En las matemáticas y la física, la teoría del caos del describe el comportamiento de los sistemas dinámicos de cierto no linear que pueden exhibir las dinámicas que están alto - sensibles a las condiciones iniciales (designadas popular el efecto de mariposa ). Como resultado de esta sensibilidad, que se manifiesta como crecimiento exponencial de perturbaciones en las condiciones iniciales, el comportamiento de sistemas caóticos aparece ser el al azar. Esto sucede aunque estos sistemas son el determinista, significando que sus dinámicas futuras son definidas completamente por sus condiciones iniciales, sin los elementos al azar implicados. Este comportamiento se conoce como caos determinista, o simplemente caos .

Descripción

El comportamiento caótico se ha observado en el laboratorio en una variedad de sistemas incluyendo los circuitos eléctricos, los lasers, las reacciones químicas oscilantes, las dinámicas flúidas, y los dispositivos mecánicos y magneto-mecánicos. Las observaciones del comportamiento caótico en naturaleza incluyen la dinámica de satélites en la Sistema Solar, la evolución del tiempo del campo magnético de los cuerpos celestes, crecimiento demográfico en ecología, la dinámica de los potenciales de acción en neuronas, y los ejemplos diarios moleculares de las vibraciones de sistemas caóticos incluyen el tiempo y el clima. Hay una cierta controversia sobre la existencia de la dinámica caótica en la tectónica de placa y en la economía .

Los sistemas que exhiben caos matemático son deterministas y así ordenanza en un cierto sentido; este uso técnico del caos del de la palabra es en desacuerdo con el lenguaje común, que sugiere desorden completo. Un campo relacionado de la física llamó los sistemas de los estudios de la teoría del caos de Quantum que siguen las leyes de los mecánicos de Quantum . Recientemente, otro campo, llamado el el caos relativista, ha emergido para describir los sistemas que siguen las leyes de la relatividad general .

Así como ser ordenado en el sentido de ser sistemas deterministas, caóticos tener generalmente estadísticas bien definidas. Por ejemplo, el sistema de Lorenz representado es caótico, pero tiene una estructura bien definida. El caos limitado es un término útil para describir modelos del desorden.

Historia

El primer descubridor del caos puede ser discutido plausible para ser el Jacques Hadamard, que en el 1898 publicó un estudio influyente del movimiento caótico de una partícula libre que se deslizaba sin fricción en una superficie de la curvatura negativa constante. En el sistema estudiado, los billares, Hadamard de Hadamard podían demostrar que toda la trayectoria es inestable, en que toda la trayectoria de la partícula diverge exponencial a partir de la una otra, con un exponente positivo de Lyapunov.

En el temprano Enrique Poincaré de los 1900s, mientras que estudia el problema Three-body, encontrado que puede haber las órbitas que son aperiódicas, pero no por siempre aumenta ni acercándose a un punto fijo. Mucha de la teoría temprana fue desarrollada casi enteramente por los matemáticos, bajo el nombre de la teoría ergódica . Estudios posteriores, también en el asunto de ecuaciones diferenciales no lineares, fueron realizados por el carretero G. Littlewood, y el Stephen Smale . A excepción de Smale, estos estudios eran todos inspirados directo por la física: el problema three-body en el caso de Birkhoff, turbulencia y problemas astronómicos en el caso de Kolmogorov, e ingeniería de radio en el caso del carretero y de Littlewood. Aunque el movimiento planetario caótico no hubiera sido observado, los experimentalists habían encontrado turbulencia en el movimiento flúido y la oscilación aperiódica en los circuitos de radio sin la ventaja de una teoría para explicar lo que veían.

La teoría del caos progresó más rápido después de mediados de siglo, cuando primero se ponía de manifiesto para algunos científicos que la teoría linear, la teoría de sistema que prevalecía en aquel momento, no podría explicar simplemente el comportamiento observado de ciertos experimentos como el del mapa logístico . El catalizador principal para el desarrollo de la teoría del caos era la computadora electrónica . Mucha de las matemáticas de la teoría del caos implica la iteración repetida de las fórmulas matemáticas simples, que serían imprácticas de hacer a mano. Las computadoras electrónicas hicieron estos cálculos repetidos prácticos. Una de las calculadoras numéricas electrónicas más tempranas, el ENIAC, fue utilizado para funcionar con modelos simples de la previsión meteorológica.

