La teoría de Einstein-Cartan del en la física teórica amplía la relatividad general, al ímpetu angular de la vuelta de la manija correctamente. Básicamente, es apenas un nombre de lujo para describir a general relatividad con una torsión diferente a cero.

Pues la teoría principal de la relatividad general de la física clásica tiene un defecto sabido: no puede describir el " " espín-órbita del acoplador ;, es decir, intercambio del ímpetu angular intrínseco (vuelta ) y del ímpetu angular orbital . Hay una demostración teórica cualitativa de la prueba que la relatividad general se debe ampliar a la teoría de Einstein-Cartan cuando la materia con vuelta está presente.

Los efectos experimentales son demasiado pequeños ser observados actualmente porque el tensor de la vuelta de los objetos macroscópicos típicos son a menudo pequeño y la torsión de nonpropagating que significa eso la torsión aparecerá solamente dentro de un cuerpo masivo. Además, solamente pares de giro de los objetos a torsión.

Motivación

La razón que la relatividad general no puede describir el acoplador espín-órbita se arraiga en la geometría Riemannian, en la cual se basa la relatividad general. En geometría Riemannian, el tensor de la curvatura de Ricci

$R\_\; \{\}\; \backslash ,\; del\; ab$

debe ser simétrico en al y el b (es decir, R_ab = R_ba ). Por lo tanto el G_ab del tensor de la curvatura de Einstein definido como $G\_\; del$

l {ab} \ R_ equivalente {ab} - {1 \ sobre 2} g_ de R {ab}

debe ser simétrico. En relatividad general, el tensor de la curvatura de Einstein modela fuerzas gravitacionales locales, y es igual (hasta un constante gravitacional) al tensor del Energía-ímpetu

$P\_\; \{\}\; \backslash ,\; del\; ab$

(Denotamos el tensor del ímpetu de la energía por el $P\; \backslash ,$ porque el $T\; acostumbrado\; delsímbolo\backslash ,$ en relatividad general se utiliza en la teoría de Einstein-Cartan para denotar el afinamos la torsión .) La simetría de las fuerzas de tensor de la curvatura de Einstein el tensor del ímpetu a ser simétrico. Sin embargo, cuando se están intercambiando la vuelta y el ímpetu angular orbital, el tensor del ímpetu se sabe para ser dismétrico según la ecuación general de la conservación del ímpetu angular

l (divergencia de la vuelta actual) - ½ ( T_ab - T_ba ) = 0. (el considera el hacer girar el tensor para más detalles. )

Por lo tanto la relatividad general no puede modelar correctamente el acoplador espín-órbita .

En el 1922 Elie Cartan conjeturó que la relatividad general se debe ampliar incluyendo el afina la torsión, que permite que el tensor de Ricci sea dismétrico. Aunque el acoplador espín-órbita sea un fenómeno relativamente de menor importancia en la física gravitacional, la teoría de Einstein-Cartan es absolutamente importante porque el (1) que hace claramente que una teoría de la afinación, no una teoría métrica, proporciona una mejor descripción de la gravitación; el
(2) explica el significado de afina la torsión, que aparece naturalmente en algunas teorías de la gravedad de quántum; y el
(3) interpreta vuelta como afina la torsión, que es geométrico una aproximación de la serie continua a un campo de dislocaciones en el medio del espacio-tiempo. La extensión de la geometría Riemannian a incluir afina la torsión ahora se conoce como geometría de Riemann-Cartan del .

Geometría y formulación

La física subyacente del espacio-tiempo de las matemáticas básicas es las ideas afina las conexiones y la geometría diferenciada, en las cuales dotamos un múltiple diferenciable M dimensional de n con una ley de la traducción paralela de vectores a lo largo de las trayectorias en el M. (en cada punto de un múltiple diferenciable, tenemos un espacio linear de los vectores de la tangente, pero no tenemos ninguna manera de transportar vectores a otro punto, o de comparar vectores en dos puntos en el M.) el que la traducción paralela preserva relaciones lineares entre los vectores; es decir, si dos vectores u y v en el mismo punto del paralelo de M traducen a lo largo de una curva a los vectores u' y v', entonces

l u + b v

el paralelo traduce a a

l u' + b v'.

El paralelismo es trayectoria-dependiente; es decir, si usted paralelo traduce un vector a lo largo de dos diversas trayectorias con los mismos puntos el comenzar y de conclusión, los vectores resultantes en la punto final en general diferencian. La diferencia entre paralelo-traducir un vector a lo largo de diversas curvas es el significado esencial de la curvatura, que es el concepto central en geometría diferenciada.

