En las matemáticas, un T de la transformación Medida-que preserva en un espacio de probabilidad reputa ergódico si el inferior invariante mensurable T de los sistemas del único tiene medida 0 o 1. Un más viejo término para esta característica era el métrico transitivo. La teoría ergódica, el estudio del de transformaciones ergódicas, creció fuera de una tentativa al prueba la hipótesis ergódica de la física estadística . Mucha de las primeras obras en qué ahora se llaman la teoría del caos fue perseguida casi enteramente por los matemáticos, y publicada bajo título del " theory" ergódico;, como el " del término; theory" del caos; no fue introducido hasta el último trimestre del vigésimo siglo.

Menos formalmente, la teoría ergódica está generalmente sobre qué sucede en los sistemas dinámicos cuando él se permite funcionar por largos periodos del tiempo. Las cadenas de Markov son un contexto particularmente simple y común para los usos.

Transformación ergódica

Dejar el $T:\; X\; \backslash \; a\; X$ sea una transformación Medida-que preserva en un $delespaciode\; medida\; (,\; \backslash \; MU\; de\; X,\; \backslash \; de\; la\; sigma)$. Un A del elemento del $\backslash \; Sigma$ es el T - invariante si el A diferencia del $T^\; \{-\; 1\}\; (A)$ por un sistema de la medida cero, es decir si el $del\; \backslash \; MU\; (A\; \backslash \; bigtriangleup\; T^\; \{-\; 1\}\; (a))\; =0$ donde el $A\; \backslash \; el\; bigtriangleup\; B$ denota la diferencia simétrica fijar-teórico del A y del B .

El T de la transformación reputa el ergódico si para cada T - el invariante A del elemento del $\backslash \; Sigma$, el A o el X \ A tiene medida cero.

Las transformaciones ergódicas capturan un fenómeno muy común en la física estadística . Por ejemplo, si uno piensa en el espacio de medida mientras que un modelo para las partículas de un poco de gas contenido en un recipiente limitado, con el X que es un sistema finito de las posiciones que las partículas llenan en cualquier momento y el $\backslash \; mu$ la medida de cuenta en el X, y si el T ( x ) es la posición del x de la partícula después de una unidad de tiempo, después la aserción que el T es ergódico significa que cualquier parte del gas que no es vacío ni del recipiente entero está mezclada con su complemento durante una unidad de tiempo. Esto es por supuesto una asunción razonable desde un punto de vista físico.

Teorema ergódico (individuo o Birkhoff)

Dejar el $T:\; X\; \backslash \; a\; X$ sea una transformación Medida-que preserva en un $del\; espacio\; de\; medida\; (,\; \backslash \; MU\; de\; X,\; \backslash \; de\; la\; sigma)$. Uno puede entonces considerar el " average" del tiempo; de un Well-behaved f de la función (más exacto, el f debe ser el '' L '' ¹-integrable con respecto al $\backslash \; mu$, es decir $f\; de\; lamedida\backslash \; en\; L^1\; (\backslash \; MU)$). El " average" del tiempo; se define como el promedio (si existe) sobre iteraciones del T a partir de un cierto x del punto inicial.

$\backslash sombrerof\; (x)\; =\; \backslash \; lim\_\; \{n\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \}\; infty\; \backslash ;\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\; \backslash \; ^\; del\; sum\_\; \{k=0\}\; \{n-1\}\; f\; \backslash \; (T^k\; x\; \backslash \; derecho)$ dejado

Si $\backslash \; MU\; (X)$ es finito y diferente a cero, podemos considerar el " average" del espacio; o " average" de la fase; del f, definido como

$\backslash \; barra\; f\; =\; \backslash \; frac\; 1\; \{\backslash \; MU\; (X)\}\; \backslash \; internacional\; f\; \backslash ,\; d\; \backslash \; MU$.

En general el promedio del tiempo y el promedio del espacio pueden ser diferentes. Pero si la transformación es ergódica, y la medida es invariante, después el promedio del tiempo es igual al medio casi por todas partes del espacio. Éste es el teorema ergódico celebrado, en una forma abstracta debido al George David Birkhoff . (Realmente, el papel de Birkhoff considera no el caso general abstracto sino solamente la caja de sistemas dinámicos que se presentan de ecuaciones diferenciales en un múltiple liso.) El teorema de la equidistribución es un caso especial del teorema ergódico, ocupándose específicamente de la distribución de probabilidades en el intervalo de unidad.

Más exacto, el pointwise o el teorema ergódico fuerte indica que converge el promedio del tiempo del f casi por todas partes y que existe a $f^*\; del$

l \ en L^1 (\ MU)

tales que $f^*(x)=\; del$

l \ sombrero {f} (x)

para casi todo el $x\; \backslash \; en\; X$. Además, $f^*$ es el T - invariante, de modo que $f^*\; del$

l \ circ T=f^*

casi por todas partes, y si $\backslash \; MU\; (X)$ es finito, después la normalización es igual: f^* del $\backslash \; internacional\; del$

l \, d \ MU = \ internacional f \, d \ mu.

