Teorema de Cayley - Enciclopedia España

En la teoría de grupo, el teorema de Cayley del, nombrado en honor Arturo Cayley, indica que cada G del grupo es el isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico en el G . Esto se puede entender como ejemplo de la acción de grupo del G en los elementos del G .

Una permutación de un G del sistema es cualquier función Bijective que toma el G sobre el G ; y el sistema de todas tales funciones forma a grupo bajo composición de la función, llamada el el grupo simétrico en el G de, y escrita como Sym ( G ).

El teorema de Cayley pone a todos los grupos en el mismo pie, considerando a cualquier grupo (grupos infinitos incluyendo por ejemplo (el R del, +)) como grupo de la permutación de un cierto sistema que es la base. Así, los teoremas que son verdades para los grupos de la permutación son verdades para los grupos en general.

Historia

Atribuido en Burnside a Jordania, Eric Nummela no obstante sostiene que el nombre estándar para este teorema -- " Theorem" de Cayley; -- es de hecho apropiado. Cayley, en su papel de la original 1854 en cuál introdujo el concepto de un grupo, demostrado que la correspondencia en el teorema es una por, solamente él no pudo demostrarla explícitamente que eran un homomorfismo (y así un isomorfismo). Sin embargo, Nummela observa que Cayley hizo este resultado sabido a la comunidad matemática en ese entonces, así la precedencia Jordania por 16 años o tan.

Prueba del teorema

De la teoría de grupo elemental, podemos ver que para cualquier g del elemento en el G, debemos tener g * G = el G ; y por la cancelación gobierna, ese g * x = el g * el y si y solamente si el x = el y . La multiplicación por el g actúa tan como un Bijective g del _{del f de la función : G del → de G del, definiendo el g} ( x ) del _{del f = g * x . Así, el g} del _{del f es una permutación del G, y así que es un miembro de Sym ( G ). El K del subconjunto de Sym ( G ) definido como K = { g del _{del f : g en el g} ( x ) del _{del G y del f = g * el x para todo el x en el G } es un subgrupo de Sym ( G ) que sea isomorfo al G . La manera más rápida de establecer esto es considerar T de la función: → Sym ( G ) de G del con el T ( g ) = g} del _{del f para cada g en el G . El T es un homomorfismo del grupo porque (usar " •" para la composición en Sym ( G )): ( g} del _{del f • h}) ( x ) del _{del f = g} ( h ( x ) del _{del f del _{) del f = g} ( h * x ) = g * ( h * x ) = ( g * h ) * x del _{del f = _{del f ( g * h )} ( x ), para todo el x en el G, y por lo tanto: T ( g ) • T ( h ) = g} del _{del f • h del _{del f} = _{del f ( g * h )} = T ( g * h ). El T del homomorfismo es también el inyectivo desde el T ( g ) = el G} (el elemento del id_{de identidad de Sym ( G )) implica ese g*x del = el x para todo el x en el G, y tomar el x para ser el e del elemento de identidad del G rinde el g = el g * e = el e .}}
Así el G es isomorfo a la imagen del T, que es el K del subgrupo considerado anterior.
El T a veces se llama el representación regular del G de .

Ajuste alterno de la prueba
Un ajuste alterno utiliza la lengua de las acciones de grupo que consideramos a grupo $G$ como G-fijó, que se puede demostrar para tener representación de la permutación, dice el $\ phi$ . En primer lugar, suponer $G=G/H$ con el $H= \ {e \}$ . Entonces la acción de grupo es $g.e$ por la clasificación de las G-órbitas (también conocidas como el teorema del órbita-estabilizador).
Ahora, la representación es fiel si el $\ phi$ es inyectivo, es decir, si el núcleo del $\ phi$ es trivial. Entonces suponer el $\ phi$ del ker del ∈ de $g$ , $g=g.e$ por la equivalencia de la representación de la permutación y de la acción de grupo. Pero desde el $\ phi$ del ker del ∈ de $g$ , $\ phi (g)=e$ y el $\ phi$ del ker es así trivial. Entonces el $im \ la phi < G$ y el resultado sigue así por medio del primer teorema del isomorfismo.

Observaciones en la representación de grupo regular
El elemento del grupo de la identidad corresponde a la permutación de la identidad. El resto de los elementos del grupo corresponden a una permutación que no deje ninguÌn elemento sin cambios. Puesto que esto también solicita energías de un elemento del grupo, bajar que la orden de ese elemento, cada elemento corresponde a una permutación que consista en los ciclos que están de la misma longitud: esta longitud es la orden de ese elemento. Los elementos en cada ciclo forman un izquierdo Coset del subgrupo generado por el elemento.
Ejemplos de la representación de grupo regular
Z₂ = {0.1} con el modulo 2 de la adición; el elemento 0 del grupo corresponde a la permutación e, elemento 1 del grupo a permutación (12) de la identidad. Z₃ = {0.2} con el modulo 3 de la adición; el elemento 0 del grupo corresponde a la permutación e de la identidad, el elemento 1 del grupo a la permutación (123), y el elemento 2 del grupo a la permutación (132). 1 + 1 = 2 corresponde a (123) (123) = (132).
Z₄ = {0.3} con el modulo 4 de la adición; los elementos corresponden a e, (1234), (13) (24), (1432).
Los elementos del cuatro-grupo {e, a, b, c} de Klein corresponden a e, (12) (34), (13) (24), y (14) (23).
S₃ (grupo Dihedral de la orden 6 ) es el grupo de todas las permutaciones de 3 objetos, pero también un grupo de la permutación de los elementos de 6 grupos:
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