En las matemáticas, la teoría de la deformación del es el estudio de las condiciones infinitesimales del asociadas a variar un P de la solución de un problema a levemente diverso P ε de las soluciones, donde está un pequeño número el ε, o del vector de pequeñas cantidades. Las condiciones infinitesimales son por lo tanto el resultado de aplicar el acercamiento del cálculo diferenciado a solucionar un problema con apremios que uno puede pensar en una estructura que no sea totalmente rígida, y que deforme levemente para acomodar las fuerzas aplicadas de exterior; esto explica el nombre.
Algunos fenómenos característicos son: la derivación de ecuaciones de primer orden tratando las cantidades del ε como teniendo cuadrados insignificantes; la posibilidad de las soluciones aisladas, en esa variación de una solución puede no ser posible, o no trae cualquier cosa nuevo; y la cuestión de si los apremios infinitesimales “integran realmente”, de modo que su solución proporcione pequeñas variaciones. En una cierta forma estas consideraciones tienen una historia de siglos en matemáticas, pero también en la física y la ingeniería . Por ejemplo, en la geometría de los números una clase de resultados llamados los teoremas del aislamiento del fue reconocida, con la interpretación topológica de una órbita abierta del (de una acción de grupo ) alrededor de una solución dada. La teoría de perturbación también mira deformaciones, en el general de los operadores
La teoría más saliente de la deformación del de matemáticas ha sido la de los múltiples complejos y de las variedades algebraicas . Esto fue puesta en una base firme por el trabajo fundacional Kunihiko Kodaira y de la chaqueta de punto de la C., después de que las técnicas de deformación hubieran recibido mucho de uso más tentativo en la escuela italiana de la geometría algebraica . Uno espera, intuitivo, que la teoría de la deformación, de la primera orden, compare al espacio de tangente de Zariski a un espacio de los módulos. Los fenómenos resultan ser algo sutiles, aunque, en el caso general.
En el caso de las superficies de Riemann uno puede explicar que la estructura compleja en la esfera de Riemann está aislada (ningunos módulos). Para el género 1, una curva elíptica tiene una familia del uno-parámetro de estructuras complejas, según las indicaciones de teoría de la función elíptica . La teoría general de la Kodaira-Chaqueta de punto identifica como la llave a la teoría de la deformación a grupo del cohomology de la gavilla H 1 (Θ) DEL
DEL
donde está (la gavilla de gérmenes de secciones de) el paquete Θ olomorfo de la tangente. Hay una obstrucción en el H 2 de la misma gavilla; cuál es siempre cero en caso de una curva, por razones generales de la dimensión. En el caso del género 0 el H 1 desaparece, también. Para el género 1 la dimensión es el número de Hodge h 1,0 del
l
cuál es por lo tanto 1. Uno puede ir más lejos con el caso del género g > 1, usar la dualidad de Serre para relacionarse el H 1 con H 0 (Ω) del
l
donde está Ω el paquete olomorfo de la cotangente y la notación Ω significa el cuadrado del tensor del (el no el segundo exterior acciona ). Es decir las deformaciones son reguladas por los diferenciales cuadráticos en una superficie de Riemann, otra vez algo olomorfo sabido clásico. La dimensión de los módulos espacia, llamado el espacio de Teichmüller en este caso, se computa como 3 &minus de g del ; 3, por el teorema de Riemann-Roch.
Estos ejemplos son el principio de una teoría que se aplica a las familias olomorfas de múltiples complejos, de cualquier dimensión. Otros progresos incluidos: la extensión de Spencer de las técnicas a otras estructuras de la geometría diferenciada ; la asimilación de la teoría de la Kodaira-Chaqueta de punto en la geometría algebraica abstracta Grothendieck, con una clarificación substantiva consiguiente del trabajo anterior; y teoría de la deformación de otras estructuras, tales como álgebra.
La conjetura supuesta de Deligne que se presentaba en el contexto de álgebra (y del cohomology de Hochschild) estimuló mucho interés en teoría de la deformación en lo referente a la teoría de la secuencia (en línea general, formalizar la idea que una teoría de la secuencia se puede mirar como deformación de una teoría de la punto-partícula). Esto ahora se acepta según lo probado, después de algunos tirones con avisos tempranos. La máxima Kontsevich está entre las que han ofrecido una prueba generalmente aceptada de esto.
| Random links: | Escuela del consistorio de la música y del drama | Haralson, Georgia | McLain, Mississippi | Cápsula de espacio | Pororoca |