La teoría de número del es la rama de las matemáticas puras referidas a las características de los números generalmente y los números enteros particularmente, así como las clases más anchas de problemas que se presenten de su estudio.

La teoría de número se puede subdividir en varios campos, según los métodos usados y el tipo de preguntas investigadas. (el considera la lista de los asuntos de la teoría de número).

El " del término; " aritmético ; también se utiliza para referir a teoría de número. Éste es algo un más viejo término, que es no más tan popular como estaba una vez. La teoría de número era llamada el la aritmética más alta, pero ésta está cayendo también de uso. Sin embargo, todavía aparece en los nombres de los campos matemáticos (aritmética de las funciones aritméticas de las curvas elípticas, teorema fundamental del aritmético). Este sentido del aritmético del término no se debe confundir con la aritmética elemental, o con la rama de la lógica que estudia el Peano aritmético como sistema formal . Llaman los matemáticos que trabajan en el campo de la teoría de número los teóricos de número del .

Campos

Teoría de número elemental

En la teoría de número elemental del, los números enteros se estudian sin el uso de técnicas de otros campos matemáticos. Las cuestiones de la divisibilidad, el uso del algoritmo euclidiano de computar las facturizaciones del número entero de los divisores comunes más grandes en la investigación de los números primeros de los números perfectos y las congruencias pertenecen aquí. Varios descubrimientos importantes de este campo son teorema de Fermat poco, el teorema de Euler, el teorema chino del resto y la ley de la reciprocidad cuadrático . Las características de las funciones multiplicativas tal como la función de Möbius y la función del † de Ï de Euler, Factorials de las secuencias del número entero y los números de Fibonacci todo también caen en esta área.

La teoría de muchas preguntas en gran número se puede indicar en términos teóricos del número elemental, pero pueden requerir la consideración muy profunda y nuevos acercamientos fuera del reino de la teoría de número elemental solucionar. Los ejemplos incluyen:
La conjetura de Goldbach referente a la expresión de los números incluso como sumas de dos prepara.
Conjetura del catalán (ahora teorema de Mihăilescu) con respecto a energías sucesivas del número entero.
La conjetura de la prima del gemelo sobre la infinidad de la prima aparea .
La conjetura de Collatz referente a una iteración simple.
Teorema pasado de Fermat (indicado en 1637, pero no probado hasta 1994) referente a la imposibilidad de encontrar el diferente a cero x, y, z de los números enteros tales que $x^n\; +\; y^n\; =\; z^n$ para un cierto n del número entero mayor que el 2 .

La teoría de las ecuaciones Diophantine incluso se ha demostrado para ser el undecidable del (véase problema de Hilbert el décimo).

Teoría de número analítico

la teoría de número analítico del emplea la maquinaria del cálculo y del análisis complejo para abordar preguntas sobre números enteros. El teorema (PNT) del número primero y la hipótesis relacionada de Riemann son ejemplos. Problema (la representación de un número entero dado como suma de ajusta, el cubica etc.), la conjetura el tener cuidado con de la prima del gemelo (que encuentra infinitamente muchos pares de la prima con diferencia 2) y la conjetura (números enteros de Goldbach de la escritura incluso mientras que las sumas de dos preparan) se está atacando con métodos analíticos también. El impermeabiliza de la trascendencia de constantes matemáticos, tales como Ï€ o el e del, también se clasifica como teoría de número analítico. Mientras que las declaraciones sobre los números trascendentales pueden parecer ser quitado del estudio de números enteros, estudian realmente los valores posibles de los polinomios con los coeficientes del número entero evaluados en, por ejemplo, el e ; también se ligan de cerca al campo de la aproximación Diophantine, donde uno investiga el " como de bien " un número verdadero dado se puede aproximar por un racional uno.

Teoría del número algébrico

En la teoría del número algébrico del, el concepto de un número se amplía a los números algébricos que son las raíces de polinomios con coeficientes racionales . Estos dominios contienen los elementos análogos a los números enteros, los números enteros algebraicos supuesto en este ajuste, las características familiares de los números enteros (e. facturización única) no necesitan sostenerse. La virtud del employed— teoría de Galois de la maquinaria, del cohomology del grupo, de la teoría de campo de clase, de las representaciones de grupo y del € de las L-funciones ” es que permite recuperar esa orden en parte para esta nueva clase de números.

