En las matemáticas, la teoría de la categoría del se ocupa de una manera abstracta de las estructuras matemáticas y de las relaciones entre ellas. Las categorías ahora aparecen en la mayoría de las ramas de las matemáticas y en algunas áreas la física matemática de informática teórica de y, y han sido una noción unifying. Las categorías primero fueron introducidas por el Samuel Eilenberg y el carril del mac de Saunders en 1942-1945, con respecto a la topología algebraica .

La teoría de la categoría tiene varias caras sabidas, no apenas a los especialistas, pero a otros matemáticos. " " abstracto general del absurdo ; se refiere, quizás no enteramente cariñosamente, a su de alto nivel de la abstracción, comparado a ramas más clásicas de las matemáticas. La álgebra Homological es teoría de la categoría en su aspecto de la organización y los cálculos que sugieren en abstraen la álgebra . El diagrama que persigue es un método visual de discusión con las “flechas abstractas”, y ha aparecido en una película de Hollywood, como el Jill Clayburgh probó el lema de la serpiente (al principio del es mi vuelta, el an o 80). La teoría de Topos es una forma de la teoría abstracta de la gavilla, con orígenes geométricos, y lleva a las ideas tales como topología insustancial .

Fondo

El estudio de las categorías es una tentativa de capturar qué se encuentra comúnmente en las varias clases de estructuras matemáticas relacionadas.

Considerar el ejemplo siguiente. El Grp de la clase de los grupos consiste en todos los objetos que tienen un " structure" del grupo;. Más exacto, el Grp consiste en todo el G de los sistemas dotado con una operación binaria que satisface cierto sistema de axiomas que uno puede proceder al prueba los teoremas del sobre grupos haciendo deducciones lógicas del sistema de axiomas. Por ejemplo, se prueba inmediatamente de los axiomas que el elemento de identidad de un grupo es único.

En vez de centrarse simplemente en los objetos individuales (e. grupos) que poseen una estructura dada, la teoría de la categoría acentúa el &mdash de Morphisms ; el &mdash de los mappings estructura-que preserva; entre estos objetos. Resulta eso estudiando estos morphisms, nosotros puede aprender más sobre la estructura de los objetos. En el caso de grupos, los morphisms son el homomorfismo del grupo de los homomorphisms A del grupo entre dos grupos del " preserva el structure" del grupo; en un &mdash exacto del sentido; es un " process" llevando a un grupo a otro, de una manera que lleva a lo largo de la información sobre la estructura del primer grupo en el segundo grupo. El estudio de los homomorphisms del grupo entonces proporciona una herramienta para estudiar características generales de grupos y las consecuencias de los axiomas del grupo.

Un tipo similar de investigación ocurre en muchas teorías matemáticas, tales como el estudio continuo traza entre los espacios topológicos en topología y el estudio Diffeomorphisms en teoría multíple. La noción de una categoría es una formulación axiomática del de esta idea de relacionarse las estructuras matemáticas con las funciones estructura-que preservan entre ellas. Un estudio sistemático de categorías entonces permite que probemos resultados del general de los axiomas de una categoría.

Una categoría es sí mismo un tipo de estructura matemática, así que podemos buscar los “procesos” que preservan esta estructura en un cierto sentido. Tal proceso se llama un Functor . Asocia a cada objeto de una categoría un objeto de otra categoría; y a cada morphism en la primera categoría un morphism en el segundo. Estudiando categorías y functors, apenas no estamos estudiando una clase de estructuras matemáticas y los morphisms entre ellas, estamos estudiando las relaciones del entre las varias clases de la estructura matemática . Ésta es una idea fundamental, que primero emergió en la topología algebraica . Las preguntas topológicas del difícil se pueden traducir a las preguntas algebraicas del que son a menudo más fáciles de solucionar. Las construcciones básicas, tales como el grupo fundamental de un espacio topológico, se pueden expresar como functors de esta manera.

Las construcciones son a menudo " naturalmente related", una noción vaga en la primera vista. Esto lleva al concepto esclarecedor de la transformación natural, una manera al " map" un functor a otro. Muchas construcciones importantes en matemáticas se pueden estudiar en este contexto. “Naturality” es un principio, como la covariación general en la física, que corta más profundo que inicialmente evidente.

