En las matemáticas, específicamente en la geometría algebraica, el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch del es un resultado de gran envergadura en el cohomology coherente . Es una generalización del teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch, sobre los múltiples complejos que es sí mismo una generalización del teorema clásico de Riemann-Roch para la línea paquetes en las superficies de Riemann del acuerdo

El tipo teoremas de Riemann-Roch relaciona las características de Euler Cohomology de un paquete del vector con sus grados topológicos o más generalmente sus clases de la característica en la homología (co) o los análogos algebraicos de eso. El teorema clásico de Riemann-Roch hace esto para las curvas y la línea paquetes, mientras que el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch generaliza esto para vector paquetes sobre los múltiples. El teorema de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch fija ambos teoremas en una situación relativa de un Morphism entre dos múltiples (o esquemas más generales ) y cambios el teorema de una declaración sobre un solo paquete, a uno que se aplica a los complejos de la cadena de las gavillas .

El teorema ha sido muy influyente, especialmente para el desarrollo del teorema del índice del Atiyah-Cantante. Inversamente, los análogos analíticos complejos del teorema de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch se pueden probar usar el teorema del índice de las familias. El Alexander Grothendieck, su autor, fue rumoreado para haber acabado la prueba alrededor de 1956 pero no publicó su teorema porque lo no satisficieron con él. En lugar el Armand Borel y el Juan Pedro Serre, prepararon y publicaron la prueba preliminar de Grothendieck (mientras que él lo vio).

Formulación

Dejar el X ser un esquema Cuasi-descriptivo liso sobre un campo . Bajo estas asunciones, el grupo de Grothendieck

$K\_0\; del\; (X)\; \backslash ,$

del limitado los complejos de las gavillas coherentes que es canónico isomorfo al grupo de Grothendieck de complejos limitados de finito-alinean paquetes del vector. Usar este isomorfismo, considerar el carácter de Chern

$\backslash \; mbox\; \{\}\; \backslash ,\; del\; ch$

(una combinación racional de Chern clasifica ) como transformación de Functorial $del$

l \ mbox {ch}: K_0 (X) \ a A (X, {\ Bbb Q})

donde

$A\_d\; (X,\; \{\backslash \; Bbb\; Q\})\; \backslash ,$

es el grupo del perro chino de ciclos en el X de la equivalencia racional, del modulo del d de la dimensión tensored con los números racionales en caso de que el X se defina sobre los números complejos que el grupo de estes 3ultimo traza al grupo topológico de Cohomology $H^\; del$

l {2 \ mathrm (x) {dévil} - 2.

Ahora considerar un el morphism apropiado

$f:\; X\; \backslash \; a\; Y\; \backslash ,$

entre esquemas cuasi-descriptivos lisos y un complejo limitado del $de\; las\; gavillas\; \{\backslash \; de\; F^\; mathcal\; \backslash \; del\; toro\}.$

El teorema de Grothendieck-Riemann-Roch del relaciona los mapas delanteros del empuje $f\_\; del$

l {\ mbox {!}} = \ f_* de R^i del ^i de la suma (- 1): K_0 (X) \ a K_0 (Y)

y el pushforward $f\_*\; del$

l \ dos puntos A (X) \ a A (Y), \,

por la fórmula $del$

l \ mbox {ch} (f_ {\ mbox {!}} {\ F mathcal} ^ \ toro) \ mbox {TD} (y) = f_* (\ mbox {ch} ({\ F mathcal}) del ^ \ del toro \ mbox {TD} (x)). Aquí TD ( X ) es el género de Todd (el paquete de la tangente de) del X . Así el teorema da una medida exacta para la carencia del commutativity de tomar el empuje remite en los sentidos antedichos y el carácter chern y demuestra que los factores de corrección necesarios dependen del X y del Y solamente. De hecho, puesto que el género de Todd es functorial y multiplicativo en las secuencias exactas podemos reescribir la fórmula de Grothendieck Hirzebruch Riemann Roch a $del$

l \ mbox {ch} (f_ {\ mbox {!}} {\ F mathcal} ^ \ toro) = f_* (\ mbox {ch} ({\ F mathcal}) \ mbox {TD} (T_f) del ^ \ del cdot).

donde está la gavilla $T\_f$ relativa de la tangente f . Esto es a menudo útil en usos, por ejemplo si el f es un trivial Fibration localmente .

Generalización y especialización

Las generalizaciones del teorema se pueden hacer al caso no-liso considerando una generalización apropiada de la combinación ch (el —)TD ( X ) y al caso no-apropiado considerando el Cohomology con las ayudas . El teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch es (esencialmente) el caso especial donde está un punto el Y y el campo es el campo de números complejos.

Historia

La versión de Grothendieck del teorema de Riemann-Roch fue transportada original en una letra a Serre alrededor de 1956-7. Fue hecha pública en el inicial Arbeitstagung de Bonn, en 1957. Serre y el Armand Borel organizaron posteriormente un seminario en Princeton para entenderlo. El papel publicado final era en efecto la exposición de Borel-Serre.

La significación del acercamiento de Grothendieck se basa sobre varios puntos. Primero, Grothendieck cambió la declaración sí mismo: el teorema era, cuando, entendido para ser un teorema sobre una variedad, mientras que después de Grothendieck, era sabido esencialmente para ser entendido como teorema sobre un morphism entre las variedades. En fin, él aplicó un acercamiento categórico fuerte a un pedazo de análisis duro. Por otra parte, Grothendieck presentó a los K-grupos, según lo discutido arriba, que pavimentaron la manera para la teoría algebraica de K.