Muchos numeran preguntas teóricas son atacados mejor estudiándolas que el modulo p del para todo prepara el p (véase los campos finitos . Esto se llama la localización del y lleva a la construcción de los números de P-adic que este campo del estudio se llama el análisis local y se presenta de teoría del número algébrico.

Teoría de número geométrica

la teoría de número geométrica del (tradicionalmente llamado la geometría de los números ) incorpora algunos conceptos geométricos básicos, tales como enrejados, en preguntas número-teóricas. Comienza con el teorema de Minkowski sobre los puntos del enrejado en los sistemas convexos y lleva a las pruebas básicas del aspecto finito del número de clase y del teorema, dos teoremas fundamentales de la unidad de Dirichlet en teoría del número algébrico.

Teoría de número combinatoria

La teoría de número combinatoria del se ocupa de los problemas teóricos del número que implican ideas combinatorias en sus formulaciones o soluciones. El `s de Paul ErdÅ es el fundador principal de esta rama de la teoría de número. Los asuntos típicos incluyen el sistema de la cubierta, los problemas de suma cero, los sumsets restringidos vario y las progresiones aritméticas en un sistema de números enteros. Los métodos algebraicos o analíticos son de gran alcance en este campo.

Teoría de número de cómputo

la teoría de número de cómputo del estudia teoría relevante de los algoritmos en gran número. Los algoritmos rápidos para el preparan la prueba y la facturización del número entero tiene usos importantes en la criptografía .

Historia

Teoría de número védica

Los matemáticos en el la India estaban interesados en encontrar soluciones integrales de las ecuaciones Diophantine desde la era védica . El uso geométrico más temprano de las ecuaciones Diophantine se puede rastrear al Sulba Sutras, que fueron escritas entre los 8vos y 6tos siglos A.) encontró dos sistemas de soluciones integrales positivas a un sistema de ecuaciones Diophantine simultáneas, y también utilizó ecuaciones Diophantine simultáneas con hasta cuatro desconocido.) utilizó ecuaciones Diophantine simultáneas con hasta cinco desconocido.

Teoría de número de Jaina

En la India, los matemáticos de Jaina desarrollaron la teoría sistemática más temprana de números a partir del siglo IV A. El Surya Prajinapti (C. 400 del texto de Jaina A.) clasifica todos los números en tres sistemas: enumerable, innumerable e infinito. Cada uno de éstos fue subdividida más a fondo en tres órdenes:

Enumerable: lo más bajo posible, intermedio y lo más arriba posible.
Innumerable: casi innumerable, verdadero innumerable e innumerable innumerable.
Infinito: casi infinito, verdadero infinito, infinitamente infinito.

El Jains era el primer para desechar la idea que todos los infinites eran iguales o igualan. Reconocieron cinco diversos tipos de infinito: infinito en una y dos direcciones (una dimensión ), infinito en el área (dos dimensiones), infinito por todas partes (tres dimensiones), e infinito perpetuo (número infinito de dimensiones).

El enumerable más alto N del número del Jains corresponde al concepto moderno del $aleph-nulo\; \backslash \; aleph\_0$ (el número cardinal del sistema infinito de los números enteros 1, 2,…), el número Transfinite cardinal más pequeño. El Jains también definió un sistema entero de números cardinales transfinite, cuyo el $\backslash \; aleph\_0$ es el más pequeño.

En el trabajo de Jaina sobre la teoría de los sistemas, dos tipos básicos de números transfinite son distinguidos. En los argumentos ontológicos de la comprobación y, una distinción fue hecha entre el asmkhyata del y el ananata del, entre los infinitos rígido limitados y libremente limitados.

Teoría de número griega

La teoría de número era un estudio preferido entre los matemáticos griegos del último período helenístico (ANUNCIO del siglo III) en el Alexandría, Egipto, que eran conscientes del concepto Diophantine de la ecuación en casos especiales numerosos. El primer matemático griego para estudiar estas ecuaciones era Diophantus .

