En la discusión de las fundaciones de las matemáticas, se han desarrollado varias teorías determinadas, cuyo la teoría determinada ingenua es uno. El contenido informal de esta teoría determinada ingenua del apoya ambos los aspectos del familiar matemático de los sistemas en las matemáticas discretas (por ejemplo el Venn diagrams y el razonamiento simbólico sobre su álgebra boleana ), y el uso diario de los conceptos de la teoría determinada en la mayoría de las matemáticas contemporáneas.

Los sistemas son de gran importancia en las matemáticas ; de hecho, en tratamientos formales modernos, la mayoría de los objetos matemáticos (el numera las funciones etc. de las relaciones del ) se definen en términos de sistemas. La teoría determinada ingenua se puede considerar como escalón a tratamientos más formales, y es suficiente para muchos propósitos.

Requisitos

Una teoría ingenua es una teoría no-formalizada, es decir una teoría que utiliza un de lenguaje natural para hablar de sistemas. El y el, o, de las palabras si… entonces, no, para algún, para cada no están conforme a la definición rigurosa. Es útil estudiar sistemas ingenuo en un primero tiempo de las matemáticas para desarrollar la facilidad para trabajar con ellos. Además, un asimiento firme de los conceptos teóricos del sistema de un punto de vista ingenuo es importante como primera fase en la comprensión de la motivación para los axiomas formales de la teoría determinada.

Este artículo desarrolla una teoría ingenua. Los sistemas se definen informal y algunas de sus características se investigan. Los acoplamientos en este artículo a los axiomas específicos de la teoría determinada precisan algunas de las relaciones entre la discusión informal aquí y la axiomatización formal de la teoría determinada, pero no se hace ninguna tentativa de justificar cada declaración sobre tal base. El primer desarrollo de la teoría determinada era una teoría determinada ingenua. Fue creado en el final del siglo XIX por el chantre de Jorge para permitir que los matemáticos trabajen con los sistemas infinitos constantemente.

Como resultó, si se asume que uno podría realizar cualquier operación en sistemas sin la restricción llevada a las paradojas tal como paradoja de Russell o paradoja de la baya. En respuesta, la teoría determinada axiomática fue desarrollada para determinar exacto lo que fueron admitidas las operaciones y cuando. Hoy, cuando los matemáticos hablan del " fijar el theory" como campo, significan generalmente teoría determinada axiomática. Los usos informales de la teoría determinada en otros campos se refieren a veces como usos del " theory" ingenuo del sistema;, pero se entienden generalmente para ser justificable en términos de sistema axiomático (normalmente la teoría determinada de Zermelo-Fraenkel). Algunos creen que teoría determinada de s del chantre Jorge la 'no fue implicada realmente en las paradojas (ésta es una cuestión que continúa siendo discutida). Él era consciente de algunos de ellos y no aparecía creer que desacreditaron su teoría. Es duro estar seguro de esto porque él no dio una axiomatización. El Frege axiomatize explícitamente una teoría, en la cual la versión formalizada de la teoría determinada ingenua puede ser interpretada, y es esta teoría formal que el Bertrand Russell realmente trató cuándo él presentó su paradoja.

Éstos intentan temprano por lo tanto llevado a la inconsistencia. Una teoría determinada ingenua no es necesario contraria, si especifica correctamente los sistemas permitidos ser considerado. Esto se puede hacer por los medios de las definiciones, que son axiomas implícitos. Puede ser hecha sistemáticamente haciendo explícita todos los axiomas, como en el caso de la teoría determinada ingenua del bien conocido del libro por el Paul Halmos, que es realmente presentación informal de a algo (no todo el que) de la teoría determinada de Zermelo-Fraenkel axiomático generalmente. Es “ingenuo” en que la lengua y las notaciones son las de las matemáticas informales ordinarias, y en que no se ocupa de consistencia o de lo completo del sistema del axioma.

Sistemas, calidad de miembro e igualdad

En teoría determinada ingenua, un determinado se describe como colección bien definida de objetos. Estos objetos se llaman los elementos o los miembros del sistema. Los objetos pueden ser cualquier cosa: los números, gente, otra fijan, etc. por ejemplo, 4 son un miembro del sistema de todos los incluso números enteros claramente, el sistema de números pares son infinitamente grandes; no hay requisito ese un sistema esté finito.

