Teorema bicommutant de Von Neumann - Enciclopedia España

En las matemáticas, el teorema bicommutant de von Neumann del en el análisis funcional relaciona el encierro de un sistema de los operadores limitados en un espacio de Hilbert en ciertas topologías que al Bicommutant de eso fijó. Esencialmente, es una conexión entre el algebraico y los lados topológicos de la teoría del operador.

La declaración formal del teorema está como sigue. Dejar el M ser una álgebra de operadores limitados en un espacio de Hilbert H, conteniendo al operador de identidad y cerrado bajo tomar adjoints. Entonces los encierros del M en la topología débil del operador y la topología fuerte del operador son iguales, y son alternadamente iguales al M'' de Bicommutant del M . Esta álgebra es la álgebra de Von Neumann generada por el M .

Hay varias otras topologías en el espacio de operadores limitados, y uno puede preguntar cuáles son los *-algebras cerrados en estas topologías. Si el M se cierra en la topología de la norma entonces es un C*-algebra, pero no no necesario una álgebra de von Neumann. Un tal ejemplo es el C*-algebra de los operadores del acuerdo (en un espacio de Hilbert dimensional infinito). Para la mayoría de las otras topologías comunes los *-algebras cerrados que contienen 1 siguen siendo álgebra de von Neumann; esto se aplica particularmente al operador débil, al operador fuerte, al operador del *-strong, al ultraweak, al ultrastrong, y a las topologías del *-ultrastrong. Se relaciona con el teorema de la densidad de Jacobson.

Prueba

Al igual que generalmente el caso al relacionar características algebraicas y topológicas, una hace uso de discusiones de la continuidad y de la densidad.

Dejar el H ser un espacio de Hilbert y un L ( H ) los operadores limitados en el H . Considerar un M del subalgebra del uno mismo-adjoint del L ( H ). Para el h en el H, el subespacio cerrado más pequeño que contiene {el Mh | &isin del M ; El M } será denotado por el h del M . El M de la álgebra reputa el non-degenerate si para todo el h en el H, h del M = {0} implica el h = 0.

Como se declaró anteriormente, el teorema demanda el siguiente es equivalente: M del

i del ) = M'' . el M del
ii) se cierra en la topología débil del operador. el M del
iii) se cierra en la topología fuerte del operador.

El &rarr del T del mapa del adjoint; El T* es continuo en la topología débil del operador. El commutant S' de cualquier S del subconjunto del L ( H ) se cierra tan débil. Esto da el &rArr de i); ii). Puesto que la topología débil del operador es más débil que la topología fuerte del operador, es también inmediato que ii) ⇒ iii). Qué queda demostrar es iii) ⇒ i).

Asumir que el M es fuerte cerrado y eso, sin la pérdida de generalidad, es non-degenerate. Es verdad en general que &sub del S ; S'' para cualquie S de la familia de operadores limitados. Es tan suficiente demostrar el M'' mentiras de en el M, es decir M'' mentiras de en el encierro fuerte del M . dado M'' &isin de ; M'', un ε típico del - la vecindad del M'' en la topología fuerte del operador toma la forma

$\ mbox {para alguno} \ patio h_1 \ h_n de los cdots \ en H \;.$

Ahora suponer el de n = 1. Necesitamos encontrar &isin del de M; M que miente en el antedicho del ε de - vecindad. Es decir encontrar el de g en el subespacio { ₁ de Mh| &isin del de M; M } tales que || de g - M'' ₁ del h || < del ε de . Uno puede demostrar que el ₁ del M h y su complemento ortogonal son invariantes debajo de cualquier &isin del de M; M . Juntado con la asunción de la no-degeneración, esto significa que el ₁ de h debe mentir en el ₁ del M h. Puede también ser demostrado que el ₁ del M h es invariante debajo de M'' . Por lo tanto M'' ₁ del h miente en el ₁ del M h. La densidad de { ₁ de Mh| &isin del de M; El M } en el ₁ del M h prueba el teorema para el de n = 1. Para el de n > 1, considera la suma directa de copias del de n ^n = \ oplus_1 de H del $del l H.$

El N del subalgebra de L ( de H) definido cerca $del l {\ mathbf N} \ {\ oplus_1 ^n = M \; | \; M \ en {\} \} del mathbf M$

todavía está el uno mismo-adjoint, nondegenerate, y cerrado en la topología fuerte del operador. En la discusión para el de n = 1, substituyendo M'' cerca

$del ^n = \ oplus_1 de N M = \ comienzan {bmatrix} M y y \ \ y \ ddots y \ \ y y de M \ extremo {el bmatrix}$

y ₁ de h cerca

$h_1 \ oplus \ cdots \ h_n del oplus$

prueba el caso general.

de la nota de para ver porqué el ₁ del M h y su complemento ortogonal son invariantes debajo de cualquier &isin del de M; M, aviso primero que porque el M es una álgebra, el ₁ del M h es invariante debajo de cualquier &isin del de M; M . El Uno mismo-adjointness del M significa los mismos asimientos para el complemento ortogonal del ₁ del M h. El de la proyección ortogonal P cuya gama es el ₁ del M h miente tan en el commutant del M .'' = M'' de P, es decir ₁ del M h (y su complemento ortogonal) es invariante debajo de M'' .

Caso degenerado

La discusión antedicha demuestra que el M'' es (por lo tanto) el encierro fuerte débil del M cuando el M es una álgebra nondegenerate del uno mismo-adjoint. Generalmente si el M se asume solamente para ser uno mismo-adjoint, el M'' es el encierro débil de la álgebra generada por el &cup del M ; { I }. Esta es la razón por la cual, al definir las álgebra de von Neumann, el M se requiere para contener al operador de identidad.

La prueba dada se puede modificar fácilmente para el caso nondegenerate. La diferencia entre la degeneración y el nondegeneracy se puede explicar más explícitamente. Dejar el &sub de G del ; El H sea el G del subespacio = {&isin del h ; H | Mh = 0, para todo el M en el M }. El G es invariante bajo cada M en el M . De uno mismo-adjointness, igual se sostiene para su `ortogonal de G del del complemento. Considerar el N de la álgebra del uno mismo-adjoint = {el M restringió al ` de G del | M en &sub del M }; L (` DE G DEL ). Por la construcción, el N es nondegenerate. El M se puede ver como la suma directa

${\ mathbf M} = {\ mathbf N} \ oplus 0 \ patio \ mbox {donde} \ patio 0 \ en L (G) \;.$

Su commutant M' es $del l {\ mathbf M} “= {\ mathbf N}” \ oplus L (G) \;,$

$I \ patio \ mbox {donde} \ patio I \ en L (G) \;, \; \ lambda \ adentro {\ mathbb C}.$

Zenithic

Commissioner v. Soliman

Random links:

El municipio de Carlton, Michigan | ¿Qué puedo pedir más? | Isaac Stevens | Árbol del diafragma | Luis Cevenini

="http://pagead2.googlesyndication.com/pagead/show_ads.js">