Diophantus también buscó un método de encontrar soluciones del número entero a las ecuaciones indeterminadas de las ecuaciones linear que carecen la suficiente información para producir un solo sistema discreto de respuestas. El $x\; de\; laecuación+\; la\; y\; =\; el\; 5$ es tal ecuación. Diophantus descubrió que muchas ecuaciones indeterminadas se pueden reducir a una forma donde cierta categoría de respuestas se sabe aunque no es una respuesta específica.

Teoría de número india clásica

Las ecuaciones Diophantine fueron estudiadas extensivamente por los matemáticos en la India medieval, que eran los primeros para investigar sistemáticamente los métodos para la determinación de las soluciones integrales de ecuaciones Diophantine. El Aryabhata (499) dio la primera descripción explícita de la solución integral general de la ecuación Diophantine linear a$y\; +$b$x\; =$ c, que ocurre en su Aryabhatiya del texto. Este algoritmo del kuttaka del se considera ser una de las contribuciones más significativas de Aryabhata en las matemáticas puras, que encontraron que las soluciones a las ecuaciones Diophantine por medio de las fracciones continuas la técnica fueron aplicadas por Aryabhata para dar las soluciones integrales de ecuaciones Diophantine lineares simulataneous, un problema con usos importantes en astronomía. Él también encontró la solución general a la ecuación linear indeterminado usar este método.

El Brahmagupta en 628 manejó ecuaciones Diophantine más difíciles. Él utilizó el método del '' chakravala '' para solucionar ecuaciones Diophantine cuadráticos, incluyendo formas de la ecuación de Pell, por ejemplo $61x^2\; +\; 1\; =\; y^2$. Su '' Brahma Sphuta Siddhanta '' fue traducido al árabe en 773 y traducido posteriormente al latino en 1126. La ecuación $61x^2\; +\; 1\; =\; y^2$ fue planteada más adelante como problema en 1657 por el francés Pierre De Fermat del matemático . La solución general a esta forma particular de la ecuación de Pell fue encontrada sobre 70 años más tarde por el Leonhard Euler, mientras que la solución general a la ecuación de Pell fue encontrada sobre 100 años más tarde por el José Louis Lagrange en 1767. Mientras tanto, hace muchos siglos, la solución general a la ecuación de Pell fue registrada por el Bhaskara II en 1150, usar una versión modificada del método del chakravala del de Brahmagupta, que él también encontraba la solución general a otras ecuaciones cuadráticos indeterminadas y a ecuaciones Diophantine cuadráticos. El método del chakravala del de Bhaskara para encontrar la solución general a la ecuación de Pell era mucho más simple que el método usado por Lagrange sobre 600 años más tarde. Bhaskara también encontró soluciones a otra ecuación cuadrática indeterminada, cúbico, cuártico, y ecuaciones polinómicas higher-order . El Narayana Pandit fomenta mejorado en el método del chakravala del y encontró soluciones más generales a otras ecuaciones polinómicas cuadráticos e higher-order indeterminadas.

Teoría de número islámica

A partir del siglo IX, las matemáticas islámicas tenían una teoría del gran interés en gran número. El primer de estos matemáticos era el ibn Qurra de Thabit, que descubrió un algoritmo que permitió que los pares de los números amistosos fueran encontrados, que es dos números tales que cada uno es la suma de los divisores apropiados del otro. En el siglo X, el al-Baghdadi miraba una variante leve del método de Qurra del ibn de Thabit.

En el siglo X, el al-Haitham parece haber sido el primer a intentar clasificar todos los incluso números perfectos (números iguales a la suma de sus divisores apropiados) como los de la forma $2^\; \{k-1\}\; (2^k\; -\; 1)$ donde $2^k\; -\; 1$ es primero. ¡El al-Haytham es también la primera persona para indicar el teorema de Wilson, a saber que si p es entonces $1+\; primero\; (p-1)!$ es divisible por $p$. Es confuso si él sabía probar este resultado. Se llama el teorema de Wilson debido a un comentario hecho teniendo cuidado con de Edward en 1770 que el Juan Wilson había notado el resultado. No hay evidencia que Juan Wilson sabía probarla que y lo más ciertamente posible no lo hizo el tener cuidado con. Lagrange dio la primera prueba en 1771.

