Es decir, el f ( x ) de la función de probabilidad miente entre cero y uno para cada valor del x en el Ω del espacio de muestra, y la suma del f ( x ) sobre todos los valores que el x en el Ω del espacio de muestra es exactamente igual a 1. Un acontecimiento del se define como cualquier $E\; \backslash ,$ del $\backslash \; de\; la\; Omega,$ del subconjunto del espacio de muestra. La probabilidad del $E\; \backslash ,$ definido como $P\; del\; (E)=\; \backslash \; sum\_\; \{x\; \backslash \; en\; E\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; del$ del acontecimiento

Así pues, la probabilidad del espacio de muestra entero es 1, y la probabilidad del acontecimiento nulo es 0.

El $f\; de\; la\; función\; (x)\; \backslash ,$ que traza un punto en el espacio de muestra al " probability" el valor se llama una función de masa de probabilidad del abreviado como pmf . La definición moderna no intenta contestar a cómo se obtienen las funciones de masa de probabilidad; en lugar construye una teoría que asuma su existencia.

Distribuciones de probabilidad continuas

considera también:

continuo de la distribución de probabilidad La teoría de las probabilidades continua se ocupa de los acontecimientos que ocurren en un espacio de muestra continua.

Definición clásica del : La definición clásica analiza cuando está enfrentada con el caso continuo. Ver la paradoja de Beltrán.

Definición moderna del : Si el espacio de muestra es los números verdaderos ($\backslash \; mathbb\; \{R\}$), después una función llamó el del $F\; \backslash ,$ se asume para existir, que de la función de distribución acumulativa (o el cdf ) da el $P\; (X\; \backslash \; le\; x)\; =\; F\; (x)\; \backslash ,$ para un X de la variable al azar . Es decir, el F ( x ) vuelve la probabilidad que será el X inferior o igual el x .

El cdf debe satisfacer las características siguientes.

Si $F\; \backslash ,$ es diferenciable, después al azar variable X es dicho tener probabilidad densidad función o pdf o simplemente densidad $f\; (x)=\; \backslash \; frac\; \{dF\; (x)\}\; \{\}\; \backslash ,\; del\; dx$.

Para un $E\; \backslash \; un\; subseteq\; \backslash \; un\; mathbb\; del\; sistema\; \{R\}$, la probabilidad del X de la variable al azar que está en el $E\; \backslash ,$ se define como $P\; del\; (X\; \backslash \; en\; E)\; =\; \backslash \; int\_\; \{x\; \backslash \; en\; E\}\; dF\; (x)\; \backslash ,$

En caso de que exista la función de densidad de probabilidad, después puede ser escrito como $P\; del\; (X\; \backslash \; en\; E)\; =\; \backslash \; int\_\; \{x\; \backslash \; en\; E\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx$

Considerando que el pdf del existe solamente para las variables al azar continuas, el cdf del existe para todas las variables al azar (variables al azar discretas incluyendo) los valores de esa toma en el $\backslash \; el\; mathbb\; \{R\}$.

Estos conceptos se pueden generalizar para los casos multidimensionales en $\backslash \; el\; mathbb\; \{R\}\; ^n$ y otros espacios de muestra continua.

Teoría de las probabilidades teórica de la medida

Dado cualquie sistema $\backslash \; Omega,$ (también llamado el espacio de muestra del ) y σ-álgebra $\backslash \; mathcal\; \{\}\; \backslash ,\; de\; F$ en él, una medida $P$ se llama una medida de probabilidad del si el $P\; \backslash ,$ es

Si $\backslash \; mathcal\; \{F\}\; \backslash ,$ es Borel σ-álgebra entonces allí es único probabilidad medida en $\backslash \; mathcal\; \{\}\; \backslash ,\; de\; F$ para cualquie cdf, y viceversa. La medida que corresponde a un cdf reputa inducido por el cdf. Esta medida coincide con el pmf para las variables discretas, y el pdf para las variables continuas, haciendo el acercamiento teórico de la medida libre de errores.

probabilidad de sistema $E\; \backslash ,$ en σ-álgebra $\backslash \; mathcal\; \{\}\; \backslash ,\; de\; F$ se define como $P\; del\; (X\; \backslash \; en\; E)\; =\; \backslash \; int\_\; \{x\; \backslash \; en\; E\}\; dF\; (x)\; \backslash ,$ donde está la integración con respecto a la medida inducida por el $F\; \backslash ,$.

