En las matemáticas, un teorema es una declaración, indicada a menudo en el de lenguaje natural, que se puede probar en base de asunciones explícitamente indicadas o previamente convenidas. En la lógica, un teorema es una declaración en un lenguaje formal que pueda ser derivado aplicando las reglas de inferencia y los axiomas de un sistema deductivo. Esta definición en lógica es crucial en los campos tales como teoría de la prueba que estudian las características generales de declaraciones demostrables e imposibles de demostrar.

En todos los ajustes, una característica esencial de teoremas es que son derivables usar un sistema fijo de reglas de inferencia y de axiomas sin ningunas asunciones adicionales. Ésta no es apenas una cuestión de la semántica de la lengua: la expresión que resulta de una derivación es una consecuencia sintáctica de todas las expresiones que la preceden. En matemáticas, la derivación de un teorema se interpreta a menudo como prueba de la verdad de la expresión resultante, pero diversos sistemas deductivos pueden rendir otras interpretaciones, dependiendo de los significados de las reglas de la derivación.

Las pruebas de teoremas tienen dos componentes, llamados las hipótesis del y el de las conclusiones del . La prueba de un teorema matemático es una discusión lógica que demuestra que las conclusiones son un necesario de la consecuencia de de las hipótesis, en el sentido que si las hipótesis son verdades entonces las conclusiones deben también ser verdades, sin cualquier asunciones más otra. El concepto de un teorema es por lo tanto fundamental deductivo de, en contraste con la noción de un científico de la teoría de, que es empírico de .

Aunque puedan ser escritos en una forma totalmente simbólica, los teoremas se expresan a menudo en un de lenguaje natural tal como inglés. Igual es verdad de las pruebas, que se expresan a menudo como discusiones informales lógicamente organizadas y claramente redactadas previstas para demostrar que una prueba simbólica formal puede ser construida. Tales discusiones son típicamente más fáciles comprobar que las puramente simbólicas el — de hecho, muchos matemáticos expresarían una preferencia por una prueba que no sólo demuestra la validez de un teorema, pero también explica de cierta manera porqué el él es obviamente verdad. En algunos casos, un cuadro solamente puede ser suficiente probar un teorema.

Porque los teoremas mienten en la base de las matemáticas, son también central a su estética. Los teoremas se describen a menudo como siendo " trivial", o " difficult", o " deep", o aún " beautiful". Estos juicios subjetivos varían no sólo de personal, pero también con tiempo: por ejemplo, como se simplifica o se entiende mejor una prueba, un teorema que era una vez difícil puede llegar a ser trivial. Por una parte, un teorema profundo puede ser indicado simplemente, pero su prueba puede implicar conexiones asombrosamente y sutiles entre las áreas dispares de las matemáticas. El teorema pasado de Fermat es un ejemplo particularmente bien conocido de tal teorema.

Nociones formales e informales

El lógicamente la mayoría de los teoremas de está de la forma de un condicional indicativo: si A, entonces B . Tal teorema no indica que el B es siempre verdad, sólo ese B debe ser verdad si el A es verdad. En este caso el A se llama la hipótesis del del teorema (la nota que " hypothesis" aquí está algo muy diferente de una conjetura ) y del B la conclusión . El " del teorema; Si el n es incluso un número natural entonces el n /2 es un number" natural; es un ejemplo típico en el cual la hipótesis es ese n es un número incluso natural y la conclusión es que el n /2 es también un número natural.

Para ser probado, un teorema debe ser expresable como declaración exacta, formal. Sin embargo, los teoremas se expresan generalmente en de lenguaje natural algo que en una forma totalmente simbólica, con la intención que el lector podrá presentar una declaración formal la informal. Además, hay a menudo las hipótesis que se entienden en contexto, algo que indicado explícitamente.

Es común en matemáticas elegir un número de hipótesis que se asuman para ser verdades dentro de una teoría dada, y después declara que la teoría consiste en todos los teoremas demostrables usar esas hipótesis como asunciones. En este caso las hipótesis que forman la base fundacional se llaman los axiomas (o los postulados) de la teoría. El campo de las matemáticas conocido como teoría de la prueba estudia los sistemas formales del axioma y las pruebas que se pueden realizar dentro de ellas.

Algunos teoremas son " trivial, " en el sentido que siguen de definiciones, los axiomas, y otros teoremas de maneras obvias y no contienen ninguna penetraciones asombrosamente. Algunos, por una parte, se pueden llamar " deep": sus pruebas pueden ser largas y difíciles, implicar las áreas de las matemáticas superficial distintas de la declaración del teorema sí mismo, o demostrar conexiones asombrosamente entre las áreas dispares de las matemáticas. Un teorema pudo ser simple indicar pero ser profundo. Un ejemplo excelente es el teorema pasado de Fermat, y hay muchos otros ejemplos de teoremas simples con todo profundos en la teoría de número y la combinatoria, entre otras áreas.

