En las matemáticas, el teorema de Gromov del en los grupos del crecimiento polinómico, nombrados para el Mikhail Gromov, caracteriza finito generado el agrupa del crecimiento polinómico del, como esos grupos que tengan nilpotent subgrupos del índice finito .

El índice de crecimiento de un grupo es una noción bien definida del análisis asintótico . Para decir que un grupo finito generado tiene medios polinómicos del crecimiento el número de elementos de la longitud (concerniente a un sistema de generación simétrico) a lo más el n es limitado arriba por un polinómico p ( n ) de la función . La orden del del crecimiento es entonces el menos grado de cualquier p de la función polinómica.

Un nilpotent G del grupo del es un grupo con una serie central más baja que termina en el subgrupo de la identidad.

El teorema de Gromov indica que un grupo finito generado tiene crecimiento polinómico si y solamente si tiene un subgrupo nilpotent que esté de índice finito.

Hay una literatura extensa en las tasas de crecimiento, conduciendo al teorema de Gromov. Un resultado anterior del lobo de José A. demostró que si el G es finito generado el grupo nilpotent, entonces el grupo tiene crecimiento polinómico. El bajo de Hyman computaba la orden exacta del crecimiento polinómico. Dejar el G ser un grupo nilpotent finito generado con un $más\; bajo\; del\; de\; la\; serie\; central\; G\; =\; G\_1\; \backslash \; supseteq\; G\_2\; \backslash \; supseteq\; \backslash \; ldots$ Particularmente, el G_k/G_k+1 del grupo del cociente es un grupo abeliano finito generado.

El teorema del bajo del indica que es la orden del crecimiento polinómico del G $d\; (G)\; =\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; operatorname\; \{fila\}\; (G\_k/G\_\; \{k+1\}\; del\; sum\_\; \{k\; \backslash \; geq\; 1\}\; k)$ del

l

donde: la fila denota a fila de un grupo abeliano, es decir el número más grande de elementos independientes y torsión-libres del grupo abeliano.

Particularmente, los teoremas de Gromov y del bajo implican que la orden del crecimiento polinómico de un grupo finito generado es siempre un número entero o infinito (que excluye por ejemplo, energías fraccionarias).

Para probar este teorema Gromov introdujo una convergencia para los espacios métricos. Esta convergencia, ahora llamada la convergencia de Gromov-Hausdorff, es actual ampliamente utilizada en geometría.