En la teoría de número, la conjetura de Mordell del indicó que un resultado básico con respecto a las soluciones del número racional a las ecuaciones Diophantine él fue probado eventual por el Gerd Faltings en 1983, cerca de seis décadas después de que la conjetura fue hecha; ahora se conoce como teorema de Faltings del .

Fondo

Suponer que nos dan un algebraico C de la curva definido sobre los números racionales (es decir, el C es definido por polinomios con coeficientes racionales), y suponer más lejos que el C es el no singular (en este caso esa condición no es una restricción verdadera). ¿Cuántos puntos racionales (puntos con coeficientes racionales) están en el C ?

La respuesta depende del género g del de la curva. Al igual que común en la teoría de número, hay tres casos: g = 0, g = 1, y g mayor de 1. El g = 0 casos se ha entendido durante mucho tiempo; El Mordell solucionó el g = 1 caso, y conjeturó el resultado para el g mayor de 1 caso.

Declaración de resultados

El resultado completo es éste:

Dejar el C ser una curva algebraica no singular sobre los números racionales del género g . Entonces el número de puntos racionales en el C puede ser determinado como sigue:
g del caso del

= 0: ningunos puntos o infinitamente muchos; El C se maneja como sección cónica .
g del caso = 1: no hay puntos, o el C una curva elíptica con un número finito de puntos racionales que forman un grupo abeliano de la estructura absolutamente restricta, o un número infinito de puntos que formaban un finito generó el grupo abeliano (teorema de Mordell del, el resultado inicial del teorema de Mordell-Weil).
g del caso > 1: según la conjetura de Mordell del, ahora teorema de Faltings, solamente un número finito de puntos.

Pruebas

La prueba original de Faltings utilizó la reducción sabida a un caso de la conjetura de Tate, y un número de herramientas de la geometría algebraica, incluyendo la teoría de los modelos de Néron un número de pruebas subsecuentes se han encontrado desde entonces, aplicando métodos algo diversos.