En (pseudo) geometría Riemannian, un múltiple diferenciado M dimensional de n se dota con un métrico Riemannian g, que es un mapa linear nondegenerate que los mapas dos vectores de la tangente a un número verdadero . El métrico determina únicamente una ley de la traducción paralela que los productos internos de los cotos entre los vectores y tengan torsión cero. Esta ley de la traducción paralela se llama la conexión de Levi-Civita.

(En la lengua más abstracta de los paquetes de fibra, si el g métrico es preservado por la conexión, después del grupo de la estructura del paquete principal es reducible al grupo ortogonal O (p, q), donde el g métrico tiene direcciones principales de p con direcciones principales positivas de la longitud y de q con longitud negativa.)

Una geometría de Riemann-Cartan es determinada únicamente por el
un campo de tensor métrico g que especifica todas las longitudes de vectores y de ángulos entre los vectores.
el requisito que las longitudes y pesca con caña es preservado por el transporte del paralelo. Esto es expresada por la condición que el derivado de la covariante del tensor métrico desaparece: $del$

l del
\ nabla \ {g} =0 en negrilla

l donde ∇ es el derivado de la covariante determinado por el afina la conexión . un campo Θ de la torsión de la afinación $\backslash \; nabla\_\; \{\backslash \; en\; negrilla\; del$

l del
{u}} \ {v} - en negrilla \ nabla_ {\ en negrilla {v}} \ en negrilla {u} - = \ theta (\ en negrilla {u}, \ en negrilla {v})

l donde están campos de vector y son el soporte u y v de la mentira. (Véase la álgebra de mentira para la definición del soporte de la mentira.)

En la geometría de Riemann-Cartan, el tensor de la curvatura tiene una parte rotatoria _{k del R del}

l, l, jⁱ,

análogo a la curvatura en geometría Riemannian, y a una parte de translación, la torsión de la afinación _{i del T del}

l, j^k.

El _{k rotatorio del R de la curvatura, l, j}ⁱ describe la rotación en el i, experimentado plano por un vector que sea paralelo traducido alrededor de un pequeño lazo en la k, l plano de j en el múltiple bajo. El _{i de translación del T de la curvatura, j}^k describe la traducción en la dirección de i resultando de “desarrollar” un pequeño lazo en el múltiple bajo M en un múltiple plano X que tenga la misma dimensión que el M. (que desarrolla una curva

C_m: → M

en una curva

C_x : → X

significa la definición de una curva CX en X que tenga el mismo patrón de aceleraciones que la curva cm en el M. La motivación para el desarrollo de una curva cm es crear una curva CX cuya forma sea determinada por el mismo patrón de aceleraciones que el cm, pero sin el impacto en la forma de la curva CX de la curvatura del espacio ambiente M.)

Una geometría de Riemann-Cartan con la torsión cero es una geometría Riemannian .

Cómo incluir traducciones del espacio-tiempo en teorías del calibrador del paquete de fibra ha sido un tema de la controversia por 50 años, porque las simetrías del espacio-tiempo no son simetrías internas del grupo de la estructura del paquete. Un acercamiento constante a incluir traducciones en teorías del espacio-tiempo es esquema adentro (Petti 2006).

La mejor manera de formular la teoría de Einstein-Cartan es distinguir entre las tangentes al espacio-tiempo M y las tangentes a un plano asociado afinan el espacio de fibra, el X.X es espacio euclidiano (pseudo-) de a (un espacio de Minkowski) con g métrico y ningún origen, así que usted no puede agregar dos puntos en X o multiplicar un punto en X por un escalar. La conexión de afinación nos dice que cómo ser paralelo a traducir los puntos en X y las tangentes a X a lo largo de curvas en M, no cómo ser paralelo a traducen tangentes al M. La parte de translación de la conexión de afinación actúa como un campo de marco (de lo contrario) que nos permita identificar tangentes a M con tangentes a X, y tira del g métrico en X a un métrico en el M. Mientras que la distinción entre las tangentes a M y las tangentes a X al principio puede parecer artificial, las ecuaciones de la teoría de Einstein-Cartan se convierten conceptual y de cómputo más simple cuando las corrientes conservadas (como ímpetu y vuelta) son representadas por las tangentes a X, que son paralelo traducido por la conexión, y las direcciones en M (y las cajas fluye del flujo a través de la cual conservó corrientes) son representados por las tangentes a M, que nunca necesitan ser paralelo traducido a lo largo de una curva en el M. En este artículo, utilizamos los índices romanos i, j, k,… para denotar vectores de la tangente a M y a los índices romanos a, b, c,… para denotar tangentes al espacio de fibra X. por ejemplo el tensor del ímpetu

P_a^k

representa el normal del flujo a la k-dirección del espacio-tiempo del ímpetu en la uno-dirección, y el tensor de la vuelta

Spin_{a, b}^k del

representa el normal del flujo a la k-dirección del espacio-tiempo de la vuelta en la a, plano de b.

