el

l este artículo discute la teoría modelo pues una disciplina y un matemáticos no el modelo matemático del término que se utiliza informal en otras partes de matemáticas y de ciencia.

En las matemáticas, la teoría modelo es el estudio (las clases de) de las estructuras matemáticas tal como grupos, el coloca los gráficos del o aún los modelos de la teoría determinada usar las herramientas de la lógica matemática . La teoría modelo tiene lazos cercanos a la álgebra y a la álgebra universal .

Este artículo se centra en la primera teoría modelo de la orden finitary de estructuras infinitas. El estudio teórico modelo de las estructuras finitas (para cuáles ven la teoría modelo finita ) diverge perceptiblemente del estudio de estructuras infinitas ambos en términos de problemas estudiados y técnicas usadas. La teoría modelo en las lógicas Higher-order o las lógicas de Infinitary es obstaculizada por el hecho de que lo completo no lo hace en el asimiento general para estas lógicas. Sin embargo, mucho de estudio también se ha hecho en tales idiomas.

El papel de la teoría modelo

La teoría modelo reconoce, y se trata íntimo a una dualidad: Examina elementos semánticos por medio de elementos sintácticos de una lengua correspondiente. Para cotizar la primera página de Chang y Keisler (1990): álgebra universal l + lógica = teoría modelo .

De una manera similar como teoría de la prueba, la teoría modelo se sitúa en un área del carácter interdisciplinario entre las matemáticas, la filosofía, y el de informática. La organización profesional más importante del campo de la teoría modelo es la asociación para la lógica simbólica .

Las áreas de la teoría modelo

Una subdivisión incompleta y algo arbitraria de la teoría modelo está en la teoría modelo clásica del teoría, modelo aplicada a los grupos y a los campos, y la teoría modelo geométrica. Una subdivisión que falta es la teoría modelo computable, pero esto se puede ver discutible como subcampo independiente de la lógica. Los ejemplos de teoremas tempranos de la teoría modelo clásica incluyen el teorema, teorema cardinal de los teoremas el Vaught ascendente y hacia abajo dos de lo completo de Gödel de Löwenheim-Skolem, el teorema del isomorfismo de Scott, los tipos de omisión teorema, y el teorema de Ryll-Nardjewski. Los ejemplos de resultados tempranos de la teoría modelo aplicada a los campos son eliminación de Tarski de los cuantificadores para los campos cerrados verdaderos, teorema del hacha en campos pseudo-finitos, y desarrollo de Robinson del análisis no estándar. Un paso importante en la evolución de la teoría modelo clásica ocurrió con el nacimiento de la teoría de la estabilidad (con el teorema de Morley en programa total trascendental de las teorías y de la clasificación de Shelah), que desarrolló un cálculo de la independencia y de la fila basadas en las condiciones sintácticas satisfechas por teorías. Durante el último que varias décadas aplicaron la teoría modelo se ha combinado en varias ocasiones con la teoría más pura de la estabilidad. El resultado de esta síntesis se llama teoría modelo geométrica en este artículo (que se tome para incluir o-minimality, por ejemplo, así como teoría geométrica clásica de la estabilidad). Un ejemplo de un teorema de la teoría modelo geométrica es prueba de Hrushovski de la conjetura de Mordell-Lang para los campos de la función. La ambición de la teoría modelo geométrica es proporcionar una geografía del de las matemáticas embarcándose en un estudio detallado de sistemas definibles en varias estructuras matemáticas, ayudado por las herramientas substanciales desarrolladas en el estudio de la teoría modelo pura.

Álgebra universal

considera también:

universal de la álgebra Los conceptos fundamentales en álgebra universal son &sigma de las firmas ; y σ - álgebra. Puesto que estos conceptos se definen formalmente en el artículo sobre estructuran que el actual artículo puede contentarse con una introducción informal que consista en ejemplos de cómo se utilizan estos términos. el

l la firma estándar de anillos es σ _rng = {×, +, -, 0.1}, donde × y + ser binario, - es singular y 0 y 1 es nullary. El
la firma estándar de grupos (multiplicativos) es σ _grp = {×, ^-1, 1}, donde × es binario, ^-1 es singular y 1 es nullary. El
la firma estándar de monoides es σ _mnd = {×, 1}. El anillo del
A es un σ _rng-structure que satisface el u de las identidades + (el v + el w ) = (el u + el v ) + el w, u +0 = u, 0+ u = u, × del u ; (× del v ; w ) = (× del u ; × del v ); w, × del u ; 1 = u, 1× u = u, × del u ; u ^-1=1, u ^-1× u =1, × del u ; ( v + w ) = (× del u ; v ) + (× del u ; w ) y ( v + w ) × u = (× del v ; u ) + (× del w ; u ). El grupo del
A es un σ _grp-structure que satisface los × del u de las identidades ; (× del v ; w ) = (× del u ; × del v ); w, × del u ; 1= u, 1× u = u, × del u ; u ^-1=1 y u ^-1× el monoide del
A del u =1. es un σ _mnd-structure que satisface los × del u de las identidades; 1 = u y 1× u = u . × del u ; (× del v ; w ) = (× del u ; × del v ); w . El semigrupo del
A es un σ _mnd-structure que satisface la identidad. × del u ; (× del v ; w ) = (× del u ; × del v ); w . El magma del
A es apenas un σ _mnd-structure.

