el

l este artículo refiere al estudio de cómo el comportamiento de sistemas dinámicos puede cambiar drástico con variaciones en ciertos parámetros. Para otros significados de la catástrofe de la palabra, incluyendo la catástrofe que modela en seguro, ver la catástrofe (desambiguación).

En las matemáticas, la teoría de catástrofe del es una rama de la teoría de la bifurcación en el estudio de los sistemas dinámicos que es también un caso especial particular de una teoría más general de la singularidad en la geometría .

La teoría de la bifurcación estudia y clasifica los fenómenos caracterizados por los cambios repentinos en el comportamiento que se presenta de pequeños cambios en las circunstancias, analizando cómo la naturaleza cualitativa de las soluciones de la ecuación depende de los parámetros que aparecen en la ecuación. Esto puede llevar a repentino y a los cambios espectaculares, la magnitud imprevisible por ejemplo de la sincronización y de un derrumbamiento .

La teoría de catástrofe, que fue originada con el trabajo francés René Thom del matemático en los años 60, y vencía muy popular a los esfuerzos Christopher Zeeman en los años 70, considera el caso especial donde el equilibrio estable duradero se puede identificar con el mínimo de una función potencial liso, bien definido (función de Lyapunov).

Los pequeños cambios en ciertos parámetros de un sistema no linear pueden hacer equilibrios para aparecer o para desaparecer, o para cambiar de la atracción al rechazo y viceversa, llevando a los cambios grandes y repentinos del comportamiento del sistema. Sin embargo, examinado en un espacio de parámetro más grande, la teoría de catástrofe revela que tales puntos de la bifurcación tienden a ocurrir como parte de las estructuras geométricas cualitativas bien definidas.

Catástrofes elementales

La teoría de catástrofe analiza los puntos críticos degenerados de la función potencial - puntos del donde no apenas está también cero el primer derivado, pero uno o más derivados más altos de la función potencial. Éstos se llaman los gérmenes de las geometrías de la catástrofe. La degeneración de estos puntos críticos puede ser revelado ampliando la función potencial como serie de Taylor en las pequeñas perturbaciones de los parámetros.

Cuando los puntos degenerados no son simplemente accidentales, sino son el estructural estable, los puntos degenerados existen como centros de organización para las estructuras geométricas particulares de una degeneración más baja, con las características críticas en el espacio de parámetro alrededor de ellas. Si la función potencial depende de tres o pocas variables activas, y cinco o pocos parámetros activos, después hay solamente siete estructuras genéricas para estas geometrías de la bifurcación, con las formas estándar correspondientes en las cuales la serie de Taylor alrededor de los gérmenes de la catástrofe se puede transformar por el Diffeomorphism (una transformación lisa cuyo lo contrario es también liso). Estos siete tipos fundamentales ahora se presentan, con los nombres que Thom les dio.

Funciones potenciales de una variable activa

Doblar la catástrofe

$V\; del\; =\; x^3\; +\; hacha\; \backslash ,$

En los valores negativos del un, el potencial tiene dos extremos - un establo, y uno inestable. Si el del parámetro un se aumenta lentamente, el sistema puede seguir el punto mínimo estable. Pero en el a=0 los extremos estables e inestables se encuentran, y aniquilan. Éste es el punto de la bifurcación. En el a>0 hay no más una solución estable. Si un sistema físico se sigue a través de una bifurcación del doblez, por lo tanto los hallazgos uno que como el un alcanza 0, la estabilidad de la solución del a<0 se pierden repentinamente, y el sistema harán una transición repentina a un nuevo, muy diverso comportamiento. Este valor de la bifurcación del del parámetro un a veces se llama el que inclina el punto . style=" del

Catástrofe del cambio de signo $V\; del\; de$

= x^4 + ax^2 + bx \,

align=" valign=" del

La geometría del cambio de signo es muy común, cuando una explora qué sucede a una bifurcación del doblez si un segundo parámetro, el b, se agrega al espacio de control. Variando los parámetros, uno encuentra que ahora hay una curva del (azul) de puntos en el (a, b) el espacio de donde se pierde la estabilidad, donde la solución estable saltará repentinamente a un resultado alterno.

Pero en una geometría del cambio de signo la curva de la bifurcación coloca - trasero en sí mismo, dando una segunda rama donde esta solución alterna sí mismo pierde estabilidad, y hará un salto de nuevo al sistema original de la solución. En varias ocasiones aumentando el b y después disminuyéndolo, uno pueden por lo tanto observar lazos de la histéresis, como el sistema alternativamente sigue una solución, los saltos a la otra, siguen la otra detrás, después saltan de nuevo al primer.

Sin embargo, esto es solamente posible en la región del a<0 del espacio de parámetro. Mientras que se aumenta el un, los lazos de histéresis llegan a ser más pequeños y más pequeño, hasta que sobre el a=0 desaparezcan en conjunto (la catástrofe del cambio de signo), y hay solamente una solución estable.

Uno puede también considerar qué sucede si uno lleva a cabo el b constante y varía el un . En el simétrico b=0, uno del caso observa una bifurcación del Pitchfork como se reduce el un, con una solución estable partiendo repentinamente en dos soluciones estables y una solución inestable como el sistema físico pasa al a<0 a través del a=0 del punto del cambio de signo, b=0 (un ejemplo de la simetría espontánea que rompe ). Lejos del punto del cambio de signo, no hay cambio repentino en una solución física que es seguida: al pasar a través de la curva de las bifurcaciones del doblez, es todo que sucede una segunda solución alterna está disponible.

