el del este artículo está en la teoría de juegos combinatorios. Para la teoría que incluye juegos de azar y juegos del conocimiento imperfecto, ver la teoría del juego

La teoría del juego combinatoria ( CGT ) del es un que la teoría matemática del que estudia solamente los juegos two-player que tienen una posición del que los jugadores tomen a vueltas que cambian de maneras o de definidas mueve para alcanzar una condición que gana definida. CGT no estudia juegos de azar (como el póker ), pero se restringe a los juegos cuya posición es pública a ambos jugadores, y en cuáles es también público el sistema de movimientos disponibles. Los principios de CGT se pueden aplicar a los juegos como el ajedrez, inspectores, el va, el maleficio, y el Connect6 pero estos juegos se complican sobre todo también para permitir análisis completo (aunque la teoría ha tenido algunos éxitos recientes en analizar a ir los endgames).

Aplicándose CGT a un colocan tentativas de de determinar la secuencia óptima de movimientos para ambos jugadores hasta que el juego termine, y haciendo así que descubrir el movimiento óptimo en cualquier posición. En la práctica, este proceso es torturously difícil a menos que el juego sea muy simple.

CGT no se debe confundir con otra teoría matemática, tradicionalmente llamada la teoría del juego, usada en la teoría de la competición y de la cooperación económicas. La teoría del juego incluye los juegos de azar, los juegos del conocimiento imperfecto y los juegos en los cuales los jugadores se mueven simultáneamente, y tienden a representar situaciones de la vida real de la toma de decisión.

Historia

CGT se presentó en lo referente a la teoría de los juegos imparciales en los cuales cualquier juego disponible para un jugador debe estar disponible para el otro también. Uno muy importante tal juego es el Nim, que se puede solucionar totalmente. Nim es un juego imparcial para dos jugadores, y conforme a la condición normal del juego del, así que significa que un jugador que no puede moverse pierde. En los años 30, el teorema de Sprague-Grundy demostró que todos los juegos imparciales son equivalentes a los montones en nim, así a demostrar que los unifications importantes son posibles en los juegos considerados en un nivel combinatorio (en importan qué estrategias detalladas, no apenas rentabilidades).

En los años 60, el Elwyn R. Berlekamp, el Juan H. Conway y el individuo de Richard K. introdujeron en común la teoría de un juego partisano, en el cual el requisito que un juego disponible para un jugador esté disponible para ambos es relaxed. Sus resultados fueron publicados de sus maneras que ganaban del libro para sus juegos matemáticos en 1982. Sin embargo, el primer libro publicado en el tema era de Conway en los números y los juegos, también conocidos como ONAG, que introdujo el concepto de los números surrealistas y la generalización a los juegos. El en los números y los juegos era también una fruta de la colaboración entre Berlekamp, Conway, y el individuo.

Juan Conway indica en ONAG que va la inspiración para la teoría de juegos partisanos fue basada en su observación del juego en los endgames de .

Ejemplos

Las maneras que ganaban del texto introductorio del introdujeron una gran cantidad de juegos, pero los siguientes fueron utilizados como ejemplos de la motivación para la teoría introductoria:
Azul-Rojo Hackenbush - en el nivel finito, este juego combinatorio partisano permite construcciones de los juegos cuyos valores son los números racionales de dos días en el nivel infinito, él permite que uno construya todos los valores verdaderos, así como muchos infinitos que bajan dentro de la clase de los números surrealistas .
Hackenbush Azul-Rojo-Verde - tiene en cuenta los valores adicionales del juego que no son números en el sentido tradicional, por ejemplo, estrella .
Domineering - los varios juegos interesantes, tales como juegos calientes aparecen en Domineering, debido al hecho de que hay a veces un incentivo a moverse, y a veces no. Esto permite la discusión de la temperatura de un juego.
Nim - un juego imparcial . Esto permite la construcción Nimbers (puede también ser visto como caja especial verde-solamente de Hackenbush Azul-Rojo-Verde.)

