En las matemáticas y el de informática, la teoría de gráfico del es el estudio de los gráficos ; estructuras matemáticas usadas para modelar en parejas relaciones entre los objetos de cierta colección. Un " graph" en este contexto refiere a una colección de las cimas o de “nodos” y de una colección de bordes del que conecten pares de cimas. Un gráfico puede ser el sin señas, significando que no hay distinción entre las dos cimas asociadas a cada borde, o sus bordes pueden ser dirigidos a partir de una cima a otra; ver el representar (las matemáticas) gráficamente para definiciones más detalladas y para otras variaciones en los tipos de gráficos que se consideren comúnmente. Los gráficos estudiaron en teoría de gráfico no se deben confundir con el " Gráficos del " de las funciones ; y otras clases de los gráficos .
Historia
El papel escrito por el Leonhard Euler en los puentes siete del de Königsberg y publicado en el 1736 se mira como el primer papel en la historia de la teoría de gráfico. Este papel, tan bien como el que está escrito por el Vandermonde en el problema del caballero continuado con el situs del análisis del iniciado por el Leibniz . La fórmula de Euler que relacionaba el número de bordes, de cimas, y de caras de un poliedro convexo fue estudiada y generalizó por el Cauchy y el L'Huillier, y está en el origen de la topología .Más de un siglo después del documento de Euler sobre los puentes Königsberg y mientras que el listado introdujo topología, el Cayley fue llevado por el estudio de las formas analíticas particulares que se presentaban del cálculo diferenciado para estudiar una clase particular de gráficos, de los árboles . Este estudio tenía muchas implicaciones en la química teórica . Las técnicas implicadas se refirieron principalmente a la enumeración de los gráficos que tenían características particulares. La teoría de gráfico enumerativa entonces se levantó de los resultados de Cayley y los resultados fundamentales publicados por el Pólya entre el 1935 y el 1937 y la generalización de éstos por el De Bruijn en el 1959 . Cayley ligó sus resultados en árboles a los estudios contemporáneos de la composición química. La fusión de las ideas que vienen de matemáticas con ésos que vienen de química está en el origen de una parte de la terminología estándar de la teoría de gráfico. Particularmente, el gráfico término fue introducido por el Sylvester en un papel publicado en el 1878 en la naturaleza .
Uno de los problemas más famosos y más productivos de la teoría de gráfico es el problema de color cuatro : " ¿Es verdad que cualquier mapa dibujado en el plano puede tener sus regiones coloreado con cuatro colores, de una manera tal que cualquier dos regiones que tienen una frontera común tengan diversos colores? ". Este problema seguía siendo sin resolver para más que un siglo y la prueba dados por el Kenneth Appel y el Wolfgang Haken en el 1976 (determinación de 1936 tipos de configuraciones cuyo el estudio es suficiente y comprobación de las características de estas configuraciones por la computadora) no convencieron a toda la comunidad. Una prueba más simple que consideraba lejos pocas configuraciones fue dada veinte años más tarde por el Robertson, el Seymour, las chorreadoras y el Thomas .
Este problema primero fue planteado por el Francisco Guthrie en el 1852 y el primer expediente escrito de este problema es una letra De Morgan dirigido al Hamilton el mismo año. Muchas pruebas incorrectas han sido propuestas, incluyendo ésas por Cayley, el Kempe, y otros. El estudio y la generalización de este problema por el Tait, el Heawood, el Ramsey y el Hadwiger particularmente ha llevado al estudio de los colorantes de los gráficos encajados en superficies con el género arbitrario . La reformulación de Tait generó una nueva clase de problemas, los problemas de la facturización del, estudiados particularmente por el Petersen y el Kőnig . Los trabajos de Ramsey en coloraciones y los resultados obtuvieron más especialmente por el Turán en el 1941 están en el origen de otra rama de la teoría de gráfico, la teoría de gráfico extremal .
El desarrollo autónomo de la topología 1860 y 1930 fertilizó la parte posterior de la teoría de gráfico a través de los trabajos Jordania, Kuratowski y Whitney . Otro factor importante de desarrollo común de la teoría y de la topología de gráfico vino del uso de las técnicas de la álgebra moderna. El primer ejemplo de tal uso viene del trabajo Gustavo Kirchhoff del físico, que publicó en el 1845 las leyes del circuito de su Kirchhoff para calcular el voltaje y el actual en los circuitos eléctricos
La introducción de métodos de probabilidad en teoría de gráfico, especialmente en el estudio Erdős y Rényi de la probabilidad asintótica de la conectividad del gráfico, dio lugar a otra más rama, conocida como teoría de gráfico al azar, que ha sido una fuente fructuosa de resultados gráfico-teóricos.
