En las matemáticas, el teorema de Gelfand-Naimark del indica que un arbitrario A de C*-algebra es isométrico *-isomorphic al *-algebra del A. de los operadores limitados en un espacio de Hilbert . Este resultado era un punto significativo en el desarrollo de la teoría de C*-algebras en los años 40 tempranos puesto que estableció la posibilidad de considerar *-algebra del A. como entidad algebraica abstracta sin referencia a las realizaciones particulares como álgebra de operadores.

El π de la representación de Gelfand-Naimark es la suma directa f del π _{de las representaciones del A donde el f se extiende sobre el sistema de los estados puros de A y del f del π es la representación irreducible asociada al f por la construcción GNS. Así la representación de Gelfand-Naimark actúa encendido la suma directa de Hilbert del f} del _{del H de los espacios de Hilbert cerca}

$\backslash \; pi\; (x)\; \backslash \; xi\_f\; =\; \backslash \; bigoplus\_\; \{\}\; de\; f\; \backslash \; pi\_f\; (x)\; \backslash \; xi\_f.$

Observar que el π ( x ) es operador linear limitado puesto que es la suma directa de una familia de operadores, cada uno que tiene ≤ de la norma || x ||. La representación de Gelfand-Naimark del *-algebra del A. es un *-representation isométrico.

Es suficiente demostrar que el π del mapa es inyectivo, puesto que para los *-morphisms de C*-algebras inyectivos implica isométrico. Dejar el x ser un elemento diferente a cero del A . Por el teorema de la extensión de Krein para los functionals lineares positivos, hay un f del estado en el A tales que el ≥ 0 del f ( z ) para todo el z no negativo en el A y el f (− x * x ) < 0. Considerar el f del π _{de la representación de GNS con el ξ cíclico del vector. Desde entonces}

$\backslash |\backslash \; pi\_f\; (x)\; \backslash \; XI\; \backslash |^2\; =\; \backslash \; langle\; \backslash \; pi\_f\; (x)\; \backslash \; XI\; \backslash \; mediados\; de\; \backslash \; pi\_f\; (x)\; \backslash \; XI\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; \backslash \; XI\; \backslash \; mediados\; de\; \backslash \; pi\_f\; ()\; del\; x^*\; \backslash \; pi\_f\; (=\; de\; x)\; \backslash \; XI\; \backslash \; rangle\; \backslash \; langle\; \backslash \; XI\; \backslash \; mediados\; de\; \backslash \; pi\_f\; (x^*\; x)\; \backslash \; XI\; \backslash \; rangle=\; f\; (x^*\; x)\; >\; 0,$

sigue ese ≠ 0 del f del π_{. Injectivity del π sigue.}

La construcción de la representación del de Gelfand-Naimark depende solamente de la construcción GNS y por lo tanto es significativa para cualquier A de B*-algebra que tiene una identidad aproximada . En general no será una representación fiel . El encierro de la imagen del π ( A ) será *-algebra del A. de los operadores llamados la álgebra de C*-enveloping A . Equivalente, podemos definir Álgebra de C*-enveloping como sigue: Definir una función con valores reales en el A por el $del\; \backslash |x\; \backslash |=\; \backslash \; sup\_f\; \backslash raíz\; cuadrada\{f\; (x^*\; x)\}$ del _ {\ ^* del operatorname {C}} como f se extiende sobre estados puros del A . Ésta es una semi-norma, a que referimos como la semi-norma de C* del del A . El I del sistema de elementos del A cuya semi-norma es 0 forma dos - echado a un lado - ideal en el A cerrado bajo involución. Así el A / I del espacio de vector del cociente es una álgebra involutiva y la norma

$||\; \backslash \; cdot\; ||\_\; \{\backslash \; ^*\; del\; operatorname\; \{C\}\}$

El descompone en factores con una norma en el A /el I, que a excepción de lo completo, es A. * norma en el A / I (éstos a veces se llaman los pre-C*-norms). Tomar la terminación del A / I concerniente a este pre-C*-norm produce el B del *-algebra del A.

Por el teorema de Krein-Milman uno puede demostrar sin demasiada dificultad que para el x un elemento del A de B*-algebra que tiene una identidad aproximada: $del\; \backslash \; sup\_\; \{f\; \backslash \; en\; \backslash \; operatorname\; \{estado\}\; (a)\}\; f\; (=\; \backslash \; sup\_\; \{f\; \backslash \; en\; \backslash \; operatorname\; \{PureState\}\; (a)\}\; f\; (x^*x)$ del x^*x) Sigue que una forma equivalente para la norma de C* en el A es tomar el supremum antedicho sobre todos los estados.

La construcción universal también se utiliza para definir el C*-algebras universal de isometries. La representación de Gelfand o el isomorfismo de Gelfand para un C*-algebra comutativo con la unidad $A$ es un *-isomorphism isométrico de $A$ a la álgebra de funciones complejo-valoradas continuas en el espacio de functionals lineares multiplicativos del A con la topología del weak*.