El clásico del juego va era influyente en la teoría del juego combinatoria temprana, y Berlekamp y Wolfe desarrollaron posteriormente una teoría de la temperatura del endgame y del para ella (véase las referencias). Armado con esto podían construir plausible van las posiciones del endgame de las cuales podrían dar a experto van los jugadores una opción de lados y después los derrotan cualquier manera.

Descripción

Un juego, en sus términos más simples, es una lista de " posible; moves" que dos jugadores, llamados dejado el y derecho, pueden hacer. La posición del juego que resulta de cualquier movimiento se puede considerar para ser otro juego. Esta idea de ver juegos en términos de sus movimientos posibles a otros juegos lleva a una definición matemática recurrente de juegos que sea estándar en teoría del juego combinatoria. En esta definición, cada juego tiene el de la notación {L|R} . $L$ es el determinado de las posiciones del juego las cuales el jugador izquierdo puede trasladarse, y $R$ es el sistema de las posiciones del juego las cuales el jugador adecuado puede trasladarse; cada posición en L y R se define como juego usar la misma notación.

Utilizar el Tic-tac-dedo del pie como ejemplo, etiquetar cada uno de las nueve cajas del tablero estándar del Tic-Tac-Dedo del pie de UL para el superior izquierdo, el cc para el centro del centro del, y el LR para la derecha más baja del (y así sucesivamente), y suponer que cada caja puede contener un símbolo de X o de O. XUL para colocarnos para la posición del juego en la cual un X se ha puesto en la caja superior izquierdo. Entonces, la posición inicial se puede describir en la notación combinatoria de la teoría del juego como

Definiciones formales

Un $\backslash \; un\; langle\; \backslash \; un\; mathcal\; de\; la\; estructura\; \{C\},\; L,\; R\; \backslash \; rangle$ se llama una colección del de los juegos si

$L:\backslash mathcal\; \{\}\; \backslash \; rightarrow\; 2^\; \backslash \; \{C\}$ mathcal de C

y

$R:\backslash mathcal\; \{\}\; \backslash \; rightarrow\; 2^\; \backslash \; \{C\}$ mathcal de C

donde está la energía $2^\; \backslash \; \{C\}$ mathcal determinado de $\backslash \; \{C\}\; de$ mathcal,

y

$\backslash \; forall\; G,\; H\; \backslash \; en\; \backslash \; mathcal\; \{\}\; \backslash ,\; de\; C\; R\; (G)=R\; (H)\; \backslash \; Rightarrow\; G=H.$

Porque $G$ es determinado únicamente por el $L\; (G)$ y $R\; (G)$, $G$ es a menudo $denotado\; \backslash \; \{L\; (G)\; \backslash ,|\backslash ,\; R\; (G)\; \backslash \}$.

Los elementos del $\backslash \; \{C\}\; de$ mathcal se llaman los juegos del y por la convención son denotados por el $G\; mayúsculo\; de\; las\; letras\; latinas,\; H,\; K,\dots$. Un juego representa una competencia entre dos jugadores dejado el convencionalmente nombrado y derecho (conocido a veces como el azul y rojo), y $H\; \backslash \; en\; L\; (G)$ (respectivamente el $H\; \backslash \; en\; R\; (G)$) significa que el izquierdo (respectivamente derecho) del jugador está permitido moverse desde el juego $G$ al juego $H$.

Definen binario relación, $\backslash \; mathrm\; \{\}\; \backslash ,\; de\; S$ (para el sucesor) entre el $G\; de\; los\; juegos,\; H\; \backslash \; en\; \backslash \; \{C\}$ mathcal cerca $G\; del$

l \ mathrm {S} H \; de si y solamente si $H\; de\; \backslash \; en\; L\; (G)\; \backslash \; taza\; R\; (G)$.