Junto con el abastecimiento de una mejores comprensión y unificación de probabilidades discretas y continuas, medir el tratamiento teórico también permite que trabajemos en probabilidades fuera del $\backslash \; del\; mathbb\; \{R\}\; ^n$, como en la teoría de los procesos estocásticos por ejemplo para estudiar el movimiento browniano, la probabilidad se define en un espacio de funciones.

Distribuciones de probabilidad

considera también:

las distribuciones de probabilidad Ciertas variables al azar ocurren muy a menudo en la teoría de las probabilidades porque manan describen muchos procesos naturales o físicos. Sus distribuciones por lo tanto han ganado la importancia especial del en la teoría de las probabilidades. Algunas distribuciones discretas del fundamental son las distribuciones geométricas negativas discretas del uniforme, Bernoulli, binomial, del binomio, Poisson y . Las distribuciones continuas del importante incluyen el uniforme continuo, el normal, el exponencial, la gamma y distribuciones beta .

Convergencia de variables al azar

considera también: Convergencia las variables al azar En la teoría de las probabilidades, hay varias nociones de la convergencia para las variables al azar que son mencionadas abajo en la orden de la fuerza, es decir, cualquier noción subsecuente de la convergencia en la lista implica convergencia según todas las nociones precedentes. convergencia del del

l en la distribución: como el nombre implica, una secuencia de las variables al azar $X\_1,\; X\_2,\; \backslash \; puntea,\; \backslash ,$ converge al $X\; \backslash ,\; de$ en la distribución si a sus funciones de distribución acumulativas respectivas del $F\_1,\; F\_2,\; \backslash \; puntos\; \backslash ,\; de\; la\; variable\; al\; azar$ convergen al $F\; de\; la\; función\; de\; distribución\; acumulativa\; \backslash ,\; al$ del $X\; \backslash ,\; al$, dondequiera que $F\; \backslash ,$ es el continuo.

l del
la mayoría de la notación corta común de la mano: $X\_n\; \backslash ,\; \backslash \; xrightarrow\; \{\backslash \}\; mathcal\; \backslash ,\; de\; D\; X$ convergencia débil del del

l : la secuencia de las variables al azar $X\_1,\; X\_2,\; \backslash \; puntos\; \backslash ,$ se dice para converger hacia el $X\; de\; la\; variable\; al\; azar\; \backslash ,\; el\; débil\; de$ si el $\backslash \; el\; lim\_\; \{n\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}\; P\; \backslash \; se\; fueron\; (\backslash \; se\; fue|X\_n-X\; \backslash \; derecho|\backslash \; geq\; \backslash \; varepsilon\; \backslash )\; =0$ derecho para cada ε > 0. La convergencia débil también se llama convergencia del en la probabilidad .

l del
la mayoría de la notación corta común de la mano: $X\_n\; \backslash ,\; \backslash \; xrightarrow\; \{\}\; \backslash ,\; de\; P\; X$ convergencia fuerte del del

l : la secuencia de las variables al azar $X\_1,\; X\_2,\; \backslash \; puntos\; \backslash ,$ se dice para converger hacia el $X\; de\; la\; variable\; al\; azar\; \backslash ,\; el\; fuerte\; de$ si $P\; (\backslash \; convergencia\; fuerte\; del\; lim\_\; \{n\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}\; X\_n=X)=1.$ también se conoce como convergencia casi segura .

l del
la mayoría de la notación corta común de la mano: $X\_n\; \backslash ,\; \backslash \; xrightarrow\; \{\backslash \}\; \backslash ,\; del\; mathrm\; \{a.\}\; X$

Intuitivo, la convergencia fuerte del es una versión más fuerte de la convergencia débil del, y en ambos casos las variables al azar $X\_1,\; X\_2,\; \backslash \; puntos\; \backslash ,\; demostración\; de$ una correlación cada vez mayor con el $X\; \backslash ,$. Sin embargo, en caso de convergencia del en la distribución, los valores observados de las variables al azar no necesitan converger, y cualquier correlación posible entre ellas es inmaterial.