Los números amistosos desempeñaron un papel grande en matemáticas islámicas. En el siglo XIII, el al-Farisi persa del matemático dio una nueva prueba del teorema de Qurra del ibn de Thabit, exponiendo nuevas ideas importantes referentes la facturización y a métodos combinatorios. Él también dio los pares de números amistosos 17296, 18416 que se han atribuido a Euler, pero sabemos que éstos eran sabidos anterior que el al-Farisi, quizás incluso al lado del ibn Qurra mismo de Thabit. En el siglo XVII, el Mohamed Baqir Yazdi todavía dio los pares de números amistosos 9.056 muchos años antes de la contribución de Euler.

Teoría de número europea temprana

La teoría de número comenzó en el Europa en la décimosexto y los siglos XVII, con el François Viète, el Bachet de Meziriac, y especialmente el Fermat, cuyo método infinito de la pendiente era la primera prueba general de preguntas diophantine. El teorema pasado de Fermat fue planteado como problema en 1637, una prueba cuyo no fue encontrado hasta 1994. Fermat también planteó la ecuación $61x^2\; +\; 1\; =\; y^2$ como problema en 1657.

En el siglo XVIII, Euler y Lagrange hicieron contribuciones importantes a la teoría de número. Euler hizo un cierto trabajo sobre la teoría de número analítico, y encontró una solución general a la ecuación $61x^2\; +\; 1\; =\; y^2$. Lagrange encontró una solución más a la ecuación de general el Pell. Euler y Lagrange solucionaron estas ecuaciones de Pell por medio de las fracciones continuas aunque esto era más difícil que el método indio del '' chakravala '' .

Principios de la teoría de número moderna

Alrededor del principio de los libros del siglo XIX Legendre (1798), y del gauss poner juntas las primeras teorías sistemáticas en Europa. El Disquisitiones Arithmeticae (1801) del del gauss se puede decir para comenzar la teoría moderna de números.

La formulación de la teoría de las congruencias comienza con el Disquisitiones del gauss. Él introdujo el simbolismo $a\; del$

l \ b equivalente \ pmod c,

y explorado la mayor parte de el campo. El Chebyshev publicó en 1847 un trabajo en ruso en el tema, y en el Serret de Francia lo popularizó.

Además de resumir el trabajo previo, el Legendre indicó la ley de la reciprocidad cuadrático . Esta ley, descubierta por la inducción y declarada por Euler, primero fue probada por Legendre en su DES Nombres (1798) de Théorie del para los casos especiales. Independiente de Euler y de Legendre, el gauss descubrió la ley cerca de 1795, y era el primer para dar una prueba general. Los siguientes también han contribuido al tema: Cauchy ; Dirichlet cuyas azufaifas Zahlentheorie del ¼ de Vorlesungen à es una obra clásica; Jacobi, que introdujo el símbolo de Jacobi; Liouville, Zeller (?), Eisenstein, Kummer, y Kronecker . La teoría extiende para incluir el la reciprocidad cuártica cúbica de y, (el gauss, Jacobi que primero probaron la ley de la reciprocidad cúbica, y Kummer).

Al gauss está también la deuda que la representación de números por la ecuación cuadrática binaria forma

Teoría de número primero

Una teoría del tema que se repite y productiva en gran número es el estudio de la distribución de números primeros. El Carl Friedrich Gauss que conjeturó el límite del número de prepara no exceder un número dado (el el teorema del número primero) como adolescente.