Esto es mismo un modo eficaz de definir la mayoría de las clases de las estructuras algebraicas porque hay también el concepto de σ - homomorfismo, que se especializa correctamente a las nociones generalmente del homomorfismo para los grupos, los semigrupos, los magmas y los anillos. Para que esto trabaje, la firma se debe elegir bien. Por ejemplo la multiplicación con un número entero diferente a cero es un homomorfismo del magma en el $\backslash \; el\; mathbb\; Z$ que no es un homomorfismo del grupo.

Usar σ - congruencias (relaciones de equivalencia que respetan las operaciones del σ), que desempeñan el papel de núcleos de homomorphisms, la álgebra universal puede indicar y probar los teoremas del isomorfismo en grande:

l para cada h del homomorfismo: El B, B del → del A es isomorfo al A /ker (h).
si el $\backslash \; el\; delta\; \backslash \; el\; subseteq\; \backslash \; epsilon$ son dos relaciones de la congruencia en el A, entonces ( A /δ) /(ε /δ) es isomorfo al A /ε.

El llama tal como el σ t de _rng-term = t ( u, v, w ) dado cerca ( u + (× del v ; w )) - 1 se utiliza para definir el t de las identidades = el t', pero también construir las álgebra una clase del equational es libremente una clase de estructuras que, como los ejemplos arriba y muchos otros, se define como la clase de todo el σ - estructuras que satisfacen cierto sistema de identidades.

Una herramienta no trivial importante en álgebra universal es $de\; Ultraproducts\; \backslash \; Pi\_\; \{i\; \backslash \; adentro\; I\}\; A\_i/U$, donde está un sistema el I infinito que pone en un índice un sistema de σ - el A_i de las estructuras, y el U es un ultrafiltro en el I . Él se utiliza en la prueba del teorema de Birkhoff del : clase del

A del de σ - las estructuras son un Iff de la clase del equational que no es subalgebras inferiores vacíos y cerrados, imágenes homomórficas, y productos directos.

Mientras que la teoría modelo generalmente se considera una parte de la lógica matemática, la álgebra universal, que creció fuera trabajos 'de s de Whitehead Alfred de del norte 1898) (sobre la álgebra del extracto, es parte de la álgebra . Esto es reflejada por sus clasificaciones respectivas del MSC . Sin embargo la teoría modelo se puede considerar como extensión de la álgebra universal.

Teoría modelo finita

considera también:

finito de la teoría modelo

La teoría modelo finita es el área de la teoría modelo que tiene los lazos más cercanos a la álgebra universal . Como algunas partes de álgebra universal, y al contrario de las otras áreas de la teoría modelo, se refiere principalmente a álgebra finitas, o más generalmente, con &sigma finito; - estructura (lógica matemática) s para el &sigma de las firmas; cuál puede contener símbolos de la relación como en el ejemplo siguiente: el

l la firma estándar para los gráficos es σ _grph= { E }, donde está un símbolo el E de la relación binaria. El gráfico del
A es un σ _grph-structure que satisface el $\backslash \; el\; forall\; u\; \backslash \; forall\; v\; (vEu\; del\; uEv\; \backslash \; del\; rightarrow)$ de las oraciones y el $\backslash \; el\; forall\; u\; \backslash \; neg\; (uEu)$.

Un σ - el homomorfismo es un mapa que conmuta con las operaciones y preserva las relaciones en σ. Esta definición da lugar a la noción normal del homomorfismo del gráfico, que tiene la característica interesante que un homomorfismo bijective no necesita ser inversible. Las estructuras son también una parte de la álgebra universal ; después de todos, algunas estructuras algebraicas tal como grupos pedidos tienen una relación binaria <. Qué distingue la teoría modelo finita de la álgebra universal es su uso de oraciones lógicas más generales (como en el ejemplo arriba) en lugar de identidades. (En un contexto modelo-teórico un t de la identidad = el t' se escribe como un $de\; la\; oración\; \backslash \; un\; forall\; u\_1u\_2\; \backslash \; u\_n\; de\; los\; puntos\; (t=t\text{'})$.)

Las lógicas empleadas en teoría modelo finita son a menudo substancialmente más expresivas que la lógica de primer orden, la lógica estándar para la teoría modelo de estructuras infinitas.

