La teoría de campo del es una rama de las matemáticas que estudia las características de los campos que campo de A es una entidad matemática para la cual la adición, la substracción, la multiplicación y la división son el bien definido.

Referir por favor al glosario de la teoría de campo para algunas definiciones básicas en teoría de campo.

Historia

El concepto del campo del fue utilizado implícito por el Niels Henrik Abel y el Évariste Galois en su trabajo sobre la solubilidad de ecuaciones.

En 1871, el Richard Dedekind, llamado un sistema de números verdaderos o complejos que es cerrado bajo cuatro operaciones aritméticas al " field".

En 1881, el Leopold Kronecker definió lo que él llamó un " dominio del rationality", que es de hecho un campo de polinomios en términos modernos.

En 1893, el Heinrich Weber dio la primera definición clara de un campo abstracto.

En el 1910 Ernst Steinitz publicó el der de papel muy influyente Körper ( alemán de Algebraische Theorie del : Teoría algebraica de campos). En este papel él axiomático estudia las características de campos y define muchos conceptos teóricos del campo importante como el campo primero, el campo perfecto y el grado de la trascendencia de una extensión del campo.

Galois, que no tenía el " del término; field" en mente, se honra para ser el primer matemático que liga la teoría de grupo y la teoría de campo. La teoría de Galois se nombra después de él. Sin embargo era el Emilio Artin que primero desarrolló la relación entre los grupos y los campos con gran detalle durante 1928-1942.

Introducción

Los campos son los objetos importantes del estudio en álgebra puesto que proporcionan una generalización útil de muchos sistemas de numeración, tales como los números verdaderos de los números racionales y números complejos particularmente, las reglas generalmente de Associativity, Commutativity y el Distributivity se sostiene. Los campos también aparecen en muchas otras áreas de las matemáticas; ver los ejemplos abajo.

Cuando la álgebra abstracta era primera que era convertida, la definición de un campo no incluyó generalmente el commutativity de la multiplicación, y qué llamamos hoy un campo habríamos sido llamados un campo comutativo del o un dominio racional del . En uso contemporáneo, un campo es siempre comutativo. Una estructura que satisface todas las características de un campo excepto posiblemente para el commutativity, hoy se llama un anillo de división o la álgebra de división del o a veces un el campo oblicuo . También el campo no conmutativo del es todavía ampliamente utilizado. En el francés, los campos se llaman el cuerpo del (literalmente, cuerpo del ), los campos oblicuos se llaman el cuerpo las divisiones torpes del à del anneau de del o del o también las divisiones del à del algèbre del . La palabra alemana para el cuerpo del es Körper y esta palabra se utiliza para denotar campos; por lo tanto el uso del $\backslash \; del\; mathbb\; en\; negrilla\; K$ de la pizarra de denotar un campo. ¡

El concepto de campos primero (implícito) fue utilizado para probar que no hay fórmula general que expresa en términos de radicales las raíces de un polinomio con coeficientes racionales del grado 4 o más alto.

Extensiones de un campo

Una extensión de un k del campo es apenas un K del campo que contiene el k como subcampo. Uno distingue entre las extensiones que tienen varias calidades. Por ejemplo, un K de la extensión de un k del campo se llama el algebraico, si cada elemento del K es una raíz de un cierto polinomio con coeficientes en el k . Si no, la extensión se llama el trascendental.

La puntería de la teoría de Galois es el estudio de las extensiones algebraicas del de un campo.

Encierros de un campo

Dado un k del campo, las varias clases de encierros del k pueden ser introducidas. Por ejemplo el encierro algebraico, el encierro separable, el encierro cíclico etcétera. La idea es siempre igual: Si el P es una característica de campos, después un P - el encierro del k es un K del campo que contiene el k, teniendo P de la característica, y que sea mínimo en el sentido que ningún subcampo apropiado del K que contiene el k tiene P de la característica. Por ejemplo si tomamos el P (K) a ser el " de la característica; cada polinómico nonconstant f en el K tiene una raíz en " del K ;, entonces un P - el encierro del k es apenas un encierro algebraico k . Generalmente si P - los encierros existen para un cierto P de la característica y colocan el k, ellos son todos isomorfos. Sin embargo, no hay en general isomorfismo preferible entre dos encierros.

¿Para cuál son los campos buenos?

El concepto de un campo es de uso, por ejemplo, en la definición de los vectores y de las matrices, dos estructuras en la álgebra linear cuyos componentes pueden ser elementos de un campo arbitrario.

Los campos finitos se utilizan en la teoría de número, la teoría de Galois y la teoría de codificación, y la extensión algebraica es otra vez una herramienta importante.

El binario coloca campos de característico 2, es útil en el de informática. Se estudian generalmente como caso excepcional en teoría de campo finito porque la adición y la substracción son la misma operación.

Algunos teoremas útiles

teorema de la extensión del isomorfismo
Teorema del elemento primitivo

Ver también

Anillo
Espacio de vector

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Zenithic

Alexandra Zaretski

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