Teorema de Egorov - Enciclopedia España

En la teoría de medida, un área de las matemáticas, teorema de Egorov del establece una condición para la convergencia uniforme de una secuencia convergente del pointwise de funciones mensurables que el teorema se nombra después Dmitri Egorov, de un físico ruso y de geómetra, que lo publicaron en 1911.

El teorema de Egorov se puede utilizar junto con las funciones continuas compacto apoyadas para probar el teorema de Lusin para las funciones integrables

Declaración del teorema

Dejado ( M, d ) denotar un espacio métrico separable (tal como los números verdaderos con el generalmente del d ( un, b ) de la distancia; = | un de ; − b | como métrico). Dado una secuencia ( f_n ) del M - funciones mensurables valoradas en un cierto espacio de medida ( X, Σ, μ), y un mensurable A del subconjunto del &mu finito; - medir tales que (el n del _{del f ) converge el &mu de ; - el casi por todas partes en el A a un f de la función de límite, el resultado siguiente se sostiene: para cada ε > 0, allí existe un mensurable B del subconjunto A tales que μ ( B ) < ε, y (el f_n ) converge al f uniformemente en el relativo del A del complemento ; \ B . Aquí, μ ( B ) denota el μ - medida del B . En palabras, el teorema dice que la convergencia del pointwise casi por todas partes en el A implica la convergencia uniforme al parecer mucho más fuerte por todas partes excepto en un cierto B del subconjunto de la medida arbitrariamente pequeña. Este tipo de convergencia también se llama la convergencia casi uniforme del .

Discusión de asunciones
Observar que el &mu de la asunción; ( A ) < ∞ es necesario. Bajo medida de Lebesgue, considerar la secuencia de las funciones con valores reales del indicador $f_n del l (x) = {} (x), 1_ \ qquad n \ en \, \ x \ en \ mathbb {R},$ del mathbb {N}
definido en la línea verdadera . Esta secuencia converge pointwise a la función cero por todas partes pero no converge uniformemente en del R ; \ B para cualquie B del sistema de la medida finita.
La posibilidad de separación del espacio métrico es necesaria cerciorarse de que para el valorado, measuable f del M - de las funciones y el g, el d ( f ( x ), g ( x ) de la distancia) está otra vez una función con valores reales mensurable del x .

Prueba
Para el n de los números naturales y el k, definir el E_{n, k} del sistema por la unión

$E_ {n, k} = \ bigcup_ {} \ Bigl de m \ GE n \ {x \ en A \, \ grande|\, d (f_m (x), f (x)) \ GE \ frac1k \ Bigr \}.$
Estos sistemas consiguen más pequeños como el n aumenta, significando ese n +1, k del _{del E son siempre un subconjunto de E_{n, k}, porque la unión implica pocos sistemas. Un x del punto, para el cual la secuencia ( f_m ( x )) converge al f ( x ), puede para el fijo k no estar en cada E_{n, k}, porque el f_m ( x ) tiene que permanecer más cercano al f ( x ) que 1 k eventual. Por lo tanto por la asunción del μ - casi por todas partes convergencia del pointwise en el A,}
$\ MU \ biggl (\ bigcap_ {n \ en \ mathbb {N}} E_ {n,} \ biggr) =0$ de k
para cada k . Desde el A está de medida finita, nosotros tiene continuidad de arriba, por lo tanto existe, para cada k, un cierto n_k del número natural tales que < \ frac \ varepsilon {2^k} del $\ MU (E_ {n_k, k} del ) del .$
Para el x en este sistema consideramos la velocidad del acercamiento en los 1 k - vecindad f ( x ) como demasiado lento. Definir = \ bigcup_ {k \ en \ mathbb {N} del $del l B} E_ {n_k, k}$ como el sistema de todo x de esos puntos en el A, para el cual la velocidad del acercamiento en por lo menos uno de estos 1 k - las vecindades del f ( x ) son demasiado lentas. En el del A de la diferencia determinada; \ El B por lo tanto tenemos convergencia uniforme. El apelar a la aditividad de la sigma del μ y usando la serie geométrica, conseguimos el $\ MU del (B) \ le \ sum_ {k \ en \} \ MU (E_ {n_k, k} del mathbb {N}) \ le \ sum_ {k \ en \} \ frac \ varepsilon {2^k}$
del mathbb {N} \ varepsilon.
Zenithic
KamionkaRandom links: Clark Kent | Estrecho de Dinamarca | Intestino grande (Fu) | Norma Kelly | Megazostrodon}

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Declaración del teorema

Discusión de asunciones

Prueba

del mathbb {N} \ varepsilon. ZenithicKamionkaRandom links:Clark Kent | Estrecho de Dinamarca | Intestino grande (Fu) | Norma Kelly | Megazostrodon

del mathbb {N} \ varepsilon.
Zenithic
Kamionka
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