Lógica de primer orden

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primer orden de la lógica

Considerando que la álgebra universal proporciona la semántica para una firma, la lógica proporciona el sintaxis . Con términos, las identidades y las cuasi-identidades, incluso álgebra universal tienen algunas herramientas sintácticas limitadas; la lógica de primer orden es el resultado de hacer la cuantificación explícita y de agregar la negación en el cuadro.

Una fórmula de primer orden se construye fuera de las fórmulas atómicas tal como R ( f ( x, y ), z ) o el y = el x + 1 por medio el $de\; los\; conectadores\; boleanos\; \backslash \; de,\; \backslash \; tierra,\; \backslash ,\; \backslash \; rightarrow$ y el prefijar del neg del lor del $\backslash \; del\; forall\; v$ de los cuantificadores o el $\backslash \; existe\; v$. Una oración es una fórmula en la cual cada ocurrencia de una variable está en el alcance de un cuantificador correspondiente. Los ejemplos para las fórmulas son φ (o φ (x) marcar el hecho de que a lo más x es una variable desatada en φ) y ψ definido como sigue: $\backslash \; varphi\; del$

l \; = \; \ forall u \ forall v (\ existe w (x \ época w=u \ época v) \ rightarrow (\ existe w () \ lor del w=u) de x \ de las épocas (\ existe el $\backslash \; PSI\; \backslash ;\; del$
de w (w=v) de x \ de las épocas) = \; \ forall u \ forall v ((v=x) de u \ de las épocas \ rightarrow (u=x) \ lor (v=x)).

(Nota que el símbolo de la igualdad tiene un significado doble aquí.) Está intuitivo claro cómo traducir tales fórmulas al significado matemático. En el σ el $de$_rng-structure \ N mathcal de los números naturales, por ejemplo, un del n del elemento satisface el Iff del φ de la fórmula que es un número primero. El ψ de la fórmula define semejantemente irreductibilidad. Tarski dio una definición rigurosa, a veces llamada " Definición de Tarski del truth", para el $\backslash \; models$ de la relación de la satisfacción, de modo que uno pruebe fácilmente: $del$

l \ N \ modelos mathcal \ phi (n) \ iff n es un número primero. $del$
\ N \ modelos mathcal \ PSI (n) \ iff n es irreducible.

Un T del sistema de oraciones se llama teoría (de primer orden) de a (lógica matemática) . Una teoría es el satisfiable si tiene un $del\; modelo\; \backslash \; un\; M\; \backslash los\; modelosmathcal\; T$, es decir una estructura (de la firma apropiada) que satisfaga todas las oraciones en el T del sistema. La consistencia de una teoría se define generalmente de una manera sintáctica, pero en lógica de primer orden por el teorema de lo completo no hay necesidad de distinguir entre el satisfiability y la consistencia. Por lo tanto los teóricos modelo utilizan a menudo el " consistent" como sinónimo para el " satisfiable".

Una teoría se llama el categórico si determina una estructura hasta isomorfismo, pero resulta que esta definición no es útil, debido a las restricciones serias en la expresividad de la lógica de primer orden. El teorema de Löwenheim-Skolem implica que para cada T de la teoría que tenga un modelo infinito y para cada κ infinito del número cardinal, hay un $modelo\; \backslash \; un\; M\; \backslash \; los\; modelos\; mathcal\; T$ tales que el número de elementos del $\backslash \; de\; M$ mathcal es exactamente κ. Por lo tanto solamente las estructuras finitas se pueden describir por una teoría categórica.

La carencia de la expresividad (cuando está comparado a lógicas más altas tales como lógica Second-order ) tiene sus ventajas, aunque. Para los teóricos modelo el teorema de Löwenheim-Skolem es una herramienta práctica importante algo que la fuente de la paradoja de Skolem. La lógica de primer orden es en un cierto sentido la lógica más expresiva para la cual el teorema de Löwenheim-Skolem y el teorema de la compacticidad se sostienen: el
del teorema de la compacticidad del del

l cada teoría de primer orden contraria tiene un subconjunto contrario finito.

Este teorema importante, debido al Gödel, es de importancia central en la teoría modelo infinita, donde el " de las palabras; por el compactness" ser corriente. Una forma para probarlo está por medio de ultraproducts.

Una pregunta importante cuando una quiere aplicar la teoría modelo a una clase específica de estructuras es si esta clase es una clase elemental, es decir si sus miembros pueden ser caracterizados como esas estructuras que satisfagan una teoría.

Axiomatizability, eliminación de cuantificadores, y de modelo-lo completo

El primer paso, los a menudo triviales, para aplicar los métodos de teoría modelo a una clase de objetos matemáticos tales como grupos, o árboles en el sentido de la teoría de gráfico, es elegir un σ de la firma y representar los objetos como σ-estructuras. El paso siguiente es demostrar que la clase es el axiomatizable, es decir hay un T de la teoría tales que una σ-estructura es en la clase si y solamente si satisface el T . (Este paso falla para los árboles, puesto que la conexión no se puede expresar en la primera orden.) Axiomatizability se asegura de que la teoría modelo pueda hablar sobre los objetos correctos. La eliminación del cuantificador se puede considerar como condición que se asegure de que la teoría modelo no diga demasiado sobre los objetos.