Notas históricas

Las categorías, los functors y las transformaciones naturales primero fueron introducidos por el Samuel Eilenberg y el carril del mac de Saunders en 1942 (1945) en la topología, especialmente topología algebraica, como partes importantes de la transición de la homología (un concepto intuitivo y geométrico) a la teoría, un acercamiento axiomático de la homología . Ha sido demandado, por ejemplo por o a nombre Stanislaw Ulam, que las ideas comparables eran actuales en los últimos años 30 en la escuela polaca. Estas ideas eran en cierto modo una continuación de las contribuciones del premio Emmy Noether (uno de los profesores del carril del mac) en la formalización de procesos abstractos por la mitad primer del vigésimo siglo. Noether realizó que para entender un tipo de estructura matemática, realmente necesidades una de entender los procesos que preservaban esta estructura. Eilenberg y el carril del mac dieron a la formalización axiomática de de esta relación entre las estructuras y los procesos que los preservaban.

Eilenberg y el carril del mac han dicho que su meta era entender transformaciones naturales; para hacer eso, los functors tuvieron que ser definidos; y para definir categorías necesarias de los functors uno.

El desarrollo subsecuente de la teoría fue accionado primero por las necesidades de cómputo de la álgebra Homological ; y entonces por las necesidades axiomáticas de la geometría algebraica, el campo más resistente a la opinión de Russell-Whitehead de fundaciones unidas. La teoría general de la categoría, una álgebra universal actualizado con muchas nuevas características teniendo en cuenta la flexibilidad semántica y la lógica Higher-order, vinieron más adelante; ahora se aplica a través de matemáticas.

Las categorías especiales llamadas el topoi (topos singulares ) pueden incluso servir como alternativa a la teoría determinada axiomática como la fundación de las matemáticas. Éstos basaron amplio usos fundacionales de la teoría de la categoría son discutibles; pero se han resuelto en un absolutamente cierto detalle, como un comentario en o base para las matemáticas constructivas . Parece justo decir que la teoría determinada axiomática hasta el momento no ha sido substituida por el comentario categoría-teórico en ella, en el uso diario de la mayoría de los matemáticos. La idea de traer teoría de la categoría en anterior, enseñanza del estudiante (significada por la diferencia entre el carril del Birkhoff-Mac del y textos posteriores de la álgebra del extracto del Carril-Birkhoff del mac del ) ha golpeado la oposición sensible. Tales textos continúan apareciendo, por ejemplo sistemas del de s de Lawvere los 'para las matemáticas, en la educación matemática contemporánea.

La lógica categórica ahora es un campo bien definido basado en el tipo teoría para las lógicas intuicionistas con el uso a la teoría de la programación funcional y a la teoría, todo del dominio en un ajuste de una categoría cerrada cartesiana como descripción no-sintáctica de un cálculo de la lambda. Por lo menos, el uso de la lengua de la teoría de la categoría permite que una aclare lo que tienen exactamente estas áreas relacionadas en campo común (en un sentido del extracto ).

Categorías, objetos y morphisms

considera también: Categoría (matemáticas),

Morphism

Un C de la categoría del consiste en las tres entidades matemáticas siguientes:
Un ob de la clase ( C ) del se opone ;
Un hom de la clase ( C ) Morphisms cada f del morphism tiene un objeto único de la fuente del un objeto b de la blanco de y del . Escribimos el f : el un b del → de, y nosotros decimos el " el f es un morphism del al al " del b ;. Escribimos el hom ( un, b ) Hom ('' a '', '' b ''), o el hom _{'' C ''} ('' a '', '' b '') para denotar la hom-clase del de todos los morphisms del un al b . (Algunos autores escriben MOR ( un, b ) o C ( un, b ).)
Un $\backslash \; circ$, llamado composición del de los morphisms, tal de la operación binaria que para cualquier de tres objetos un, el b, y el c, nosotros tiene × del hom ( un, b ); hom del → del hom ( b, c ) ( un, c ). La composición del f : un b del → de y g : el c del → del b se escribe como $g\; \backslash \; el\; circ\; f$ o gf del . (Algunos autores escriben el fg del .),

gobernado por dos axiomas:
Associativity : Si f : un b, g del → de : c del → del b y h : $h\; del\; d\; del\; \to \; del\; c\; entonces\; \backslash \; circ\; (f)=\; de\; g\; \backslash \; del\; circ\; (h\; \backslash \; circ\; g)\; \backslash \; circ\; f$, y
Identidad : Para cada x del objeto, existe un x del morphism 1_{: el x del → del x llamó el morphism de la identidad para x, tal que para cada f del morphism: un b del → de, tenemos _b del $\{\backslash \; rm\; 1\}\; \backslash \; f=f=f\; del\; circ\; \backslash \; circ\; \{\backslash \; rm\; 1\}\; \_a$.}

De estos axiomas, puede ser probado que hay exactamente un morphism de la identidad para cada objeto. Algunos autores se desvían de la definición apenas dada identificando cada objeto con su morphism de la identidad.