Hay otros teoremas para los cuales se sabe una prueba, pero la prueba no se puede anotar fácilmente. Los ejemplos más prominentes son el teorema del color cuatro y la conjetura de Kepler. Ambos teoremas son sabidos solamente para ser verdades reduciéndolos a una búsqueda de cómputo que entonces sea verificada por un programa de computadora. Inicialmente, muchos matemáticos no aceptaron esta forma de prueba, sino que se ha aceptado más extensamente estos últimos años. El Doron Zeilberger del matemático incluso ha ido en cuanto a demandar que éstos son posiblemente los únicos resultados no triviales que los matemáticos han probado nunca. Muchos teoremas matemáticos se pueden reducir a un cómputo más directo, incluyendo identidades polinómicas, identidades trigonométricas e identidades hipergeométricas.

Relación a la prueba

la noción de un teorema se entrelaza profundamente con el concepto de prueba. De hecho, los teoremas son verdades exacto en el sentido que poseen pruebas. Por lo tanto, para establecer una declaración matemática como teorema, la existencia de una línea de razonamiento de axiomas en el sistema (y otra, teoremas ya establecidos) a la declaración dada deben ser demostradas.

Aunque la prueba sea necesaria producir un teorema, generalmente no se considera parte del teorema. Y aunque más de una prueba se puede saber para un solo teorema, sólo una prueba se requiere establecer la validez del teorema. El teorema pitagórico y la ley de la reciprocidad cuadrático son competidores para el título del teorema con el número más grande de pruebas distintas.

Teoremas en lógica

La lógica, especialmente en el campo de la teoría de la prueba, considera teoremas como declaraciones (llamadas de las fórmulas del o de las fórmulas bien formadas ) de un lenguaje formal . Un sistema de la deducción del gobierna, también llamado transformación del gobierna o una gramática formal del, debe ser proporcionada. Estas reglas de la deducción dicen exactamente cuándo una fórmula se puede derivar de un sistema de premisas.

Diversos sistemas de reglas de la derivación dan lugar a diversas interpretaciones de lo que significa para que una expresión sea un teorema. Algunas reglas de la derivación y lenguajes formales se piensan para capturar el razonamiento matemático; los ejemplos mas comunes utilizan la lógica de primer orden . Otros sistemas deductivos describen la reescritura del término, tal como las reglas de la reducción para el λ cálculo .

La definición de teoremas como elementos de un lenguaje formal permite los resultados en teoría de la prueba que estudian la estructura de pruebas formales y la estructura de fórmulas demostrables. El resultado más famoso es el teorema del estado incompleto de Gödel; representando teoremas sobre teoría de número básica como expresiones en un lenguaje formal, y después representando esta lengua dentro de la teoría de número sí mismo, Gödel construyó ejemplos de las declaraciones que son ni demostrables ni refutables de axiomatizaciones de la teoría de número.

Relación con teorías científicas

Los teoremas en las teorías de las matemáticas y en ciencia son fundamental diferentes en su epistemología . Una teoría científica no puede ser probada; su cualidad dominante es que es el falsificable, es decir, hace las predicciones sobre el mundo natural que son comprobables por los experimentos cualquier desacuerdo entre la predicción y el experimento demuestra la incorreción de la teoría científica, o por lo menos limita su exactitud o dominio de la validez. Los teoremas matemáticos, por una parte, son declaraciones formales puramente abstractas: la prueba de un teorema no puede implicar experimentos o la otra evidencia empírica tal evidencia se utiliza de la misma manera para apoyar teorías científicas.

No obstante, hay un cierto grado de colección del empirismo y de datos implicada en el descubrimiento de teoremas matemáticos. Estableciendo un patrón, a veces con el uso de una computadora de gran alcance, los matemáticos pueden tener una idea qué probar, y en algunos casos incluso un plan para que cómo fije sobre hacer la prueba. Por ejemplo, la conjetura de Collatz se ha verificado para los valores del comienzo hasta sobre 2.88  ×   10¹⁸. La hipótesis de Riemann se ha verificado para los primeros 10 ceros trillón de la función de zeta . Ni unas ni otras de estas declaraciones se consideran ser probadas.

Tal evidencia no constituye la prueba. Por ejemplo, la conjetura de Mertens es una declaración sobre números naturales que ahora se sabe para ser falsa, pero no se sabe ningún contraejemplo explícito (es decir, un n del número natural para el cual el M ( n ) de la función de Mertens iguala o excede la raíz cuadrada del n ): todos los números menos que 10¹⁴ tienen la característica de Mertens, y el número más pequeño que no tiene esta característica se sabe solamente para ser menos que el exponencial de 1.59  ×  10⁴⁰, que es aproximadamente 10 a la energía 4.3  ×  10³⁹. Puesto que el número de partículas en el universo se considera generalmente ser menos de 10 a la energía 100 (un Googol ), no hay esperanza de encontrar un contraejemplo explícito por la búsqueda exhaustiva actualmente.

Observar que el " de la palabra; theory" también existe en matemáticas, para denotar un cuerpo de axiomas matemáticos, definiciones y teoremas, como adentro, por ejemplo, la teoría de grupo . Hay también " theorems" en ciencia, particularmente la física, y en la ingeniería, pero ellos tiene a menudo las declaraciones y pruebas en las cuales las asunciones y la intuición físicas desempeñan un papel importante; los axiomas físicos en los cuales tal " theorems" se basan son ellos mismos falsificables.