Teoría T tiene cuantificador eliminación si cada de primer orden fórmula φ (x₁,…, n del x_{) sobre su firma equivalente modulo T a de primer orden fórmula ψ (x1,…, n} del x_{) sin cuantificador, es decir $\backslash \; forall\; x\_1\; \backslash \; punto\; \backslash \; forall\; x\_n\; (\backslash \; phi\; (x\_1,\; \backslash \; puntea,)\; \backslash \; leftrightarrow\; \backslash \; PSI\; del\; x\_n\; (x\_1,\; \backslash \; puntea,\; es\; el\; x\_n))$ se sostiene en todos los modelos del T . Por ejemplo la teoría de campos algebraico cerrados en la firma (×, +, -, 0.1) tiene eliminación del cuantificador: Cada fórmula es equivalente a una combinación boleana de ecuaciones entre los polinomios.}

Una subestructura de una σ-estructura es un subconjunto de su dominio, cerrado bajo todas las funciones en su σ de la firma, que es mirado como σ-estructura restringiendo todas las funciones y relaciones en σ al subconjunto. Un que encaja de un $de\; la\; \sigma -estructura\; \backslash \; de\; un\; A$ mathcal en otro $de\; la\; \sigma -estructura\; \backslash \; B$ mathcal es un mapa f: Un → B entre los dominios que se pueden escribir como isomorfismo del $\backslash \; de\; A$ mathcal con una subestructura del $\backslash \; de\; B$ mathcal. Cada encajadura es un homomorfismo inyectivo, pero los asimientos del inverso solamente si la firma no contiene ningún símbolo de la relación.

Si el T tiene eliminación del cuantificador, después cada subestructura de un modelo del T satisface otra vez el T, y de hecho algo asimientos más fuertes: Para cada φ de la fórmula ( x ₁,…, n del _{del x ) y cada del tuple un 1,…, un n} en la subestructura, φ ( del _{de un 1,…, un n} del _{de ) es verdad en la subestructura si y solamente si es verdad en la estructura más grande. Una subestructura con esta característica se llama una subestructura elemental .}

Si una teoría no tiene eliminación del cuantificador, una puede agregar símbolos adicionales a su firma de modo que lo haga. La teoría modelo temprana pasó mucho esfuerzo en probar los resultados de la eliminación del axiomatizability y del cuantificador para las teorías específicas, especialmente en álgebra. Pero en vez de la eliminación del cuantificador una característica más débil es suficiente a menudo:

Un T de la teoría se llama el modelo-completo si cada subestructura de un modelo del T que es sí mismo un modelo del T es una subestructura elemental. Hay un criterio útil para la prueba si una subestructura es una subestructura elemental, llamado la prueba de Tarski-Vaught. Sigue de este criterio que un T de la teoría es modelo-completo si y solamente si cada φ de primer orden de la fórmula (x₁,…, n del x_{) sobre su firma es el equivalente T del modulo a una fórmula de primer orden existencial, es decir una fórmula de la forma siguiente: $del\; \backslash \; forall\; v\_1\; \backslash \; puntos\; \backslash \; v\_m\; \backslash \; PSI\; del\; forall\; (x\_1,\; \backslash \; puntea,\; x\_n,\; v\_1,\; \backslash \; puntea,\; v\_m)$, donde está cuantificador el ψ libre.}

Teoría modelo y teoría determinada

La teoría determinada (que se expresa en una lengua contable ) tiene un modelo contable; esto se conoce como paradoja de Skolem, puesto que hay las oraciones en teoría determinada que postulan la existencia de sistemas no numerables pero estas oraciones son verdades en nuestro modelo contable. Particularmente la prueba de la independencia de la hipótesis de la serie continua requiere la consideración de sistemas en los modelos que aparecen ser no numerables cuando están vistos de dentro de el modelo, pero son contables alguien fuera de el modelo.

El punto de vista modelo-teórico ha sido útil en la teoría determinada ; por ejemplo en trabajo de de Kurt Gödel sobre el universo construible, que, junto con el método de forzar desarrollado por el Paul Cohen se puede demostrar para probar (otra vez filosófico la independencia ) interesante del axioma de la opción y la hipótesis de la serie continua de los otros axiomas de la teoría determinada .

Teoría modelo computable

considera también: Computable_model_theory

Otras nociones básicas de la teoría modelo

Mapas entre las estructuras

Fijar una lengua $L$, y dejar $M$ y $N$ ser dos $L$-structures. Para los símbolos de la lengua, tal como un $c$ constante, dejar $c^M$ ser la interpretación de $c$ en $M$ y semejantemente para las otras clases de símbolos (las funciones y las relaciones).