Una sugerencia famosa es que la catástrofe del cambio de signo se puede utilizar para modelar el comportamiento de un perro tensionado, que puede responder el acobardarse o llegando a estar enojado. La sugerencia es ésa en la tensión moderada ( a>0 ), el perro exhibirá una transición lisa de la respuesta de acobardado a enojado, dependiendo de cómo se provoca. Pero niveles de tensión más altos corresponden a la mudanza a la región ( a<0 ). Entonces, si el comienzo acobardado, él del perro sigue acobardado como se irrita cada vez más, hasta que alcance el punto del “doblez”, cuando repentinamente, discontinuo broche de presión a través al modo enojado. Una vez en modo “enojado”, seguirá siendo enojado, incluso si el parámetro directo de la irritación se reduce considerablemente.

Otro ejemplo de uso está para la transferencia externa del electrón de la esfera encontrada con frecuencia en los sistemas químicos y biológicos (Xu, uso del F. de la teoría de catástrofe a la relación del ∆G de ∆G^≠ - en reacciones de transferencia de electrón. Für Physikalische Chemie Neue Folge 166, 79-91 de Zeitschrift (1990)).

Las bifurcaciones del doblez y la geometría del cambio de signo son en gran medida las consecuencias prácticas más importantes de la teoría de catástrofe. Son los patrones que ocurren de nuevo repetidas veces en la física, la ingeniería y el modelado matemático.

Las geometrías simples restantes de la catástrofe muy se especializan en la comparación, y se presentan aquí solamente para el valor de la curiosidad.

Catástrofe de Swallowtail $V\; del\; de$

= x^5 + ax^3 + bx^2 + CX \,

El espacio de parámetro de control es tridimensional. El sistema de la bifurcación en espacio de parámetro se compone de tres superficies de las bifurcaciones del doblez, que se encuentran en dos líneas de bifurcaciones del cambio de signo, que alternadamente se encuentran en un solo punto de la bifurcación del swallowtail.

Mientras que los parámetros pasan a través de la superficie de las bifurcaciones del doblez, un mínimo y un máximo de la función potencial desaparecen. En las bifurcaciones del cambio de signo, dos mínimos y un máximo son substituidos por un mínimo; más allá de ellos las bifurcaciones del doblez desaparecen. En el punto del swallowtail, dos mínimos y dos máximos todos se encuentran en un solo valor del x . Para los valores del a>0, más allá del swallowtail, hay un pares del máximo-mínimo, o ningúno, dependiendo de los valores del b y del c . Dos de las superficies de las bifurcaciones del doblez, y las dos líneas de bifurcaciones del cambio de signo donde se encuentran para el a<0, por lo tanto desaparecen en el punto del swallowtail, para ser substituidos por solamente una sola superficie de permanecer de las bifurcaciones del doblez. de Salvador Dalí duran la pintura, la cola del trago, fueron basados en esta catástrofe.

Catástrofe de la mariposa $V\; del\; de$

= x^6 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx \,

Dependiendo de los valores de parámetro, la función potencial puede tener tres, dos, o un diversos mínimos locales, separados por los lugares geométricos de las bifurcaciones del doblez. En el punto de la mariposa, las diversas 3 superficies de las bifurcaciones del doblez, las 2 superficies de las bifurcaciones del cambio de signo, y las líneas de bifurcaciones del swallowtail que toda la reunión sube y que desaparece, dejando una sola estructura del cambio de signo que permanece cuando a>0

Funciones potenciales de dos variables activas

Las catástrofes umbílicas son ejemplos de las catástrofes del corank 2. Pueden ser observadas en la óptica en las superficies focales creadas por la luz que refleja de una superficie en tres dimensiones y están conectadas íntimo con la geometría de superficies casi esféricas. Thom propuso que la catástrofe umbílica hiperbólica modelara la fractura de una onda y el umbílico elíptico modeló la creación del pelo como las estructuras.

Catástrofe umbílica hiperbólica $V\; del\; de$

= x^3 + y^3 + axy + bx + CY \,

Catástrofe umbílica elíptica $V\; del\; de$

= x^3/3 - xy^2 + a (x^2+y^2) + bx + CY \,

Catástrofe umbílica parabólica $V\; del\; de$

= x^2y + y^4 + ax^2 + by^2 + CX + dy \,

Notación de Arnold

El Vladimir Arnol'd dio a catástrofes la clasificación ADE, debido a una conexión profunda con el

simple del

de los grupos de mentira A ₀ - un punto no singular: $V\; =\; x$.
A ₁ - extremos locales, un mínimo estable o = máximo inestable \ P. del $V\; x^2\; +\; un\; x$.
A ₂ - el doblez
A ₃ - el cambio de signo
A ₄ - el swallowtail
A ₅ - la mariposa
A _k - una secuencia infinita de una variable forma + \ cdots del $V=x^\; \{k+1\}$
D ₄^- - el umbílico elíptico
D ₄⁺ - el umbílico hiperbólico
D ₅ - el umbílico parabólico
D _k - una secuencia infinita de otras formas umbílicas
E ₆ - el $V\; =\; el\; x^3+y^4+a\; x\; el\; y^2\; umbílicos\; simbólicos\; +bxy+cx+dy+ey^2$
E ₇
E ₈

Hay los objetos en teoría de la singularidad que corresponden la mayor parte de a los otros grupos de mentira simples.

Ver también

simetría rota del

que inclina el punto
Transición de fase
Efecto de dominó
Efecto de la bola de nieve
Efecto de mariposa
Simetría espontánea que rompe
Teoría del caos

.

Zenithic

DNALinux

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