Las relaciones entre morphisms (tales como fg del = el h ) se representan a menudo usar los diagramas comutativos con el " points" (esquinas) representando objetos y el " arrows" representación de morphisms. La influencia de diagramas comutativos ha sido tal que " arrow" y el Morphism ahora es el sinónimo.

Algunas características de morphisms

Un f del morphism: el un b del → de se llama
un monomorfismo (o monic) si el fg₁ = el fg₂ implica el g₁ = el g₂ para todo el g ₁ de los morphisms, g₂ : del → del x un .
un Epimorphism (o épico) del si el g₁f = el g₂f implica el g₁ = el g₂ para todo el g₁ de los morphisms, g₂ : x del → del b .
un isomorfismo si existe un g del morphism: del → del b un con el fg del = 1 _b y gf del = 1 _un .
un Endomorphism del si = b . La clase de endomorphisms del un es extremo denotado ( un ).
un automorfismo si el f es un endomorphism y un isomorfismo. La clase de automorfismos del un es aut denotado ( un ).

Functors

considera también: Functor

Functors estructura-está preservando mapas entre las categorías. Pueden ser pensadas en como morphisms en la categoría de todas las (pequeñas) categorías.

F del functor del de A (covariante del ) del C de la categoría al l D de la categoría asociados a cada x del objeto en el C un F ( x ) del objeto en el D ;
asociados a cada f del morphism: y del → del x un F ( f ) del morphism: F ( y ) del → del F ( x )

tales que las dos características siguientes se sostienen:
F (1 _x ) = 1 _{F ( x )} para cada x del objeto en el C .
$F\; (f)=F\; de\; g\; \backslash \; del\; circ\; (g)\; \backslash \; circ\; F\; (f)$ para todo el f de los morphisms: y del → del x y g : z del → del y .

Un contravariant F del functor C a el D es un functor que " da vuelta al around" de los morphisms; (" invierte todo el arrows"). Específicamente, el F es contravariant si siempre que el f : el y del → del x es un morphism en el C, entonces F ( f ): F ( x ) del → del F ( y ). La manera más rápida de definir un functor contravariant está como functor de la covariante enfrente del C ^op de la categoría a el D .

Transformaciones e isomorphisms naturales

considera también:

natural de la transformación

Una transformación natural del es una relación entre dos functors. Functors describe a menudo el " constructions" natural; y las transformaciones naturales entonces describen el " homomorphisms" natural; entre dos tales construcciones. " absolutamente diverso de la producción de a veces dos construcciones; el same" resultado; esto es expresada por un isomorfismo natural entre los dos functors.

Si el F y el G es functors (de la covariante) entre el C de las categorías y el D, después una transformación natural del F a el G asocia a cada x del objeto en el C un x del η _{del morphism: G ( x ) del → del F ( x ) en el D tales que para cada f del morphism: el y del → del x en el C, tenemos F ( f ) del y} o del η _{= el x} del η _{de G ( f ) o del ; esto significa que el diagrama siguiente es el comutativo:}

El F de dos functors y el G se llaman el naturalmente isomorfo si existe una transformación natural del F a el G tales que el x del η _{es un isomorfismo para cada x del objeto en el C .}

Construcciones, límites, y colimits universales

considera también: Característica universal,

l del límite (teoría) de la categoría

Usar la lengua de la teoría de la categoría, muchas áreas del estudio matemático se pueden echar en categorías apropiadas, tales como las categorías de todos los sistemas, los grupos, topologías, y así sucesivamente. Estas categorías tienen seguramente algunos objetos que sean " special" de cierta manera, tal como el sistema vacío o el producto de dos topologías . Con todo, en la definición de una categoría, los objetos se consideran ser atómicos; es decir, no sabemos si un A del objeto es un sistema, una topología, o cualquier otro concepto abstracto. Por lo tanto, el desafío es definir objetos especiales sin referir a la estructura interna de estos objetos. ¿Pero cómo podemos nosotros definir el sistema vacío sin referir a elementos, o la topología del producto sin referir a sistemas abiertos?