Generalmente si el T es ergódico y si $f^*$ es el T - invariante, $f^*$ es constante casi por todas partes, y así que uno tiene eso $\backslash \; barra\; del$

l f = f^*

casi por todas partes. Ensamblar el primer a la demanda pasada y si se asume que $\backslash \; MU\; (X)$ es finito y diferente a cero, uno tiene eso

$\backslash \; lim\_\; \{n\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \}\; infty\; \backslash ;\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\; \backslash \; sum\_\; \{k=0\}\; ^\; \{n-1\}\; f\; \backslash \; se\; fue\; (T^k\; x\; \backslash \; derecho)\; =\; \backslash \; frac\; 1\; \{\backslash \; MU\; (X)\}\; \backslash \; internacional\; f\; \backslash ,\; d\; \backslash \; MU$

para el casi todo el x de, es decir, para todo el x a excepción de un sistema de la medida cero.

Para una transformación ergódica, el promedio del tiempo iguala el promedio del espacio casi seguramente.

Como ejemplo, asumir que el $del\; espacio\; de\; medida\; (,\; \backslash \; MU\; de\; X,\; \backslash \; de\; la\; sigma)$ modela las partículas de un gas como arriba, y dejar el f ( x ) denota la velocidad de la partícula en el x de la posición. Entonces los teoremas ergódicos del pointwise dicen que la velocidad media de todas las partículas en una cierta hora dada es igual a la velocidad media de una partícula en un cierto plazo.

Teorema ergódico malo (teorema ergódico de Von Neumann)

Desde punto de vista del análisis funcional

Dejar $U$ ser un operador unitario en un espacio de Hilbert $H$. Dejar $P$ ser la proyección ortogonal sobre

{$\backslash \; PSI\; |\; \backslash \; PSI\; \backslash \; en\; H,\; U\; \backslash \; el\; psi=\; \backslash \; psi$}.

Entonces para cualquie $f\; \backslash \; en\; H$,

$\backslash \; lim\_\; \{N\; \backslash \; \backslash \; infty\}\; \{1\; \backslash \; sobre\; N\}\; \backslash \; ^\; del\; sum\_\; \{n=0\}\; \{N-1\}\; U^\; \{n\}\; f\; =\; P\; f$

Tiempo de la estancia

Dejar el $(,\; \backslash \; MU\; de\; X,\; \backslash \; de\; la\; sigma)$ sea un espacio de medida tales que el $\backslash \; MU\; (X)$ es finito y diferente a cero. El tiempo pasado en un mensurable A del sistema se llama el tiempo de la estancia del . Una consecuencia inmediata del teorema ergódico es que, en un sistema ergódico, la medida relativa del A es igual al tiempo malo de la estancia: $\backslash \; frac\; del$

l {\ MU (A)} {\ MU (X)} = \ frac 1 {\ MU (X)} \ internacional \ chi_A \, d \ MU = \ lim_ {n \ rightarrow \} infty \; \ frac {1} {n} \ sum_ {k=0} ^ {n-1} \ chi_A \ (T^k x \ derecho) dejado

donde está la función el $\backslash \; chi\_A$ del indicador A, para todo el x a excepción de un sistema de la medida cero.

Dejar la ocurrencia del por de un mensurable A del sistema ser definido como el k ₁, k ₂, k ₃ del sistema,…, del k de las épocas tales que el k ( x ) del ^{del T está en el A, clasificado en orden cada vez mayor. Las diferencias entre los tiempos consecutivos de la ocurrencia i del _{del R} = &minus del i del _{del k ; &minus del i del del k ; 1 se llaman los tiempos de la repetición del del A . Otra consecuencia del teorema ergódico es que la época media de la repetición del A es inverso proporcional a la medida del A, si se asume que el x del punto inicial está en el A, de modo que el k 0 = 0.}}

$\backslash \; frac\; \{R\_1\; +\; \backslash \; cdots\; +\}\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; frac\; de\; R\_n\}\; \{n\; \{\backslash \; MU\; (X)\}\; \{\backslash \; MU\; (A)\}\; \backslash patio\backslash \; mbox\; \{(casi\; seguramente)\}$

(Véase el casi seguramente .) Es decir, el cuanto más pequeña A es, dura para volverle.

Flujos ergódicos en los múltiples

La ergodicidad del flujo geodésico en los múltiples de la curvatura negativa constante fue descubierta por el Eberhard Hopf en 1939, aunque los casos especiales fueran estudiados anterior; ver por ejemplo, los billares (1898) de Hadamard y los billares (1924) de Artin. La relación entre los flujos geodésicos y los subgrupos del uno-parámetro en el SL (2, ''' del ''' R) fue dada por el S. La ergodicidad del flujo geodésico en los espacios simétricos fue dada por el F. Un criterio simple para la ergodicidad de un flujo homogéneo en un espacio homogéneo de un grupo de mentira de Semisimple fue dado por el C. Muchos de los teoremas y de los resultados de este campo de estudio son típicos de la teoría de la rigidez.

El artículo sobre los flujos de Anosov proporciona un ejemplo de flujos ergódicos en SL (2, R ) y más generalmente en las superficies de Riemann de la curvatura negativa. Mucho del desarrollo dado allí generaliza a los múltiples hiperbólicos de la curvatura negativa constante, pues éstos se pueden ver como el cociente de un modulo hiperbólico simplemente TAN conectado del espacio un enrejado en (n, 1) .

Ver también

Tiempo de la estancia del medio
Teorema de la repetición de Poincaré
Teorema ergódico máximo

.

Zenithic

List of nations in qualification for the 2007 Rugby World Cup

Random links:

Partido Socialista republicano escocés | Embajadores de Canadá | Wabtec | Thomas Gibbs