Si el x es un miembro del A, después también se dice que el del x pertenece al A de, o que el x está en el A . En este caso, escribimos el   del x ; ∈   A . (El &isin del símbolo; es una derivación griego épsilon, " de la letra ; ε ", introducido por el Peano en 1888.) El ¬in del símbolo; se utiliza a veces para escribir el   del x ; ∉   A, significando el " x no está en A".

El A de dos sistemas y el B se definen para ser el igual del cuando tienen exacto los mismos elementos, es decir, si cada elemento del A es un elemento del B y cada elemento del B es un elemento del A . (Véase el axioma del extensionality .) Así un sistema es determinado totalmente por sus elementos; la descripción es inmaterial. Por ejemplo, el sistema con los elementos 2, 3, y 5 es igual al sistema de todos los números primeros menos de 6. Si el A de los sistemas y el B son iguales, esto se denota simbólicamente como   del A ; =  B (como de costumbre).

También tenemos en cuenta un sistema vacío, Ø a menudo denotado y a veces $\backslash \; \{\backslash \}$ del : un sistema sin cuaesquiera miembros en absoluto. Puesto que un sistema es determinado totalmente por sus elementos, puede solamente haber un sistema vacío. (Véase el axioma del sistema vacío .) Observa ese $\backslash \; vacia\; \backslash \; ne\; \backslash \; \{0\; \backslash \}\; \backslash \; ne\; \backslash \; \{\backslash \; vaciar\; \backslash \}$.

Especificar sistemas

La manera más simple de describir un sistema es enumerar sus elementos entre los apoyos rizados (conocidos como definición de un extensionally del sistema).2} denota el sistema cuyos únicos elementos son 1 y 2. (Véase el axioma de aparear .) Observar los puntos siguientes:
La pedido de elementos es inmaterial; por ejemplo, {1.
La repetición (multiplicidad ) de elementos es inaplicable; por ejemplo, {1. (Éstas son consecuencias de la definición de la igualdad en la sección anterior.)

Esta notación puede ser abusada informal diciendo algo como {los perros} indicar el sistema de todos los perros, pero este ejemplo sería leído generalmente por los matemáticos como " el sistema que contiene el solo del elemento persigue el " de ;.

Un ejemplo extremo (pero correcto) de esta notación es {}, que denota el sistema vacío.

Podemos también utilizar la notación {  del x ;:   P ( x )}, o a veces {  del x ; |  P ( x )}, para denotar el sistema que contiene todos los objetos para los cuales el P de la condición se sostiene (conocido como definición de un intensionally del sistema). Por ejemplo, {  del x ;:   del x ; es un número verdadero} denota el sistema de los números verdaderos {  x ;:   del x ; tiene pelo rubio} denota el sistema todo con el pelo rubio, y {  del x ;:   del x ; es un perro} denota el sistema de todos los perros.

Esta notación se llama la notación del Fijar-constructor (o " " determinado de la comprensión ;, particularmente en el contexto de la programación funcional ). Algunas variantes de la notación del constructor del sistema son:
{  del x ; ∈     del A ;: P ( x )} denota el sistema de todo el del x que es ya miembros de A tales que el P de la condición se sostiene para el x . Por ejemplo, si el Z es el sistema de los números enteros entonces {  del x ; ∈     del Z ;:   del x ; is  incluso} está el sistema de todos los números enteros incluso . (Véase el axioma de la especificación .)
  {del F ( x );:   del x ; ∈   El A } denota el sistema de todos los objetos obtenidos poniendo a miembros del A del sistema en el F de la fórmula. Por ejemplo, {2   del x ;:   del x ; ∈   El Z } es otra vez el sistema de todos los incluso números enteros. (Véase el axioma del reemplazo .)
  {del F ( x );: P ( x )} es la forma más general de notación del constructor del sistema. Por ejemplo, {s  del x del ; owner :   del x ; es un perro} es el sistema de todos los dueños del perro.

Subconjuntos

El dado A de dos sistemas y el B decimos que el A es un subconjunto del del B si cada elemento del A es también un elemento del B . Notar eso particularmente, el B es un subconjunto de sí mismo; un subconjunto de B que no sea igual al B se llama un subconjunto apropiado .