Ley de grandes números

considera también: Ley los grandes números La intuición común sugiere que si una moneda justa se sacude muchas veces, después del mitad áspero del tiempo que dará vuelta encima de las cabezas del, y la otra mitad dará vuelta encima de las colas del . Además, la moneda se sacude cuanto más a menudo, más probable debe ser que el cociente del número de las cabezas del al número de las colas del se acercará a la unidad. La probabilidad moderna proporciona una versión formal de esta idea intuitiva, conocida como la ley del de los grandes números . Esta ley es notable porque en ninguna parte se asume en las fundaciones de la teoría de las probabilidades, sino que por el contrario emerge fuera de estas fundaciones como teorema. Desde ella liga probabilidades teórico-derivadas a su frecuencia real de la ocurrencia en el mundo real, la ley de grandes números se considera como pilar en la historia de la teoría estadística.

¡citación para la importancia histórica de LLN si usted la tiene -->

La ley del de los grandes números (LLN) indica que converge el _n= medio \ tfrac1n {\ suma X_n} del $\backslash \; del\; overline\; de\; la\; muestra\; \{X\}\; de$ X\_1,\; X\_2,\dots \; \backslash ,$(independiente\; y\; las\; variables\; al\; azar\; idénticamente\; distribuidas\; con\; el$ finito\; \backslash \; mu$de\; la\; expectativa)\; los\; towads\; el$ teórico\; \backslash \; mu$de\; la\; expectativa.$

Está en las diversas formas de convergencia de las variables al azar que separe el débil y la ley fuerte del de grandes números ley débil del del

l : $\backslash \; overline\; \{X\}\; \_n\; \backslash ,\; \backslash \; xrightarrow\; \{P\}\; \backslash ,\; \backslash \; MU\; \backslash \; qquad\; \backslash \; textrm\; \{para\}\; \backslash \; qquad\; n\; \backslash \; a\; \backslash \; infty.$ ley fuerte del del

l : $\backslash \; overline\; \{X\}\; \_n\; \backslash ,\; \backslash \; xrightarrow\; \{\backslash \; mathrm\; \{a.\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; MU\; \backslash \; qquad\; \backslash \; textrm\; \{para\}\; \backslash \; qquad\; n\; \backslash \; \backslash \; infty.$

Sigue de LLN que si un acontecimiento del p de la probabilidad se observa en varias ocasiones durante experimentos independientes, el cociente de la frecuencia observada de ese acontecimiento al número total de repeticiones converge hacia el p .

Poniendo esto en términos de variables al azar y LLN tenemos $Y\_1,\; Y\_2,\dots \; \backslash ,$ son las variables al azar de Bernoulli independiente que toman los valores 1 con el p de la probabilidad y 0 con la probabilidad 1 - el p . $\backslash \; textrm\; \{E\}\; (Y\_i)\; =p$ para todo el i y él sigue de LLN que $\backslash \; frac\; \{\backslash \; suma\; Y\_n\}\; \{\}\; \backslash ,\; de\; n$ converge al casi seguramente del p .

Teorema de límite central

considera también:

l teorema de límite central El teorema de límite central del es la razón de la ocurrencia ubicua de distribución normal en naturaleza; es uno de los teoremas celebrados de la probabilidad y de estadísticas. ¡

El teorema indica que el promedio de muchos independiente y las variables al azar idénticamente distribuidas con la variación finita tiende hacia un de distribución normal independiente de la distribución seguida por las variables al azar originales. Formalmente, dejar $X\_1,\; X\_2,\; \backslash \; puntos\; \backslash ,$ sea variables al azar independientes con, $\backslash \; mu\_1\; de\; los\; medios\; \backslash \; mu\_2,\; \backslash \; puntos\; \backslash ,$, y, $\backslash \; sigma\_1^2\; de\; las\; variaciones\; \backslash \; sigma\_2^2,\; \backslash \; puntos.\; \backslash ,$ entonces la secuencia de $Z\_n=\; del\; de\; las\; variables\; al\; azar\; \backslash \; de\; frac\; \{\backslash \; de\; ^n\; del\; sum\_\; \{i=1\}\; (-\; \backslash \; mu\_i\; de\; X\_i)\}\{\backslash raíz\; cuadrada\{\backslash \; ^n\; \backslash \; sigma\_i^2\; del\; sum\_\; \{i=1\}\}\}$ converge en la distribución a una variable al azar estándar del normal .

Ver también