Un pionero temprano de la teoría era el Edward Lorenz cuyo interés en caos vino alrededor accidentalmente a través de su trabajo sobre la predicción del tiempo en el 1961 . Lorenz utilizaba una computadora básica, un real LGP-30 de McBee, para funcionar su simulación del tiempo. Él quiso ver una secuencia de datos otra vez y ahorrar tiempo que él comenzó la simulación en el medio de su curso. Él podía hacer esto incorporando un listado de los datos que correspondían a las condiciones en el medio de su simulación que él había calculado la vez última.

A su sorpresa el tiempo que la máquina comenzó a predecir era totalmente diferente del tiempo calculado antes. Lorenz rastreó esto a la impresión. El listado completó las variables a un número de 3 dígitos, pero la computadora trabajada con 6 números del dígito. Esta diferencia es minúscula y el consenso habría sido en ese entonces que no debe haber tenido prácticamente ningún efecto. Sin embargo Lorenz había descubierto que los pequeños cambios en condiciones iniciales produjeron cambios grandes en el resultado de largo plazo.

El Yoshisuke Ueda identificó independiente un fenómeno caótico como tal usando una computadora análoga el 27 de noviembre, el 1961 . El caos exhibido por una computadora análoga es un fenómeno verdadero, al contrario de los que las calculadoras numéricas calculen, que tiene una diversa clase de límite en la precisión. Profesor supervisor de Ueda, Hayashi, no creyó en caos, y él prohibió así Ueda de publicar sus resultados hasta el 1970 .

El caos del término según lo utilizado en matemáticas fue acuñado por el aplicado James A. Yorke del matemático.

La disponibilidad de computadoras más baratas, más de gran alcance ensancha la aplicabilidad de la teoría del caos. Actual, la teoría del caos continúa siendo un campo de investigación muy activo.

Dinámica caótica

Para que un sistema dinámico sea clasificado como caótico, debe tener las características siguientes:

be ser sensible a las condiciones iniciales,
debe ser que mezcla topológico, y
sus órbitas periódicas deben ser el denso.

La sensibilidad del para firmar con iniciales las condiciones significa que cada punto en tal sistema es aproximado arbitrariamente de cerca por otros puntos con trayectoria futura perceptiblemente diversa. Así, una perturbación arbitrariamente pequeña de la trayectoria actual puede llevar a comportamiento futuro perceptiblemente diverso.

La sensibilidad para firmar con iniciales condiciones se conoce popular como el " " del efecto de mariposa ;, supuesto debido a el título de un papel dado por el Edward Lorenz en 1972 a la asociación americana para el adelanto de la ciencia en Washington, C. dio derecho a previsibilidad del : ¿La aleta de las alas de una mariposa en el Brasil fija de un tornado en Tejas? el ala del aleteo representa un pequeño cambio en las condiciones iniciales del sistema, que causa una cadena de acontecimientos que lleva a los fenómenos en grande. Tenía la mariposa no aleteada sus alas, la trayectoria del sistema pudo haber sido sumamente diferente.

La sensibilidad para firmar con iniciales condiciones se confunde a menudo con caos en cuentas populares. Puede también ser una característica sutil, puesto que depende de una opción de métrico, o la noción de la distancia en el espacio de fase del sistema. Por ejemplo, considerar el sistema dinámico simple producido en varias ocasiones doblando un valor inicial (definido por el trazado en la línea verdadera del x al 2x ). Este sistema tiene dependencia sensible de condiciones iniciales por todas partes, puesto que cualquier par de puntos próximos eventual se separará extensamente. Sin embargo, tiene comportamiento extremadamente simple, como todos los puntos a menos que 0 tienda al infinito. Si en lugar de otro utilizamos el métrico limitada en la línea obtenida agregando el punto en el infinito y viendo el resultado como círculo, el sistema es no más sensible a las condiciones iniciales. Por esta razón, en la definición de caos, la atención se restringe normalmente a los sistemas con métricas limitadas, o a los subconjuntos invariantes cerrados, limitados de sistemas ilimitados.

Incluso para los sistemas limitados, la sensibilidad para firmar con iniciales condiciones no es idéntica con caos. Por ejemplo, considerar el toro de dos dimensiones descrito por un par de ángulos ( x, y ), cada uno que se extiende entre cero y 2π. Definir un trazado ese lleva cualquier punto ( x, y ) (el 2x, el y + un ), donde está cualquier número a tales que el un π de /2 es irracional. Debido a la duplicación en el primer coordenada, el trazado exhibe dependencia sensible de condiciones iniciales. Sin embargo, debido a la rotación irracional en el segundo coordenada, no hay órbitas periódicas, y por lo tanto el trazado no es caótico según la definición arriba.