Si el A es un subconjunto del B, después uno puede también decir que el B es un sobreconjunto del A, que el A es contenido en el B de, o que el del B contiene el A de . En símbolos,   del A ; ⊆   El B significa que el A es un subconjunto del B, y   del B ; ⊇   El A significa que el B es un sobreconjunto del A . Algunos autores utilizan el " de los símbolos; ⊂ " y " ⊃ " para los subconjuntos, y otros utilizar estos símbolos solamente para los subconjuntos apropiados del . Para mayor clareza, uno puede utilizar explícitamente el " de los símbolos; $\backslash \; subsetneq$" y " $\backslash \; supsetneq$" para indicar desigualdad. En esta enciclopedia, " ⊆ " y " ⊇ " se utilizan para los subconjuntos mientras que " ⊂ " y " ⊃ " ser reservado para los subconjuntos apropiados.

Como ilustración, dejar el R ser el sistema de números verdaderos, dejar el Z ser el sistema de números enteros, dejar el O ser el sistema de números enteros impares, y dejar el P ser el sistema de los presidentes actuales o anteriores de los E. Entonces el O es un subconjunto del Z, el Z es un subconjunto del R, y (por lo tanto) el O es un subconjunto del R, donde en todo el subconjunto del de los casos se puede incluso leer como subconjunto apropiado del . Observar que no todos los sistemas son comparables de esta manera. Por ejemplo, no es el caso que cualquier ese R es un subconjunto del P ni ese P es un subconjunto del R .

Sigue inmediatamente de la definición de la igualdad de sistemas sobre eso, dada el A de dos sistemas y el B,   del A ; =    del A del Iff B ; ⊆     del B y del B ; ⊆   A . De hecho esto se da a menudo como la definición de la igualdad. Generalmente al intentar al probar que dos sistemas son iguales, uno apunta demostrar estas dos inclusiones. Observar que el sistema vacío es un subconjunto de cada sistema (la declaración que todos los elementos del sistema vacío son también miembros de cualquier A del sistema es el vacuo verdadero).

El sistema de todos los subconjuntos de un determinado dado A se llama la energía determinado del del A y es denotado por $2^A$ o el $P\; (A)$; el " " del P ; está a veces en una fuente de lujo. Si el A del sistema tiene elementos del n, después $P\; (A)$ tendrá elementos de $2^n$.

Sistemas universales y complementos absolutos

En ciertos contextos podemos considerar todos los sistemas considerados como siendo subconjuntos de un cierto dado el sistema universal . Por ejemplo, si estamos investigando las características del R de los números verdaderos (y de los subconjuntos del R ), después nosotros puede tomar el R como nuestro sistema universal. Un sistema universal es definido solamente temporalmente por el contexto; no hay cosa tal como un " universal" sistema universal, " el sistema de everything" (véase las paradojas del abajo).

Dado un U del sistema universal y un A del subconjunto del U, podemos definir el complemento del del A (en el U ) como A ^C  del ;: = {  del x ; ∈     del U ;:   del x ; ∉   A }. Es decir A ^C (" " del Uno-complemento del ; ; a veces simplemente A, " " Uno-primero del ; ) es el sistema de todos los miembros del U que no sean miembros del A . Así con el R, el Z y el O definido como en la sección en subconjuntos, si el Z es el sistema universal, después el O^C está el sistema incluso de números enteros, mientras que si el R es el sistema universal, después el O^C es el sistema de todos los números verdaderos que sean incluso números enteros o no números enteros en absoluto.

Uniones, intersecciones, y complementos relativos

El dado A de dos sistemas y el B, podemos construir su unión del . Éste es el sistema que consiste en todos los objetos que sean elementos del A o del B o de ambos (véase el axioma de la unión ). Es denotado por el   del A ; ∪   B .

La intersección del del A y del B es el sistema de todos los objetos que estén en el A y en el B . Es denotada por el   del A ; ∩   B .

Finalmente, el complemento relativo del del en relación con A del B, también sabido pues la diferencia teórica determinada del A y del B, es el sistema de todos los objetos que pertenezcan al A pero al no al B . Se escribe como   del A ; \     del B o del A ; −   B . Simbólicamente, éstos son respectivamente   del A del ; ∪   B : = {  del x ;: (  del x ; ∈     del A ); o (  del x ; ∈   B )};   del A del
; ∩     del B ;: = {  del x ;: (  del x ; ∈     del A ); y (  del x ; ∈   B )}  = {  del x ; ∈     del A ;:   del x ; ∈     del B }; = {  del x ; ∈     del B ;:   del x ; ∈   A };   del A del
; \     del B ;: = {  del x ;: (  del x ; ∈     del A ); and  no (  del x ; ∈     del B )}; = {  del x ; ∈     del A ;: no (  del x ; ∈   B )}.