El Chebyshev que (1850) dio los límites útiles para el número de prepara entre dos límites dados. Riemann introdujo el análisis complejo en la teoría de la función de zeta de Riemann . Esto llevó a una relación entre los ceros de la función de zeta y la distribución de prepara, eventual llevando a una prueba del teorema del número primero independiente por el Hadamard y el de la Vallée Poussin en 1896. Sin embargo, una prueba elemental fue dada más adelante por el `s de Paul ErdÅ y el Atle Selberg en 1949. Aquí elemental significa que no utiliza técnicas del análisis complejo; sin embargo, la prueba sigue siendo muy ingeniosa y difícil. La hipótesis de Riemann, que daría mucho más información precisa, sigue siendo un no se sabe.

progresos del Diecinueveavo-siglo

Cauchy, Poinsot (1845), Lebesgue (?) (1859, 1868), y Hermite han agregado notablemente al tema. En la teoría de formas ternarias Eisenstein ha sido un líder, y a él y al H. Smith es también deuda al avance significativo en la teoría de formas en general. Smith dio una clasificación completa de formas cuadráticos ternarias, y el gauss ampliado investiga referente a formas cuadráticos verdaderas a las formas complejas. Las investigaciones referentes a la representación de números por la suma de 4, 5, 6, 7, 8 cuadrados fueron avanzadas por Eisenstein y la teoría fue terminada por Smith.

Dirichlet era el primer a dar una conferencia sobre el tema en una universidad alemana. Entre sus contribuciones está la extensión del teorema pasado de Fermat:
$x^n+y^n\; del$
\ z^n del neq, (x, y, z \ neq 0, n > 2)

qué Euler y Legendre había probado para el $n\; =\; 3,\; 4$ (y por lo tanto implícitamente, todos los múltiplos de 3 y 4), demostración de Dirichlet ese $x^5+y^5\; \backslash \; neq\; z^5$. Entre los escritores franceses posteriores está el Borel ; Poincaré, cuyas memorias tienen numerosas y valores; Curtiduría, y Stieltjes . Entre los contribuidores principales en Alemania estaban el Kronecker, el Kummer, el Schering, el Bachmann, y el Dedekind . En la teoría de Stolz “el allgemeine Arithmetik (1885-86) de las azufaifas del ¼ de Vorlesungen à del de s, y en Inglaterra Mathews ” de Austria de los números (parte I, 1892) era trabajos generales de estudiante. El Genocchi, el Sylvester, y el J. Glaisher también han agregado a la teoría.

Tarde diecinueveavo y tempranos progresos del vigésimo-siglo

Era la época de la teoría importante de los adelantos en gran número debido al trabajo del Axel Thue en ecuaciones diophantine, David Hilbert en la teoría del número algébrico (él también probó la conjetura el tener cuidado con), y a la creación de la teoría de número geométrica por el Hermann Minkowski, pero también a los gracias al Adolfo Hurwitz, al Georgy F. Voronoy, al Waclaw Sierpinski, a la torre de perforación Lehmer normando y a varios otras.

progresos del Vigésimo-siglo

Las figuras importantes en teoría de número del vigésimo-siglo incluyen el Hermann Weyl, Nikolai Chebotaryov, Emilio Artin, Erich Hecke, Helmut Hasse, Alexander Gelfond, Yuri Linnik, `s, Gerd Faltings, G. robusto, landó, Louis Mordell, Juan Edensor Littlewood, Srinivasa Ramanujan, André Weil, Ivan Vinogradov, Atle Selberg, Carl Luis Siegel, Igor Shafarevich, Juan Tate, Roberto Langlands, Goro Shimura de Paul ErdÅ de Edmundo, Kenkichi Iwasawa, Juan Pedro Serre, Pedro Deligne, Enrique Bombieri, panadero de Alan, Swinnerton-Tintóreo de Peter, abedul de Bryan, Vladimir Drinfeld, Lorenzo Lafforgue, Wiles de Andrew, y Richard Taylor .

Los jalones en teoría de número del vigésimo-siglo incluyen la prueba del teorema pasado de Fermat por los Wiles de Andrew en 1994 y la prueba de la conjetura de Taniyama†relacionado “Shimura en 1999.

Citas

Las matemáticas del son la reina de las ciencias y la teoría de número es la reina de las matemáticas. gauss del †de ”
Dios del inventó los números enteros; todo está el trabajo del hombre. Kronecker del †de ”

.

Zenithic

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