El que mezcla topológico significa que el sistema se desarrollará en un cierto plazo de modo que cualquier región o dada el sistema abierto de su espacio de fase se traslape eventual con cualquier otra región dada. Aquí, " mixing" se significa realmente corresponder a la intuición estándar: la mezcla coloreado teñe o los líquidos son un ejemplo de un sistema caótico.

Attractors

Algunos sistemas dinámicos son caóticos por todas partes (véase e. los diffeomorphisms de Anosov pero en muchos casos el comportamiento caótico se encuentra solamente en un subconjunto de espacio de fase. Los casos de la mayoría del interés se presentan cuando el comportamiento caótico ocurre en un Attractor, un sistema grande de condiciones iniciales llevarán desde entonces a las órbitas que convergen a esta región caótica.

Una manera fácil de visualizar un attractor caótico es comenzar con un punto en el lavabo de la atracción del attractor, y después traza simplemente su órbita subsecuente. Debido a la condición topológica de la transitividad, esto es probable producir un cuadro del attractor final entero.

Por ejemplo, en un sistema que describía un péndulo, el espacio de fase pudo ser de dos dimensiones, consistiendo en la información sobre la posición y la velocidad. Uno pudo trazar la posición del de un péndulo contra su velocidad del . Un péndulo en descanso será trazado como punto, y uno en el movimiento periódico será trazado como curva cerrada simple. Cuando tal diagrama forma una curva cerrada, la curva se llama una órbita . Nuestro péndulo tiene un número infinito de tales órbitas, formando un lápiz de elipses jerarquizadas sobre el origen.

Attractors extraños

Mientras que la mayor parte de los tipos del movimiento mencionados anteriormente dan lugar a attractors muy simples, tales como puntos y círculo-como las curvas llamadas los ciclos de límite “, el movimiento caótico da lugar a qué se conocen como attractors extraños de ”, los attractors que pueden tener el grandes detalle y complejidad. Por ejemplo, un modelo tridimensional simple del sistema del tiempo de Lorenz da lugar al attractor famoso de Lorenz. El attractor de Lorenz es quizás uno de los diagramas de sistema caóticos más conocidos, probablemente porque no sólo estaba uno del primer, pero es uno más del complejo y pues tal da lugar a un patrón muy interesante que parezca las alas de una mariposa. Otro tal attractor es el mapa de Rössler, que experimenta la ruta de duplicación del período-dos al caos, como el mapa logístico.

Los attractors extraños ocurren en sistemas dinámicos continuos (tales como el sistema de Lorenz) y en algunos sistemas discretos (tales como el mapa de Hénon). Otros sistemas dinámicos discretos tienen una estructura de rechazo llamada un Julia determinado que forme en el límite entre los lavabos de la atracción de puntos fijos - los sistemas de Julia se pueden pensar en como reflectores extraños del . Ambos attractors y sistemas extraños de Julia tienen típicamente una estructura del fractal .

El teorema de Poincaré-Bendixson demuestra que un attractor extraño puede presentarse solamente en un sistema dinámico continuo si tiene tres o más dimensiones. Sin embargo, ninguna tal restricción se aplica a los sistemas discretos, que pueden exhibir attractors extraños en dos o aún sistemas unidimensionales.

Las condiciones iniciales de tres o más cuerpos el obrar recíprocamente a través de la atracción gravitacional (véase el problema del cuerpo '' n '' -) se puede arreglar para producir el movimiento caótico.

Complejidad mínima de un sistema caótico

Los sistemas simples pueden también producir caos sin la confianza en las ecuaciones diferenciales que un ejemplo es el mapa logístico, que es una ecuación de diferencia (relación de repetición ) que describe el crecimiento demográfico en un cierto plazo.

Incluso la evolución de sistemas discretos simples, tales como autómatas celulares, puede depender pesadamente de condiciones iniciales. El volframio de Stephen ha investigado un autómata celular con esta característica, llamada por él la regla 30 .

Un modelo mínimo para el comportamiento caótico (reversible) conservador es proporcionado por el mapa del gato de Arnold.