(Punto avanzado: Para acomodar campos del espinor, todas las construcciones de la geometría Riemannian y de Riemann-Cartan se pueden generalizar de los grupos ortogonales, paquetes ortogonales principales del marco y los paquetes asociados de la tangente para hacer girar a grupos, los paquetes principales de la vuelta y el múltiple asociado del espacio-tiempo de los paquetes A del espinor admite un paquete de la vuelta sobre su paquete principal del marco solamente si la segunda clase de Stiefel-Whitney de M es cero. El tensor de Riemann es la forma de la curvatura para (generalizado para incluir alzas) las rotaciones (es decir la pieza de la vuelta (p, q)) mientras que la torsión es la forma de la curvatura para las traducciones (R⁴.)

Una interpretación geométrica de afina la torsión viene de los mecánicos de serie continua de materiales sólidos. Afinar la torsión es la aproximación de la serie continua a la distribución de las dislocaciones que se estudian en la metalurgia y cristalografía . Las clases más simples de dislocaciones en cristales verdaderos son
dislocaciones de borde del

(formadas agregando un mitad-plano adicional de átomos a un cristal perfecto, así que usted consiguen un defecto en la estructura cristalina regular a lo largo de la línea donde el mitad-plano adicional termina), y
dislocaciones de tornillo (formadas insertando un " ramp" del garage de estacionamiento; eso extiende a los bordes del garage en una estructura de otra manera perfectamente acodada).

Podemos pensar en una geometría de Riemann-Cartan según lo determinado únicamente por las longitudes y los ángulos de vectores y de la densidad de dislocaciones en la estructura de la afinación del espacio.

La relatividad general fijó la torsión de la afinación a cero, porque no aparecía necesario proporcionar un modelo de la gravitación (con un sistema constante de ecuaciones que eso llevó a un problema de valor inicial bien definido).

Derivación de las ecuaciones de campo de la teoría de Einstein-Cartan

La relatividad general y la teoría ambas de Einstein-Cartan utilizan la curvatura escalar como de Lagrange. La relatividad general obtiene sus ecuaciones de campo variando la acción (integral de Einstein-Hilbert del espacio-tiempo excesivo de Lagrange) con respecto al tensor métrico. El resultado es las ecuaciones famosas de Einstein $R\_\; del$

l {ab} - \ = \ frac {8 \ pi G} {c^4} P_ {ab} del g_ del frac {1} {2} R {ab}

donde
el $R\_\; del$

{ab} es los componentes del tensor de Ricci (una contracción del tensor lleno de la curvatura de Riemann que tiene cuatro índices).
el $g\_\; \{ab\}$ es los componentes métricos del tensor (nondegenerate simétrico).
el

$R$ es la curvatura escalar ( Ricci escalar).
el $P\_\; del$

{ab} es los componentes del tensor del Energía-ímpetu. (Reservamos el símbolo $T$, que es el símbolo generalmente para el tensor del energía-ímpetu en relatividad general, para la torsión de la afinación.)
el

$G$ es el constante gravitacional neutoniano.
el

$c$ es la velocidad de la luz .

La segunda identidad contratante de Bianchi de la geometría Riemannian se convierte, en relatividad general, $div\; del$

l _ de P = de P^ {ab} {} {; b} =0

cuál hace la conservación de la energía y del ímpetu equivalentes a una identidad de la geometría Riemannian.