Un mapa $h$ del dominio de $M$ al dominio de $N$ es un homomorfismo si las condiciones siguientes se sostienen:

para cada $c\; constante\; del\; símbolo\; \backslash \; en\; L$, tenemos $h\; (c^M)\; =\; c^N,$

de para cada $f\; n-ary\; del\; símbolo\; de\; la\; función\; \backslash \; en\; L$ y $a\_1,\; \backslash \; los\; ldots,\; a\_n\; \backslash \; en\; M^n$, tenemos $h\; (f^M\; (a\_1,\; \backslash \; ldots,\; el\; a\_n))=f^N\; (h\; (a\_1),\; \backslash \; ldots,\; h\; (a\_n)),$ y

para cada n-ary relación símbolo $R\; \backslash \; en\; L$ y $a\_1,\; \backslash \; ldots,\; a\_n\; \backslash \; en\; M^n$, nosotros tienen $M\; \backslash \; modelo\; R\; (a\_1,\; \backslash \; ldots,)\; \backslash \; Rightarrow\; N\; \backslash \; modelos\; R\; (h\; (a\_1)\; del\; a\_n,\; \backslash \; ldots,\; h\; (a\_n)).$

Si además, es el mapa $j$ el inyectivo y la tercera condición se modifica para leer:

para cada n-ary relación símbolo $R\; \backslash \; en\; L$ y $a\_1,\; \backslash \; ldots,\; a\_n\; \backslash \; en\; M^n,$ nosotros tiene $M\; \backslash \; modelo\; R\; (a\_1,\; \backslash \; ldots,)\; \backslash \; Leftrightarrow\; N\; \backslash \; modelos\; R\; (h\; (a\_1)\; del\; a\_n,\; \backslash \; ldots,\; h\; (a\_n)),$

entonces el mapa $h$ es un que encaja (de $M$ en $N$).

Las definiciones equivalentes del homomorfismo y la encajadura son:

Si para todo el $atómico\; \backslash \; phi$ de las fórmulas y las secuencias de elementos de $M$, $\backslash \; barra\; \{a\}\; =\; (a\_1,\; a\_2,\; \backslash \; ldots,\; a\_n)$ M\; del\; de$\backslash \; modelos\; \backslash \; phi\; \backslash \; Rightarrow\; N\; \backslash \; modelos\; \backslash \; phi$

donde está la imagen el $\backslash \; la\; barra\; \{b\}$ del $\backslash \; de\; la\; barra\; \{a\}$ debajo $h$: $del\; \backslash \; barra\; \{b\}\; =\; (b\_1,\; b\_2,\; \backslash \; ldots,\; b\_n)\; =\; (h\; (a\_1),\; h\; (a\_2),\; \backslash \; ldots,\; h\; (a\_n))\; =\; h\; (\backslash \; barra\; \{a\})$

entonces $h$ es un homomorfismo. Si en lugar de otro: $M\; del$

l \ modelos \ phi \ Leftrightarrow N \ modelos \ phi

entonces $h$ es una encajadura.

Fórmulas y sistemas definibles

Dijimos anterior que cuando fijamos un $L$-structure, todas las oraciones y las fórmulas se dan un significado. Las oraciones son verdades o falsas, pero las fórmulas tienen un diverso significado. Las fórmulas contienen variables libres, y éstos se deben asignar un significado antes de que poder comprobar su veracidad. Un ejemplo en inglés llano es el siguiente: “es rojo” (aplicado al mundo real). Solamente cuando substituimos el nombre de un objeto particular puede nosotros comprobar si esta fórmula es verdad. La fórmula antedicha divide el mundo en el sistema de las cosas que son rojas, y el sistema de las cosas que no son rojas. Ésta es la función de fórmulas: para un $\backslash \; una\; phi\; dados\; (x\_1,\; \backslash \; ldots,\; x\_n)\; de$ L$-formula$, $L$-structure $M$, y elementos $m\_1,\; \backslash \; ldots,\; m\_n$ de $M$, escribimos $m\_1,\; \backslash \; los\; ldots,\; m\_n\; \backslash \; modelos\; \backslash \; phi\; (x\_1,\; \backslash \; ldots,\; x\_n)$ si $m\_1,\; \backslash \; los\; ldots,\; m\_n$ satisfacen el $\backslash \; la\; phi\; (x\_1,\; \backslash \; ldots,\; x\_n)$. Entonces llamamos el $\backslash \; \{m\_1,\; \backslash \; los\; ldots,\; m\_n\; \backslash \; en\; M^n:\; m\_1,\; \backslash \; ldots,\; m\_n\; \backslash \; modelo\; \backslash \; phi\; (x\_1,\; \backslash \; ldots,)\; \backslash \}\; del\; x\_n$ el sistema definido por el $\backslash \; phi$ en $M$.