Terminología

Los teoremas son indicados a menudo por varios otros términos: el " real de la etiqueta; theorem" son reservados para los resultados más importantes, mientras que los resultados que son menos importantes, o distinguido de otras maneras, son nombrados por diversa terminología.
El asunto del del

A es una declaración no asociada a cualquier teorema particular. Este término implica a veces una declaración con una prueba simple.
Un lema del es un " pre-theorem", una declaración que forma la parte de la prueba de un teorema más grande. La distinción entre los teoremas y los lemas es algo arbitraria, puesto que un resultado importante de del matemático es demanda de menor importancia de otra persona. El lema del gauss y el lema de Zorn, por ejemplo, son bastante interesantes que algo es autor presente del lema nominal sin encenderse utilizarlo en la prueba de un teorema.
Un corolario del es un asunto que sigue con poco o nada de prueba a partir de una otro teorema o definición. Es decir, el B del asunto es un corolario de un A del asunto si el B se puede deducir fácilmente del A .
Una demanda es un resultado necesario o independiente interesante que puede ser parte de la prueba de otra declaración. A pesar de el nombre, las demandas deben ser probadas.

Hay otros términos, menos de uso general, que se atan convencionalmente a las declaraciones probadas, de modo que ciertos teoremas sean referidos por nombres históricos o acostumbrados. Por ejemplos:
identidad del del

, usada para los teoremas que indican una igualdad entre dos expresiones matemáticas. Los ejemplos incluyen la identidad de Euler y la identidad de Vandermonde.
regla del, usada para ciertos teoremas tales como regla de Bayes y regla de Cramer, que establecen fórmulas útiles. Los ejemplos incluyen la ley de los grandes números, la ley de los cosenos, y la ley del zero-one de Kolmogorov. Los ejemplos incluyen el principio, el de Harnack menos principio del límite superior, y el principio de casillero .
Un inverso del es un teorema reverso. Por ejemplo, si un teorema indica que A es una relacionada a B, es inverso indicaría que B está relacionado con el A. El inverso de un teorema no necesita ser siempre verdad.

Algunos teoremas bien conocidos tienen nombres aún más idiosincrásicos. El algoritmo de división del un teorema que expresa el resultado de la división en los números naturales y los anillos más generales. La paradoja de Banach-Tarski del es un teorema en la teoría de medida que es el paradójico en el sentido que contradice intuiciones comunes sobre volumen en espacio tridimensional.

Una declaración sin probar que se cree para ser verdad se llama una conjetura (o a veces una hipótesis del del, pero con un diverso significado de el discutido arriba). Para ser considerado una conjetura, una declaración se debe proponer generalmente público, en cuyo punto el nombre del autor se puede atar a la conjetura, como con la conjetura de Goldbach. Otras conjeturas famosas incluyen la conjetura de Collatz y la hipótesis de Riemann.

Disposición

Un teorema y su prueba se presentan típicamente como sigue: teorema (nombre del del

l de la persona que probó lo y el año de descubrimiento, de prueba o de publicación). declaración del teorema . Descripción del
de la prueba.

El extremo de la prueba se puede señalar por el Q. de las letras o por uno del " de las marcas de la piedra sepulcral ; □ " o " ∎ ", introducido por el Paul Halmos que sigue su uso en artículos de compartimiento.

El estilo exacto dependerá del autor o de la publicación. Muchas publicaciones proporcionan instrucciones o las macros para componer tipo en el estilo de la casa.

Es común para que un teorema sea precedido por las definiciones que describen el significado exacto de los términos usados en el teorema. Es también campo común para que un teorema sea precedido por un número de asuntos o los lemas que entonces se utilicen en la prueba. Sin embargo, los lemas se encajan a veces en la prueba de un teorema, con las pruebas jerarquizadas, o con sus pruebas presentadas después de la prueba del teorema.

Los corolario a un teorema se presentan entre el teorema y la prueba, o directo después de la prueba. Los corolario tienen a veces pruebas sus los propios que explican porqué siguen del teorema.

Saber

Se ha estimado que sobre un cuarto de millón los teoremas están probados cada año.

El aforismo bien conocido, " Un matemático es un dispositivo para dar vuelta al café en theorems", es probablemente debido al Alfréd Rényi, aunque él se atribuya a menudo al Paul Erdős (y Rényi del colega de Rényi puede haber pensado en Erdős), que era famoso por los muchos teoremas que él produjo, el número de sus colaboraciones, y su consumición del café.

La clasificación de los grupos simples finitos es mirada por alguno para ser la prueba más larga de un teorema; abarca diez de millares de páginas en 500 artículos de diario de unos 100 autores. Estos papeles juntos se creen para dar una prueba completa, y hay varios proyectos en curso para acortar y para simplificar esta prueba.

Ver también

Metatheorem
Lista de los teoremas
El teorema, de que del estado incompleto de Gödel establece las condiciones muy generales bajo las cuales un sistema formal contendrá una declaración verdadera para la cual exista ninguna prueba dentro del sistema.
Inferencia
Teorema del juguete

.

Zenithic

Teorema

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