Una pregunta básica en formular la teoría de Einstein-Cartan es qué variables en la acción a variar para conseguir las ecuaciones de campo. Usted puede variar el $g\_\; métrico\; del\; tensor\; \{ij\}$ y el ^ del $T\_\; del\; tensor\; de\; la\; torsión\; \{ij\}\; \{\}\; \{k\}$. Sin embargo, esto hace las ecuaciones de la teoría de Einstein-Cartan más sucio que necesarias y disfraza el contenido geométrico de la teoría. La penetración dominante es dejar el grupo de la simetría de teoría de Einstein-Cartan ser el grupo no homogéneo (que incluye traducciones en espacio y tiempo), es decir, el análogo de la rotación del grupo euclidiano . (La simetría rotatoria no homogénea está quebrada por el hecho de que el punto cero en cada fibra de la tangente sigue siendo un punto preferred, según lo en la geometría Riemannian ordinaria basada en el grupo homogéneo de la rotación del .) Variamos la acción con respecto al afinamos los coeficientes de la conexión asociados a simetrías de translación y rotatorias. (El acercamiento similar de A en relatividad general se llama la variación de Palatini, en la cual la acción se varía con respecto a los coeficientes rotatorios de la conexión en vez del métrico; la relatividad general no tiene ningún coeficiente de translación de la conexión.)

Las ecuaciones de campo resultante de la teoría de Einstein-Cartan son: ^ del $R\_\; del$

l {a} {} {k} - \ ^ del g_ del frac {1} {2} {a} {} {k} R = \ ^ de P_ del frac {8 \ pi G} {c^4} {a} {} {k} ^ del $S\_\; del$

l {ab} {} {k} = \ ^ de Spin_ del frac {8 \ pi G} {c^4} {ab} {} {k}

donde
el ^ del $Spin\_\; del$

{ab} {} {k} es el tensor de la vuelta de toda la materia y radiación
^ del $S\_\; del$

{ab} {} {k} = ^ de T_ {ab} {} {k} + ^ de T_ del ^ del g_ {a} {} {k} {bm} {} {m} - el ^ de T_ del ^ del $g\_\; \{b\}\; \{\}\; \{k\}\; \{\}\; \{\}\; \{m\}$ es el tensor modificado de la torsión
el ^ del $T\_\; del$

{ab} {} {k} es el tensor de la torsión de la afinación.

La primera ecuación está igual que en relatividad general, salvo que la torsión de la afinación se incluye en todos los términos de la curvatura, así que el $P\_$ {aj} no necesita ser simétrico.

En segundo lugar contratante la identidad de Bianchi de la geometría de Riemann-Cartan se convierte, en la teoría de Einstein-Cartan,

div (P) = algunos términos muy pequeños que son los productos de la curvatura y de la torsión,

div (vuelta) = - parte antisimétrica del $P$ {aj}.

La conservación del ímpetu es subproductos alterados de la fuerza de campo gravitacional y de la densidad de la vuelta. Estos términos son condiciones normales inferiores excesivamente pequeñas, y parecen razonables en que el campo gravitacional sí mismo lleva energía. La segunda ecuación es conservación del ímpetu angular, en una forma que acomode el acoplador espín-órbita.

Penetraciones geométricas de la teoría de Einstein-Cartan

Primera penetración geométrica

La vuelta (ímpetu angular intrínseco) consiste en la distribución (continua o discreta) de a de dislocaciones en la tela del espacio-tiempo. Para los fermios ordinarios (las partículas con mitad-número entero hacen girar por ejemplo los protones, los neutrones y los electrones), éstas son dislocaciones de tornillo (rampas del garage de estacionamiento) con la dirección del timelike del tornillo. Es decir, para una partícula con vuelta en la dirección de +z, atravesando un Espacio-como lazo de en el plano x-y alrededor del paralelo de la partícula le traduce al pasado o al futuro por una pequeña cantidad.

Penetración en segundo lugar geométrica

Se ha sabido de largo que el tensor del ímpetu angular de la vuelta

Spin_{a, b}^k del

es el Noether actual de la simetría rotatoria del espacio-tiempo, y el tensor del ímpetu

P_a^k

es la corriente de Noether de la simetría de translación. (El teorema de Noether indica que, para cada simetría de un sistema físico, hay una corriente conservada correspondiente derivada realizando la transformación de la simetría en el de Lagrange.) la teoría de Einstein-Cartan proporciona una derivación limpia del ímpetu como la corriente de Noether de la simetría de translación. La relatividad general sin los coeficientes de translación de la conexión (que introducirían afinan la torsión en la teoría) no proporciona una derivación limpia del ímpetu como la corriente de Noether de la simetría de translación.

Tercera penetración geométrica

La expresión de la teoría de Einstein-Cartan en la forma más simple requiere la distinción de dos clases de índices del tensor: índices que representan las corrientes conservadas como ímpetu y vuelta. Geométrico, estos índices representan direcciones en el " idealizado de Minkowski; space" de la fibra; en cada punto del espacio-tiempo. (La notación utilizó aquí: un, b, c …)

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