Así para cada fórmula en $L$, y cada $L$-structure $M$ hacemos el sistema definir por la fórmula. Para cualquier $M$ dado, la colección de sistemas definibles es la noción semántica importante que corresponde a la colección de fórmulas.

Eliminación de lo completo del cuantificador y modelo

Un T de la teoría se dice para admitir la eliminación de cuantificadores si cada fórmula es demostrable equivalente a una fórmula cuantificador-libre bajo T . El T de la teoría es modelo termina si cada fórmula es demostrable equivalente a una fórmula existencial.

Estas definiciones referentes al syntactics del T se pueden demostrar para ser equivalentes a la declaración siguiente referente a los modelos del T (es decir la semántica del T ): el T del del
tiene eliminación iff del cuantificador para cualquier B de dos modelos y el C del T y para cualquier común A de la subestructura del B y el C, el B y el C es elemental equivalente en la lengua del T aumentado con constantes del A . De hecho, es suficiente demostrar que cualquier oración con solamente cuantificadores existenciales tiene el mismo valor de verdad para el B y el C . el T del
es iff completo modelo para los modelos de cada A y del B del T, y el L - encajadura del A en el B, tenemos que el que encaja es el elemental.

Uno puede ver de la definición que la eliminación del cuantificador es más fuerte que lo completo modelo. Esto es porque las fórmulas en las teorías completas modelo son equivalente que contiene solamente cuantificadores existenciales. Cualquier fórmula en una teoría que admita la eliminación del cuantificador es equivalente a una fórmula cuantificador-libre que se pueda ver como clase especial de fórmula existencial.

En teoría modelo temprana, la eliminación del cuantificador fue utilizada para demostrar que las varias teorías poseen ciertas características modelo-teóricas como decidibilidad y lo completo. Una técnica común era demostrar primero que una teoría admite la eliminación de cuantificadores y prueba después de eso decidibilidad o lo completo considerando solamente las fórmulas cuantificador-libres. Esta técnica se utiliza a la demostración que la aritmética de Presburger, es decir la teoría de los números naturales aditivos, es decidible. La demostración de la decidibilidad de la aritmética de Presburger hace alusión ya a las limitaciones de esta técnica. Las teorías podían ser decidibles con todo no admitir la eliminación del cuantificador. En realidad, la teoría de los números naturales aditivos no admitió la eliminación del cuantificador, sino que era una extensión de los números naturales aditivos que fue demostrada para ser decidible. Ejemplo: Nullstellensatz en el ACF y el DCF

Interpretability

Dado una estructura matemática, hay las estructuras muy a menudo asociadas que se pueden construir como cociente de la parte de la estructura original vía una relación de equivalencia. Un ejemplo importante es un grupo del cociente de un grupo.

Uno pudo decir que eso entender la estructura completa una debe entender estos cocientes. Cuando la relación de equivalencia es definible, podemos dar a la oración anterior un significado exacto. Decimos que estas estructuras son el interpretable.

Un hecho dominante es que uno puede traducir oraciones de la lengua de las estructuras interpretadas a la lengua de la estructura original. Así uno puede demostrar que si un M de la estructura interpreta otro cuya teoría sea el undecidable, después el M sí mismo es undecidable.

Construcciones de Ultraproduct

considera también: Ultraproduct

Un ultraproduct es un cociente del producto directo de una familia de estructuras de la misma firma. Para utilizar la construcción del ultraproduct, una elige un $conveniente\; del\; ultrafiltro\; \backslash \; un\; U$ mathcal en el sistema de índice $I$ de un $\backslash \; de\; \{\backslash \; mathbb\; A\_i\; de\; la\; familia\; |\; i\; \backslash \; adentro\; I\; \backslash \}$ de las estructuras, todas con la misma lengua. Entonces uno forma producto $\backslash \; Pi\_\; \{i\; \backslash \; adentro\}\; \backslash \; mathbb\; A\_i$ de I de la familia dada, y descompone en factores hacia fuera el $\backslash \; el\; sim\_\; \{\backslash \; el\; U\; mathcal\}$ de la relación de equivalencia que es definido en el $\backslash \; el\; mathbb\; A$ por la regla $del$

l \ vec x \ sim_U \ vec y \ iff \ {i \ adentro I | x_i=y_i \} \ en \ U mathcal

Resultando estructura es denotado por $\backslash \; Pi\_\; \{i\; \backslash \; adentro\}\; \backslash \; mathbb\; A\_i/\backslash \; U$ mathcal de I. Un subconjunto $X$ del $\backslash \; de\; \{\backslash \; mathbb\; A\_i\; de\; la\; familia\; |\; i\; \backslash \; adentro\; I\; \backslash \}$ de estructuras reputa el casi todo el de ellas si $X$ es un elemento del $del\; ultrafiltro\; \backslash \; del\; U$ mathcal. Así, en la definición de la relación de equivalencia arriba, dos (generalmente infinitamente de largo, en la mayoría de los usos) vectores, $\backslash \; vec\; x$ y $\backslash \; el\; vec\; y$ son iff identificado sus proyecciones sobre casi todo el $\backslash \; mathbb\; A\_i$ de las hachas son idénticos.