transitivo encierro de $\backslash \; mathrm\; \{S\}\; \backslash ,$ es denotado $\backslash \; mathrm\; \{\}\; \backslash ,\; de\; P$, para la posición. Decimos que $H$ es una posición del de $G$, $G\; denotado\; \backslash \; mathrm\; \{P\}\; H\; \backslash ,$, cuando es posible conseguir de $G$ a $H$ vía una secuencia no vacía de movimientos por dejado el y derecho, los jugadores no no necesario de alternancia. $\backslash \; mathcal\; \{C\}$ es llamado loopy si $\backslash \; existe\; G\; \backslash \; en\; \backslash \; mathcal\; \{\}\; \backslash ;\; de\; CG\; \backslash \; mathrm\; \{P\}\; G$; si no el $\backslash \; \{C\}$ mathcal es el nonloopy. Un $no-loopy\; de\; la\; colección\; \backslash \; \{C\}\; un$ mathcal es el fundamentado cuando no hay secuencia infinita $G\_0,\; G\_1,\; G\_2,\dots \; \backslash ,$ con el $\backslash \; el\; forall\; i\; \backslash \; GE\; 0\; \backslash ,\; G\_i\; \backslash \; el\; mathrm\; \{P\}\; G\_\; \{i+1\}$.

Si existe un elemento $0\; \backslash ,$ del $\backslash \; \{C\}\; de$ mathcal, con 0) 0) = \ emptyset, después de nosotros del =R del $L\; ((lo\; llaman\; el\; cero\; elemento\; .\; El\; elemento\; cero,\; si\; existe,\; es\; único.$

Si el $\backslash \; el\; langle\; \backslash \; mathcal\; \{C\},\; L,\; R\; \backslash \; rangle$ es una colección de juegos y de $G\_0\; \backslash \; en\; \backslash \; \{C\}$ mathcal entonces el juego $G\_0$ se puede “jugar” como sigue. El primer jugador, dice dejado, elige un elemento $G\_1\; \backslash \; en\; L\; (G\_0)$ (si existe uno). Entonces el derecho elige un elemento $G\_2\; \backslash \; en\; R\; (G\_1)$ (si existe uno). Entonces el izquierdo elige un elemento $G\_3\; \backslash \; en\; L\; (G\_2)$ y así sucesivamente. Si un jugador no puede entonces mover (es decir relevante $L\; (G\_i)\; \backslash ,$ o $R\; ()\; \backslash ,\; de\; G\_i\; el\; sistema\; de$ es vacío), por definición, a ese jugador pierde el juego. Juego $G\_0$ puede semejantemente estar jugado con el derecha como primer jugador por intercambiando papel de $L\; (G\_i)\; \backslash ,$ y $R\; ()\; \backslash ,\; de\; G\_i$.

Colecciones fundamentadas de juegos

Si el $\backslash \; \{C\}$ mathcal es el fundamentado, después contiene un elemento cero.

Dejar el $\backslash \; el\; \_\; mathcal\; \{C\}\; \{aleta\}$ sea la colección fundamentada más pequeño de juegos que contienen 0 y de tales que

para todo el fundamentado colección $\backslash \; mathcal\; \{L\},\; \backslash \; mathcal\; \{\}\; \backslash \; subconjunto\; \backslash \; de\; R\; \_\; mathcal\; \{C\}\; \{aleta\}$, existe $K\; \backslash \; en\; \backslash \; el\; \_\; mathcal\; \{C\}\; \{aleta\}$ tales que $L\; (K)=\; \backslash \; mathcal\; \{L\},\; R\; (K)=\; \backslash \; \{R\}$ mathcal.

Entonces todas las colecciones fundamentadas de juegos son el isomorfo a un subcollection del $\backslash \; del\; \_\; mathcal\; \{C\}\; \{aleta\}$. Podemos trabajar solamente con el $\backslash \; el\; \_\; mathcal\; \{C\}\; \{aleta\}$.

Definir a operador binario

$+:\backslash \; mathcal\; \_\; \{C\}\; \{aleta\}\; \backslash \; época\; \backslash \; mathcal\; \_\; \{C\}\; \{\}\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; de\; la\; aleta\; \_\; mathcal\; \{C\}\; \{aleta\}$

recurrentemente cerca $L\; del$

l (G+H)= (L (G)+H) \ taza (G+L (H)) y $R\; (G+H)=\; (R\; (G)+H)\; \backslash \; taza\; (G+R\; (H))$.