Gráficos del dibujo
considera también:
Los gráficos son representados gráficamente dibujando un punto para cada cima, y dibujando un arco entre dos cimas si son conectados por un borde. Si se dirige el gráfico, la dirección es indicada dibujando una flecha.
Un dibujo del gráfico no se debe confundir con el gráfico sí mismo (el extracto, la estructura no gráfica) pues hay varias maneras de estructurar el dibujo del gráfico. Todo que importa es qué cimas están conectadas a las cuales otras por cuántos bordes y no la disposición exacta. Es en la práctica a menudo difícil decidir a si dos dibujos representan el mismo gráfico. Dependiendo del dominio del problema algunas disposiciones pueden ser adaptadas mejor y más fáciles de entender que otras.
estructuras de datos Gráfico-teóricas
considera también:
l gráfico (estructura de datos)
Hay maneras diferentes de almacenar gráficos en un sistema informático. La estructura de datos usada depende de la estructura de gráfico y del algoritmo usados para manipular el gráfico. Teóricamente uno puede distinguir entre la lista y las estructuras de la matriz pero en usos concretos la mejor estructura es a menudo una combinación de ambos. Las estructuras de la lista son a menudo preferred para los gráficos escasos pues tienen requisitos de memoria más pequeños. Las estructuras de la matriz por una parte proporcionan un acceso más rápido para algunos usos pero pueden consumir enormes cantidades de memoria.
Estructuras de la lista
; Lista de la incidencia: Los bordes son representados por un arsenal que contiene los pares (pedidos si está dirigido) de cimas (que el borde conecta) y cargan posiblemente y otros datos. ; Lista de la adyacencia: Como la lista de la incidencia, cada cima tiene una lista cuyo las cimas él están adyacente a. Esto causa redundancia en un gráfico sin señas: por ejemplo, si las cimas A y B son adyacentes, la lista de la adyacencia de la a contiene B, mientras que la lista del b contiene preguntas de la adyacencia del A. es más rápida, en el coste de espacio de almacenaje adicional.
Estructuras de la matriz
; Matriz de incidencia : El gráfico es representado por una matriz de E (bordes) por V (cimas), donde la cima contiene los datos del borde (el caso más simple: 1 - conectó, 0 - no conectado). ; Matriz de la adyacencia: Hay una N al lado de matriz de N, donde está el número N de cimas en el gráfico. Si hay un borde de una cierta cima x a una cierta cima y, después el es 1, si no es 0. Esto hace más fácil encontrar subgráficos, e invertir gráficos si está necesitada. ; Matriz de Laplacian o matriz de Kirchhoff o matriz de la entrada: Se define como matriz del grado menos la matriz de la adyacencia y contiene así la información de la adyacencia y la información del grado sobre las cimas. ; Matriz de distancia : Una N simétrica por la matriz de N un cuyo es la longitud del Shortest-Path entre x y y; si no hay tal = infinito. Puede ser derivado de las energías de la matriz de la adyacencia del .
Problemas en teoría de gráfico
Enumeración
Hay una literatura grande en la enumeración gráfica : el problema de la cuenta representa condiciones gráficamente especificadas reunión. Algo de este trabajo se encuentra en Harary y Palmer (1973).
Subgráficos, subgráficos inducidos, y menores de edad
Un problema común, llamado el problema del isomorfismo del subgráfico, está encontrando un gráfico fijo como un subgráfico en un gráfico dado. Una razón para estar interesado en tal pregunta es que muchas características del gráfico son el hereditario para los subgráficos, así que significa que un gráfico tiene la característica si y solamente si todos los subgráficos, o todos los subgráficos inducidos, la tienen también. Desafortunadamente, encontrar subgráficos máximos de cierta clase es a menudo un problema NP-completo .
que encuentra el gráfico completo más grande se llama el problema de la pandilla (NP-completo).
Un problema similar está encontrando los subgráficos inducidos en un gráfico dado. Una vez más algunas características importantes del gráfico son hereditarias con respecto a subgráficos inducidos, así que significa que un gráfico tiene una característica si y solamente si todos los subgráficos inducidos también la tienen. Encontrar subgráficos inducidos máximos de cierta clase es también a menudo NP-completo. Por ejemplo,
que encontraba el subgráfico inducido embotado más grande, o la independiente determinado, llamó a independiente el problema determinado (NP-completo).