La solución es caracterizar estos objetos en términos de sus relaciones a otros objetos, según lo dado por los morphisms de las categorías respectivas. Así la tarea es encontrar las características universales que determinan únicamente los objetos del interés. De hecho, resulta que las construcciones importantes numerosas se pueden describir en una manera puramente categórica. El concepto central que se necesita con este fin se llama el límite categórico, y se puede dualized para rendir la noción de un colimit del .

Categorías equivalentes

considera también: Equivalencia de las categorías, isomorfismo las categorías

Es una pregunta natural a pedir, bajo cuyas condiciones dos categorías se pueden considerar para ser " esencialmente el same", en el sentido que los teoremas cerca de una categoría se pueden transformar fácilmente en teoremas sobre la otra categoría. La herramienta principal una emplea para describir tal situación se llama equivalencia del de las categorías . Es dada por functors apropiados entre dos categorías. La equivalencia categórica ha encontrado usos numerosos en matemáticas.

Conceptos y resultados más futuros

Las definiciones de categorías y de functors proporcionan solamente los mismos fundamentos de la álgebra categórica. Los asuntos importantes adicionales son mencionados abajo. Aunque haya interrelaciones fuertes entre todos estos asuntos, la orden dada se puede considerar como pauta para la lectura adicional.
El C del del D de la categoría de Functor tiene como objetos los functors del C a el D y como morphisms las transformaciones naturales de tales functors. El lema de Yoneda es uno de los resultados básicos más famosos de la teoría de la categoría; describe functors representables en categorías del functor.
Dualidad : Cada declaración, teorema, o definición en teoría de la categoría tiene un dual que esencialmente sea obtenido por el " inversión de todo el arrows". Si una declaración es verdad en un C de la categoría entonces que su dual será verdad en el dual C ^op de la categoría. Esta dualidad, que es transparente en el nivel de teoría de la categoría, se obscurece en usos y puede a menudo llevar a las relaciones asombrosamente.
Adjoint functors : Un functor se puede dejar (o) a adjoint correcto a otro functor ese mapas en la dirección opuesta. Tal par de functors del adjoint se presenta típicamente de una construcción definida por una característica universal; puede ser visto como opinión más abstracta y más de gran alcance sobre características universales.

categorías Alto-dimensionales

Muchos de los conceptos antedichos, especialmente equivalencia de categorías, los pares del functor del adjoint, y las categorías del functor, se pueden situar en el contexto de las categorías alto-dimensionales del . Breve, si consideramos un morphism entre dos objetos como " de proceso llevándonos a partir de un objeto al another", entonces las categorías alto-dimensionales permiten que generalicemos provechoso esto considerando el " processes" alto-dimensional;.

Por ejemplo, la categoría (terminante) 2 de a es una categoría junto con " morphisms entre el morphisms", es decir procesos que permiten que transformemos un morphism en otro. Podemos entonces " compose" este " bimorphisms" horizontalmente y verticalmente, y requerimos un " de 2 dimensiones; law" del intercambio; para sostenerse, relacionando las dos leyes de composición. En este contexto, el ejemplo estándar es el gato, del la categoría 2 de todas las (pequeñas) categorías, y en este ejemplo, los bimorphisms de morphisms son simplemente las transformaciones naturales de morphisms en el sentido generalmente. Otro ejemplo básico es considerar una categoría 2 con un solo object— éstas son esencialmente las categorías monoidal . El Bicategories es una noción más débil de categorías de 2 dimensiones donde no está terminantemente asociativa la composición de morphisms, pero solamente del " asociativo; hasta " un isomorfismo.

Este proceso puede ser extendido para todo el n de los números naturales, y éstos se llaman las categorías '' n '' -. Hay incluso una noción de la ω-categoría del que corresponde al ω del número ordinal . Para una introducción conversacional a estas ideas, ver a Baez (1996).

Ver también

Lista de los asuntos de la teoría de la categoría
Publicaciones importantes en la teoría de la categoría
Glosario de la teoría de la categoría
Teoría del dominio
Operads
El enriqueció la teoría de la categoría
Una teoría más alta de la categoría

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