La opción cuyo el ultrafiltro utilizar es dependiente sobre el uso, y para muchos usos de la teoría modelo, sobre todo el criterio para elegir un ultrafiltro se relaciona de alguna manera con la cardinalidad. (Por ejemplo, un tipo con frecuencia usado de ultrafiltro es un ultrafiltro uniforme. Un $del\; ultrafiltro\; \backslash \; un\; U$ mathcal en un sistema $I$ es el uniforme del a condición de que cada elemento del $\backslash \; de\; U$ mathcal es un sistema de la misma cardinalidad que el sistema $I$.) Sin embargo, hay algunos casos “triviales” que esencialmente se evitan siempre: ultrafiltros no-apropiados (que muchos autores incluso no llaman los ultrafiltros en absoluto), y ultrafiltros del principal. (Aquí otra vez, la cardinalidad entra en el juego, porque cada (ultra) filtro en un sistema finito es necesario principal.)

Más importante herramienta en uso de ultraproducts es teorema de Łoś, que indica que para cualquier $\backslash \; sigma$ de la oración en la lengua apropiada para las estructuras dadas, $\backslash \; Pi\_\; \{i\; \backslash \; adentro\}\; \backslash \; mathbb\; A\_i/\backslash \; U$ mathcal de I satisface el $\backslash \; sigma$ si y solamente si el $\backslash \; sigma$ se sostiene en casi todas las estructuras dadas.

Algunos usos llamativos de ultraproducts incluyen las pruebas muy elegantes del teorema de la compacticidad y del teorema de lo completo, el teorema del ultrapower de Keisler, que da una caracterización algebraica de la noción semántica de la equivalencia elemental, y la presentación de Robinson-Zakon del uso de superestructuras y de sus monomorfismos de construir los modelos no estándar de análisis, llevando al crecimiento del área del análisis no estándar, que fue iniciado (como uso del teorema de la compacticidad) por el Abraham Robinson .

Usar los teoremas de la compacticidad y de lo completo

El teorema de lo completo de Gödel (no ser confundido con sus teoremas del estado incompleto) dice que una teoría tiene un modelo si y solamente si es el constante, es decir ninguna contradicción es probado por la teoría. Éste es el corazón de la teoría modelo pues nos deja contestar a preguntas sobre teorías mirando modelos y viceversa. Uno no debe confundir el teorema de lo completo con la noción de una teoría completa. Una teoría completa es una teoría que contiene cada oración o su negación. Importantemente, uno puede encontrar una teoría constante completa el ampliar de cualquier teoría constante. Sin embargo, como se muestra por teoremas del estado incompleto de Gödel que solamente en casos relativamente simples lo quieren ser posible tener una teoría constante completa que sea también el recurrente, es decir que puede ser descrito por un sistema enumerable recurrentemente de axiomas. Particularmente, la teoría de números naturales no tiene ninguna teoría completa y constante recurrente. Las teorías no recurrentes son de uso poco práctico, puesto que es Undecidable si un axioma propuesto es de hecho un axioma, haciendo la prueba-comprobación de prácticamente imposible.

El teorema de la compacticidad indica que un sistema de las oraciones S es satisfiable si cada subconjunto finito de S es satisfiable. En el contexto de la teoría de la prueba la declaración análoga es trivial, puesto que cada prueba puede tener solamente un número finito de antecedentes usados en la prueba. En el contexto de la teoría modelo, sin embargo, esta prueba es algo más difícil. Hay dos pruebas bien conocidas, una al lado Gödel (que va vía pruebas) y una por el Malcev (que es más directo y permite que restrinjamos la cardinalidad del modelo resultante).

La teoría modelo se refiere generalmente a la lógica de primer orden, y muchos resultados importantes (tales como lo completo y teoremas de la compacticidad ) fallan en la lógica Second-order u otras alternativas. En lógica de primer orden todos los cardenales infinitos miran iguales a una lengua que sea el contable. Esto se expresa en los teoremas de Löwenheim-Skolem que indican que cualquier teoría contable con un $\backslash \; un\; mathfrak\; modelo\; infinitos\; \{A\}$ tiene modelos de todos los cardinalities infinitos (por lo menos que de la lengua) que están de acuerdo con el $\backslash \; el\; mathfrak\; \{A\}$ con todas las oraciones, es decir son el “ elemental equivalente”.