Todavía otro tal problema, el problema de menor importancia de la contención del, es encontrar un gráfico fijo como menor de edad de un gráfico dado. Un el subcontraction de menor importancia de o del de un gráfico es cualquier gráfico obtenido tomando un subgráfico y no contratando alguÌn (o ninguÌn) borde. Muchas características del gráfico son hereditarias para los menores de edad, así que significa que un gráfico tiene una característica si y solamente si todos los menores de edad la tienen también. Un ejemplo famoso:
El gráfico del
A es el planar si contiene como menor de edad ni el (véase el problema de la cabaña tres) ni el .
Otra clase de problemas tiene que hacer con el grado a el cual las varias especies y generalizaciones de gráficos son determinadas por sus subgráficos punto-suprimidos, por ejemplo:
la conjetura de la reconstrucción
Colorante del gráfico
Muchos problemas tienen que hacer con varias maneras de los gráficos del colorante, por ejemplo:
el teorema del Cuatro-color
El teorema perfecto fuerte del gráfico
La conjetura de Erdős-Faber-Lovász (sin resolver)
La conjetura del colorante del total (sin resolver)
La conjetura del colorante de la lista (sin resolver)
Problemas de la ruta
problemas hamiltonianos de la trayectoria y del ciclo
El atravesar del mínimo - árbol
Problema de la inspección de la ruta (también llamado el " Cartero chino Problem")
Puentes siete de Königsberg
Problema del Shortest-Path
Árbol de Steiner
Problema de la cabaña tres
Problema de vendedor que viaja (NP-Completo)
Flujo de red
Hay problemas numerosos que se presentan especialmente de los usos que tienen que hacer con varias nociones de los flujos en las redes, por ejemplo:
teorema del corte del minuto del flujo máximo
Problemas del gráfico de la visibilidad
problema del protector del museo
Problemas de la cubierta
Los problemas de la cubierta son casos específicos de problemas subgráfico-que encuentran, y tienden a ser estrechamente vinculados al problema de la pandilla o al problema fijado independiente .
problema determinado de la cubierta
Problema de la cubierta de la cima
Usos
Los usos de la teoría de gráfico están sobre todo, pero no exclusivamente, tratado a los gráficos etiquetados y a las varias especializaciones de éstos.
Las estructuras que se pueden representar como gráficos son ubicuas, y muchos problemas del interés práctico se pueden representar por los gráficos. La estructura del acoplamiento de un Web site se podía representar por un gráfico dirigido: las cimas son los Web pages disponibles en el Web site y un borde dirigido del A de la página para paginar el B existe si y solamente si el A contiene un acoplamiento al B . Un acercamiento similar se puede llevar los problemas en recorrido, biología, diseño del chip de ordenador, y muchos otros campos. El desarrollo de los algoritmos para manejar gráficos está por lo tanto de interés importante en el de informática.
Una estructura de gráfico puede ser extendida asignando un peso a cada borde del gráfico. Los gráficos con los pesos, o los gráficos cargados se utilizan para representar las estructuras en las cuales en parejas las conexiones tienen algunos valores numéricos. Por ejemplo si un gráfico representa una red de carreteras, los pesos podrían representar la longitud de cada camino. Un dígrafo con los bordes cargados en el contexto de la teoría de gráfico se llama una red .
Las redes tienen muchas aplicaciones en el lado práctico de la teoría de gráfico, análisis de red (por ejemplo, modelar y analizar redes del tráfico). Dentro de análisis de red, la definición del " del término; network" varía, y puede referir a menudo a un gráfico simple.
Muchos usos de la teoría de gráfico existen bajo la forma de análisis de red . Éstos partieron amplio en dos categorías. En primer lugar, análisis para determinar características estructurales de una red, tales como la distribución de los grados y del diámetro de la cima del gráfico. Un gran número de medidas del gráfico existe, y la producción las útiles para los varios dominios sigue siendo un campo de investigación activo. En segundo lugar, análisis para encontrar una cantidad mensurable dentro de la red, por ejemplo, para una red del transporte, el nivel de flujo de vehículos dentro de cualquier porción de ella.
La teoría de gráfico también se utiliza para estudiar las moléculas en la química y la física . En la física condensada de la materia, la estructura tridimensional de estructuras atómicas simuladas complicadas puede ser estudiada cuantitativo recopilando estadísticas sobre las características gráfico-teóricas relacionadas con la topología de los átomos. Por ejemplo, anillos del Shortest-Path (SP) de Franzblau. En química un gráfico hace un modelo natural para una molécula, donde las cimas representan los átomos y afilan los enlaces . Este acercamiento se utiliza especialmente en el tratamiento por ordenador de estructuras moleculares, extendiéndose de los redactores químicos a la búsqueda de la base de datos.
La teoría de gráfico es también ampliamente utilizada en sociología como manera, por ejemplo, de medir el prestigio de los agentes o de explorar mecanismos de la difusión, notablemente con el uso del software social del análisis de red .
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