Teoría matemática

El teorema de Sarkovskii es la base de las 1975) pruebas de Li y de Yorke (que cualquie sistema unidimensional que exhiba un ciclo regular del período tres también exhibirá ciclos regulares de cada otra longitud así como órbitas totalmente caóticas.

Los matemáticos han ideado muchas maneras adicionales de hacer declaraciones cuantitativas sobre sistemas caóticos. Éstos incluyen: La dimensión del fractal del attractor, los diagramas de la bifurcación de los mapas de Poincaré de los diagramas de la repetición de los exponentes de Lyapunov y el transfieren a operador .

Distinción al azar de datos caóticos

Puede ser difícil decir de datos si la comprobación o el otro proceso observado es al azar o caótico, porque ninguna serie de tiempo consiste en en la práctica la “señal pura.” Habrá siempre una cierta forma de ruido de la corrupción, incluso si está presente como error round-off o de truncamiento. Así cualquier serie en tiempo real, incluso si sobre todo es determinista, contendrá una cierta aleatoriedad.

Todos los métodos para distinguir procesos deterministas y estocásticos confían en el hecho de que un sistema determinista se desarrolla siempre de la misma manera de un punto de partida dado.

Esencialmente todas las medidas de determinismo tomadas de serie de tiempo confían en encontrar los estados más cercanos a un estado dado de la “prueba” (es decir, dimensión de la correlación, los exponentes de Lyapunov, etc. Para definir el estado de un sistema uno confía típicamente en el espacio de fase que encaja métodos. Típicamente uno elige una dimensión de encajadura, e investiga la propagación del error entre dos estados próximos. Si el error parece al azar, uno aumenta la dimensión. Si usted puede aumentar la dimensión para obtener un error de mirada determinista, después le hacen. Aunque puede sonar simple no está realmente. Una complicación es que como la dimensión aumenta la búsqueda para un estado próximo requiere mucho más tiempo del cómputo y muchos datos (la cantidad de datos requirió aumentos exponencial con la encajadura de la dimensión) para encontrar a un candidato convenientemente cercano. Si la dimensión de encajadura (número de medidas por estado) es (menos que el valor “verdadero”) datos deterministas demasiado pequeños elegidos puede aparecer ser al azar pero en teoría no hay problema que elige la dimensión demasiado grande - el método trabajará. Prácticamente, cualquier cosa que se acerca a cerca de 10 dimensiones se considera tan grande que una descripción estocástica es probablemente más conveniente y conveniente de todos modos.

Usos

La teoría del caos se aplica en muchas disciplinas científicas: Matemáticas, biología, de informática, economía, ingeniería, finanzas, filosofía, la física, política, dinámica de la población, psicología, y robótica .

La teoría del caos también está siendo aplicada actual a los estudios médicos de la epilepsia, específicamente a la predicción de asimientos aparentemente al azar observando condiciones iniciales.

Teoría del caos en los medios

Películas

el 1993 del de la película Jurassic Park
El π 1998 de la película
El 2004 del de la película el efecto de mariposa
El 2006 del de la película la ciencia del sueño
El caos 2006 de la película

Libros

Jurassic Park del de de Michael Crichton y el mundo perdido
de de Bradbury del rayo un sonido del trueno

Teatro

" de de Tom Stoppard; " de la Arcadia ; (una cuenta ficticia de los estudios tempranos y del contemporáneo; también termodinámica y determinismo )

Ver también

; Ejemplos del

caótico del

de los sistemas Mapa del gato de Arnold
Sistema de simulación de bola que despide
Circuito de Chua
Péndulo doble
Billares dinámicos
Burbuja económica
Mapa de Hénon
Mapa de herradura
Mapa logístico
Attractor de Lorenz
Mapa de Rössler
Mapa estándar
que hace pivotar la máquina de Atwood

; El otro

relacionado del

de los asuntos Anosov diffeomorphism
Teoría de la bifurcación
Teoría del caos en el desarrollo de organización
Complejidad
Control del caos
Borde del caos
Fractal Mandelbrot determinado
Julia determinado

Previsibilidad
Instituto de Santa Fe
Sincronización del caos

; la gente Mitchell Feigenbaum
Brosl Hasslacher
Miguel Hénon
Edward Lorenz
Aleksandr Lyapunov
Benoît Mandelbrot
Enrique Poincaré
Otto Rössler
David Ruelle
Oleksandr Mikolaiovich Sharkovsky
Floris Takens
James A. Yorke

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