Esta definición de la adición del de juegos que (también llamado el la suma disyuntiva de los juegos) es el bien definido para los juegos fundamentados y ella es el comutativo. Intuitivo, uno debe pensar en el juego $G+H$ como consistir en los dos juegos $G$ y $H$ que son " jugado; " side-by-side;: Cada jugador alternadamente puede hacer un movimiento en $G$ o $H$, pero no ambos. El análisis de este operador es motivado por los juegos tales como va, los brotes, y Domineering, que partió en las piezas que son independientes excepto en que un jugador puede moverse en solamente una porción por vuelta.

El negativo de un juego se define recurrentemente como sigue: $del$

l \ forall G \ en \ _ mathcal {C} {aleta}: L (- G) = \ {- K: K \ en R (G) \} \ = \ {de la tierra R (- G) - K: K \ en L (G) \} .

Esta definición está semejantemente bien definida. Intuitivo, $-G$ es apenas " G con el dejó y el reversed" correcto de ;.

Definir un determinado de $P\_L\; de\; los\; juegos\; \backslash \; de\; subconjunto\; \backslash \; del\; \_\; mathcal\; \{C\}\; \{aleta\}$ recurrentemente como sigue: $G\; del$

l \ en de P_L si y solamente si $de\; \backslash \; forall\; H\; \backslash \; en\; L\; (G):\; -\; H\; \backslash \; notin\; P\_L$.

Un jugador pierde exacto cuando funcionan de movimientos. La definición antedicha caracteriza juegos tales que con el dejó al movimiento, no importa qué lo hace el izquierdo, que derecho puede responder de modo que el izquierdo funcione eventual de movimientos. Uno pudo llamarlos " dejado a jugar y lose" juegos.

Uno puede definir semejantemente $P\_R$, y observamos ese = \ {del $P\_R\; -\; G:\; G\; \backslash \; en\; P\_L\; \backslash \}$. Después, definir $P\; del$

l = P_L \ casquillo P_R.

$P$ es el sistema de segundo-jugador-gana juegos de (quienquiera se mueve primero, el segundo jugador puede forzar un triunfo). Un ejercicio útil a este punto es demostrar ese $\backslash \; forall\; G\; \backslash \; en\; \backslash \; el\; \_\; mathcal\; \{C\}\; \{aleta\}:\; G\; +\; (-)\; \backslash \; en\; de\; G\; P$. Esta observación motiva el siguiente:

Definen relación $\backslash \; simeq$ por $G\; \backslash \; simeq\; H$ si y solamente si $G+\; (-)\; \backslash \; en\; de\; H\; P$. Esto es una relación de equivalencia ; y respeta la adición y las operaciones negativas. Por lo tanto, las operaciones + y - se pueden definir en el cociente determinado definido por el $\backslash \; simeq$ de la relación de equivalencia . Finalmente uno puede demostrar que la adición es una operación del grupo abeliano .

Nimbers

Un juego imparcial es uno donde, en cada posición del juego, están disponibles los mismos movimientos para ambos jugadores. Por ejemplo, el Nim es imparcial, como fijado de los objetos que se pueden quitar por un jugador puede ser quitado por el otro. Sin embargo, el Tic-tac-dedo del pie no es imparcial, porque un movimiento de un jugador deja una diversa posición que un movimiento al mismo cuadrado del otro jugador. Para cualquier número ordinal, uno puede definir un juego imparcial que generaliza Nim en el cual, en cada movimiento, cualquier jugador pueda substituir el número por cualquier número ordinal más pequeño; los juegos definidos de esta manera se conocen como Nimbers que el teorema de Sprague-Grundy indica que cada juego imparcial es el $\backslash \; simeq$-equivalent a un nimber.

Ver también

Número surrealista
Juego cero
Juego borroso
Estrella (juego)
Complejidad del juego
Connect6
El va (juego de mesa)
Ajedrez
Zugzwang

.

Zenithic

Cristina Eustace

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