La teoría determinada de Zermelo del, según lo precisado en un papel importante en 1908 por el Ernst Zermelo, es el antepasado de la teoría determinada moderno. Lleva ciertas diferencias de sus descendientes, que no se entienden siempre, y se cita erroneamente con frecuencia. Este artículo precisó los axiomas originales, con el texto original (traducido a inglés) y la enumeración original.

Los axiomas de la teoría determinada de Zermelo

l del " del extensionality (der Bestimmtheit del axioma del ); Si cada elemento de un M del sistema es también un elemento del N y viceversa… entonces el M = el N . Breve, cada sistema es determinado por su elements". Axioma del AXIOMA II. " elemental de los sistemas (der Elementarmengen del axioma del ); Existe a (ficticia) fija, el sistema nulo, el ∅, que no contiene ningún elemento en absoluto. Si el un es algún objeto del dominio, existe un sistema { un } que contiene el un y solamente el un como elemento. Si el un y el b son algunos dos objetos del dominio, existe siempre un sistema { un, b } conteniendo como de los elementos un y el b pero ningún x del objeto distinto de ellos both." Ver el axioma de los pares . Axioma del AXIOMA III. " de la separación (der Aussonderung del axioma del ); Siempre que el &ndash de la función proposicional; ( x ) es definido para todos los elementos de un M, M del sistema posee un nbsp del M'& del del subconjunto; que contiene como elementos exacto el x de esos elementos del M para el cual – ( x ) es el true". Axioma del AXIOMA IV. " determinado de la energía (der Potenzmenge del axioma del ); A cada T del sistema corresponde un nbsp del T'& del del sistema;, la energía determinado T, que contiene como elementos exacto todos los subconjuntos de " del T ;. " de la unión (der Vereinigung del axioma del ); A cada T del sistema corresponde un ∪T, la unión del del sistema del T, que contiene como elementos exacto todos los elementos de los elementos del " del T ;. Axioma del AXIOMA VI. del
de la opción (der Auswahl del axioma del ): " Si el T es un sistema cuyos elementos todos son los sistemas que son diferentes de ∅ y mutuamente desunen, su ∪T del de la unión incluye por lo menos un S ₁ que tiene uno y solamente un elemento del subconjunto en común con cada elemento del " del T ;. Axioma del AXIOMA VII. " del infinito (DES Unendlichen del axioma del ); Existe en el dominio por lo menos un determinado Z que contenga el sistema nulo como elemento y sea así que constituyó eso a cada uno de su de los elementos que corresponde un allí otro elemento de la forma { un }, es decir eso con cada uno de su de los elementos un también contiene el sistema correspondiente { un } como element".

Conexión con teoría determinada estándar

El estándar aceptado para la teoría determinada es la teoría determinada de Zermelo-Fraenkel. Los acoplamientos demuestran donde corresponden los axiomas de la teoría de Zermelo. No hay exacto - emparejar para el " sets" elemental;. (Era más adelante demostrado que el sistema del singleton podría ser derivado de qué ahora se llama " Axioma del pairs". Si existe el un, el un y el un existen, así { un, un } existe. Por el extensionality { un, un } = { un }.) El axioma del sistema vacío es asumido ya por el axioma del infinito, y ahora incluido como parte de él.

Los axiomas no incluyen el axioma de la regularidad y el axioma del reemplazo . Éstos fueron agregados como resultado de trabajo por el Thoralf Skolem en el 1922, basado en trabajo anterior por el Adolfo Fraenkel en el mismo año.

En el sistema moderno de ZFC, el " function" proposicional; mencionado en el axioma de la separación se interpreta como " cualquie característica definible por una primera fórmula de la orden con el parameters". La noción del " primer formula" de la orden; no era sabido en 1904 en que Zermelo publicó su sistema del axioma, y él rechazó más adelante esta interpretación como siendo demasiado restrictivo.

En el acumulativo V _α de la teoría determinada de ZFC (para el α de los ordinales), cualquie de la jerarquía generalmente de los sistemas El V _α para el α un más grande ordinal del límite que el primer ω ordinal infinito forma un modelo de la teoría determinada de Zermelo. La consistencia de la teoría determinada de Zermelo es tan un teorema de la teoría determinada de ZFC. Los axiomas de Zermelo no implican la existencia de muchos cardenales infinitos.

El axioma del infinito generalmente ahora se modifica para afirmar la existencia del primer infinito $ordinal\; \backslash \; omega$ de von Neumann; es interesante observar que el Zermelo original los axiomas no pueden probar la existencia de este sistema, ni pueden los axiomas modificados de Zermelo probar Zermelo axioma del infinito. Los axiomas de Zermelo (originales o modificados) no pueden probar la existencia del $V\_\; \{\backslash \; Omega\}$ como sistema ni de ninguna fila de la jerarquía acumulativa de sistemas con índice infinito.

La puntería del papel de Zermelo

La introducción indica que la misma existencia de la disciplina del " de la teoría determinada; parece ser amenazado por ciertas contradicciones o " antinomies", eso se puede derivar de su &ndash de los principios; los principios que gobiernan necesario nuestro pensamiento, parece – y a cuál no hay found" solución enteramente satisfactoria todavía;. Zermelo por supuesto está refiriendo al " " de la antinomia de Russell;.

Él dice que él quiere demostrar cómo la teoría original del chantre y Dedekind se puede reducir a algunas definiciones y siete principios o axiomas. Él dice que él tiene no podido probar que los axiomas son constantes.

El axioma de la separación

Comentarios de Zermelo que el axioma III de su sistema es el que está responsable de eliminar las antinomias. Diferencia de la definición original de Cantor, como sigue.

Los sistemas no se pueden definir independiente por ninguna noción lógicamente definible arbitraria. Deben ser separados como subconjuntos de " de los sistemas ya; given". Esto, él dice, elimina ideas contradictorias como " el sistema de todo el sets" o " el sistema de todo el numbers" ordinal;.

Él dispone de la paradoja de Russell por medio de un teorema. " Cada sistema $M$ posee por lo menos un subconjunto $M\_0$ que no sea un elemento del " del M ;. Dejar $M\_0$ ser el subconjunto de $M$ para el cual, por AXIOM III, sea separado hacia fuera por el " de la noción; $x\; \backslash \; notin\; x$". Entonces $M\_0$ no puede estar en $M$. Para

si $M\_0$ está en $M\_0$, después $M\_0$ contiene un x del elemento para el cual el x esté en el x (es decir $M\_0$ sí mismo), que contradiría la definición de $M\_0$.