Notar que el A no tiene que ser un subconjunto del B para el   del B ; \   A para tener sentido; ésta es la diferencia entre el complemento relativo y el complemento absoluto de la sección anterior.

Para ilustrar estas ideas, dejar el A ser el sistema de gente zurda, y dejar el B ser el sistema de gente con el pelo rubio. Entonces   del A ; ∩   El B es el sistema de toda la gente blond-haired zurda, mientras que   del A ; ∪   El B es el sistema de toda la gente que sea zurda o blond-haired o ambas.   del A ; \   El B, por una parte, es el sistema de toda la gente que sea zurda pero no blond-haired, mientras que   del B ; \   El A es el sistema de toda la gente que tenga pelo rubio pero no es zurdo.

Ahora dejar el E ser el sistema de todos los seres humanos, y dejar el F ser el sistema de todas las cosas vivas durante 1000 años. Cuál es   del E ; ∩   ¿ F en este caso? No hay ser humano durante 1000 años, tan   del E ; ∩   El F debe ser el sistema vacío {}.

Para cualquie A, el $P\; determinado\; delsistema\; de\; la\; energía(A)$ es una álgebra boleana bajo operaciones de la unión y de la intersección.

Pares pedidos y productos de cartesiano

Intuitivo, un del pidió los pares es simplemente una colección de dos objetos tales que uno se puede distinguir como el primer elemento y el otro del como el elemento del segundo, y teniendo la característica fundamental que, dos pidió pares ser igual si y solamente si son sus primeros elementos del igual y sus elementos del segundos que son iguales.

Formalmente, un par pedido con el primero coordina el de un, y el en segundo lugar coordinado b del, denotado generalmente cerca ( un, el b ), se define como el sistema.

Sigue ese, dos pidieron los pares ( un, b ) y (el c, el d ) es igual si y solamente si el un   de ; =    del c y del b ; =  d .

Alternativo, un par pedido se puede pensar formalmente en como sistema {a, b} con una orden del total.

(La notación ( un, b ) también se utiliza para denotar un intervalo abierto en la línea de número verdadero, pero el contexto debe hacerlo claro que el significado se piense. Si no, el de la notación] un, b se puede utilizar para denotar el intervalo abierto mientras que ('' a '', '' b '') se utiliza para los pares pedidos).

Si el A y el B es sistemas, después el producto de cartesiano del (o simplemente el producto ) se define para ser:   del A del ; ×   del B ; = {( un, b )  : el un está en el A y el b está en el B }. Es decir,   del A ; ×   El B es el sistema de todos los pares pedidos cuyo primer coordenada sea un elemento del A y cuyo en segundo lugar coordinado sea un elemento del B .

Podemos ampliar esta definición a un   del A del sistema; ×     del B ; ×   C de triples pedidos, y más generalmente a los sistemas de los N-tuples pedidos para cualquie positivo n del número entero. Es incluso posible definir los productos de cartesiano infinitos pero hacer esto necesitamos una definición más recóndita del producto.

Los productos de cartesiano primero fueron desarrollados por el René Descartes en el contexto de la geometría analítica . Si el R denota el sistema de todo el R ²  de los números verdaderos entonces;: =    del R ; ×   El R representa el plano euclidiano y el R ³ : =    del R ; ×     del R ; ×   El R representa el espacio euclidiano tridimensional.

Algunos sistemas importantes

Note: En esta sección, el un, el b, y el c son los números naturales y r y s son de los números verdaderos Los números naturales se utilizan para contar. Un capital en negrilla N ($\backslash \; mathbb\; \{N\}$) de la pizarra representa a menudo este sistema.

Los números enteros aparecen como soluciones para el x en ecuaciones como el x + = el b . Un capital en negrilla Z ($\backslash \; mathbb\; \{Z\}$) de la pizarra representa a menudo este sistema (del alemán Zahlen, significando el numera ).