Tipos

Fijar un $L$-structure $M$, y un número natural $n$. El sistema de subconjuntos definibles de $M^n$ sobre algunos parámetros $A$ es una álgebra boleana . Por el teorema de la representación de la piedra para las álgebra boleanas hay una noción dual natural a esto. Uno puede considerar esto para ser el espacio topológico que consiste en sistemas constantes máximos de fórmulas sobre $A$. Llamamos esto el espacio de los tipos (completos) de $n$- sobre $A$, y escribimos el $S\_n\; (A)$.

Ahora considerar un $m\; del\; elemento\; \backslash \; en\; M^n$. Entonces el sistema de todo el $\backslash \; phi$ de las fórmulas con parámetros en $A$ en las variables libres $x\_1,\; \backslash \; ldots,\; x\_n$ de modo que $M\; \backslash \; modelos\; \backslash \; phi\; (m)$ es constante y máximo tales. Se llama el tipo del de $m$ sobre $A$.

Uno puede demostrar que para cualquier $n$-type $p$, existe una cierta extensión elemental $N$of $M$ y algún $a\; \backslash \; en\; N^n$ de modo que $p$ sea el tipo de $a$ sobre $A$.

Muchas características importantes en la teoría modelo se pueden expresar con los tipos. Muchas pruebas van más lejos vía construir modelos con los elementos que contienen elementos con ciertos tipos y entonces usar estos elementos.

Ejemplo ilustrativo del : suponen que $M$ es un campo algebraico cerrado . La teoría tiene eliminación del cuantificador. Esto permite que demostremos que un tipo sea determinado exactamente por las ecuaciones polinómicas que contiene. Así el espacio de $n$-types sobre un subcampo $A$ es el Bijective con el sistema de los ideales de la prima del anillo polinómico $A$. Éste es el mismo sistema que el espectro de $A$. Observar sin embargo que la topología considerada en el tipo espacio es la topología construible : un sistema de tipos es el básico abierto iff que está del $de\; la\; forma\; \backslash \; \{p:\; f\; (x)=0\; \backslash \; en\; p\; \backslash \}$ o del $de\; la\; forma\; \backslash \; \{p:\; f\; (x)\; \backslash \; neq\; 0\; \backslash \; en\; p\; \backslash \}$. Esto es más fino que la topología de Zariski.

Categoricity

Si $T$ es una primera teoría de la orden en la lengua $L$ y el $\backslash \; kappa$ es un cardinal, después $T$ reputa el $\backslash \; kappa$-categorical iff cualquier dos modelos de $T$ que estén del $\backslash \; kappa$ de la cardinalidad sean el isomorfo. Las teorías categóricas son desde muchos puntos de vista las teorías mejor comportadas. El estudio del categoricity llevó encendido al programa más amplio de la estabilidad . Para más detalle ver el teorema del categoricity de Morley.

Terminación modelo, compañeros modelo

Dado un primer L de la orden - el T de las teorías y el de T, de T es un compañero modelo para el de T si

i) El de T es modelo termina

ii) Cada modelo del de T tiene una extensión que sea un modelo del de T

iii) Cada modelo del de T tiene una extensión que sea un modelo del de T

Si el $T\text{'}\; es\; un\; compañero\; modelo\; para$ T$y\; el$ T\; \backslash \; la\; taza\; Diag\; (\backslash \; mathcal\; \{M\})$es\; completo\; para\; cualquier$ \backslash $ T\text{'}$mathcal\; \{M\}\; \backslash \; de\; los\; modelos\; T$entonces\; está\; una\; terminación\; modelo\; para$ T$$

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Historia temprana de la teoría modelo

La teoría modelo como tema existe desde aproximadamente el centro del vigésimo siglo. Sin embargo algo investigación anterior, especialmente en la lógica matemática, se mira a menudo como estando de una naturaleza modelo-teórica en vista retrospectiva. El primer resultado significativo en cuál ahora es teoría modelo era un caso especial del teorema hacia abajo de Löwenheim-Skolem, publicado por el Leopold Löwenheim en 1915. El teorema de la compacticidad estaba implícito en trabajo por el Thoralf Skolem, pero primero fue publicado en 1930, como lema en prueba de s de Gödel Kurt 'de su teorema de lo completo. El teorema de Löwenheim-Skolems y el teorema de la compacticidad recibieron sus formas generales respectivas en 1936 y 1941 Anatoly Maltsev .

Ver también

Clase de Axiomatizable
Teorema de la compacticidad
Complejidad descriptiva
de encajadura elemental
Teoría modelo finita

Teorías de primer orden
que fuerza
Número de Hyperreal
Teoría modelo institucional
Semántica de Kripke
Teorema de Löwenheim-Skolem
Teoría de la prueba
Modelo saturado
Álgebra universal

.

Zenithic

Michael Devaney

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