convertirse (1000.3000) tiene sentido porque reduce proporcionalmente por 1000 metros de las tomas a los milímetros. Para el vector de la fuerza de campo, (1.003) es una reflexión de la fuerza de campo que va de de voltios por el metro de al de voltios por milímetro de .

¿Pero cuál es la versión contravariant de la fuerza de campo? ¿Cómo podemos hacer que los coordenadas de campo de un vector de la fuerza van de (1.3000)? La solución es ver la transformación scale-down-by-1000 como afectar a voltios del en las unidades V/m en vez de los metros del para medir nuestra nueva fuerza en milivoltios por el metro. El tensor métrico nos dice que que todavía nos estamos ocupando del mismo objeto, es decir, él el identifica exacto el escalamiento de los vectores de la base para el " de las unidades; en el denominator" con un " inverso correspondiente del cambio; en el numerator." Aunque algo sea trivial para el R ³, porque el general M de los múltiples sea muy importante puesto que uno puede definir solamente cosas localmente. Uno puede también imaginarse, por ejemplo, la definición del " units" divertido; en el R ³ que varían de punto a punto.

Ver también

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