Los números racionales aparecen como soluciones a las ecuaciones como el + bx del = el c . Un capital en negrilla Q ($\backslash \; mathbb\; \{Q\}$) de la pizarra representa a menudo este sistema (para el cociente, porque R se utiliza para el sistema de números verdaderos).

Los números algébricos aparecen como soluciones a las ecuaciones polinómicas (con coeficientes del número entero) y pueden implicar los radicales y cierto otro capital en negrilla A ($\backslash \; mathbb\; \{A\}$) de la pizarra de los números irracionales A o un Q con un overline ($\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$) representa a menudo este sistema. El overline denota la operación del encierro algebraico .

Los números verdaderos representan el " line" verdadero; e incluir todos los números que se puedan aproximar por números racionales. Estos números pueden ser racionales o algebraicos pero pueden también ser los números trascendentales que no pueden aparecer como soluciones a las ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales. Un capital en negrilla R ($\backslash \; mathbb\; \{R\}$) de la pizarra representa a menudo este sistema.

Los números complejos son sumas de un número verdadero e imaginario: r + s i. Aquí el r y el s pueden igualar cero; así, el sistema de números verdaderos y el sistema de números imaginarios son subconjuntos del sistema de los números complejos, que forman un encierro algebraico para el sistema de números verdaderos, significando que cada polinomio con coeficientes en el $\backslash \; el\; mathbb\; \{R\}$ tiene por lo menos una raíz en este sistema. Un capital en negrilla C ($\backslash \; mathbb\; \{C\}$) de la pizarra representa a menudo este sistema. Observar que puesto que un r del número + el s yo se puede identificar con un punto ( r, s ) en el plano, el C es básicamente " el same" como el R (" del × del R del producto de cartesiano; el same" significando que cualquier punto en uno determina un punto único en el otro y para el resultado de cálculos no importa cuál se utiliza para el cálculo).

Paradojas

Nos referimos anterior a la necesidad de un acercamiento formal, axiomático. ¿Qué problemas se presentan en el tratamiento que hemos dado? Los problemas se relacionan con la formación de sistemas. Su primera intuición pudo ser que podemos formar cualesquiera sistemas que queramos, pero esta visión lleva a las inconsistencias. Cualquier x del sistema podemos preguntar si el x es un miembro de sí mismo. Definir el   del Z del ; = {  del x ;: el x no es un miembro del x }. Ahora para el problema: ¿es el Z un miembro del Z ? Si sí, entonces por la calidad de definición del Z, Z no es un miembro de sí mismo, es decir, el Z no es un miembro del Z . Esto nos fuerza a declarar que el Z no es un miembro del Z . Entonces el Z no es un miembro de sí mismo y por eso, otra vez por la definición del Z, Z está un miembro del Z . Así ambas opciones nos llevan a una contradicción y tenemos una teoría contraria. Más sucinto, uno dice que el Z es un miembro del Z si y solamente si el Z no es un miembro del Z . Las restricciones axiomáticas del lugar de los progresos en la clase de sistemas a nos se permite formar y evitar así que los problemas como nuestro Z del sistema se presenten. Esta paradoja particular es la paradoja de Russell.

La pena es que una debe tomar más cuidado con su desarrollo, como uno debe en cualquier discusión matemática rigurosa. Particularmente, es problemática hablar de un sistema todo, o ser (posiblemente) un poco menos ambiciosa, incluso un fijado de todos los sistemas . De hecho, en la axiomatización estándar de la teoría determinada, no hay sistema de todos los sistemas. En las áreas de las matemáticas que parecen requerir un sistema de todos los sistemas (tales como teoría de la categoría), uno puede conformarse con a veces un sistema universal tan grande que todas las matemáticas ordinarias se pueden hacer dentro de ellos (véase el universo ). Alternativo, uno puede hacer uso de las clases apropiadas O, uno puede utilizar una diversa axiomatización de la teoría determinada, tal como fundaciones de s de Quine V. las 'nuevas, que tiene en cuenta un sistema de todos los sistemas y evita la paradoja de Russell de otra manera. La resolución exacta empleada diferencia raramente último.

Ver también

Álgebra de los sistemas
Teoría determinada axiomática
Teoría determinada interna
Teoría determinada
determinado
El pidió parcialmente determinado
: Categoría: Paradojas de la teoría determinada ingenua

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Zenithic

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