En las matemáticas, el teorema de Hales-Jewett del es un resultado combinatorio fundamental de la teoría de Ramsey, referente al grado a el cual los objetos alto-dimensionales deben exhibir necesario un poco de estructura combinatoria; es imposible que tales objetos sean " totalmente random".
Una declaración geométrica informal del teorema es ésa para cualquier positivo n de los números enteros y el c hay un H del número tales que si las células de un H - el cubo dimensional del n del × del × del n del × del n del × del n … se colorea con colores del c, allí debe ser una fila, columna, etc. diagonal del n todo de la longitud cuyas de células está el mismo color. Es decir el alto-dimensional, multi-player, n - la generalización de la en-uno-fila del juego del Tic-tac-dedo del pie no puede terminar en un drenaje, no importa cómo es el grande n, y no importa cómo el c de mucha gente está jugando, si se juega en un tablero del suficientemente alto H de la dimensión. Por una estrategia estándar que roba la discusión, uno puede concluir así que el primer jugador tiene una estrategia que gana cuando el H es suficientemente grande, aunque no se sabe ninguÌn algoritmo constructivo para obtener esta estrategia.
Más formalmente, dejar el H del n del del W ser el sistema de palabras del H de la longitud sobre un alfabeto con las letras del n ; es decir, el sistema de secuencias de {1, 2,…, n } del H de la longitud. Este sistema forma el hypercube que es el tema del teorema. Un w ( x ) de la palabra variable del sobre el H del n del del W todavía tiene H de la longitud pero incluye el especial x del elemento en lugar por lo menos de una de las letras. El de las palabras w (1), w (2),…, el w ( n ) obtenido substituyendo todos los casos del especial x por 1, 2 del elemento,…, el n, forma una línea combinatoria del en el H del n del del W del espacio; las líneas combinatorias corresponden a las filas, a las columnas, y (algo de) a las diagonales Hypercube . El teorema de Hales-Jewett entonces indica que para el positivo dado n de los números enteros y el c, existe un positivo H del número entero, dependiendo del n y el c, tal que para cualquier partición del H del n del del W en piezas del c, hay por lo menos una porción que contiene una línea combinatoria entera. Por ejemplo, n de la toma = 3, H = 2, y c = 2. El H Ahora probamos el teorema de Hales-Jewett en el n =3, c =2, H =8 del caso especial discutido arriba. La idea está a reducir esta tarea a la de probar versiones más simples del teorema de Hales-Jewett (en este caso particular, al n =2 de los casos, al c =2, al H =2 y al n =2, c =6, H =6). Uno puede probar el caso general de el teorema de Hales-Jewett por métodos similares, usar la inducción matemática . Cada elemento del W 38 de Hypercube es una cadena de ocho números a partir de la 1 a 3, e. 13211321 es un elemento Hypercube . Estamos asumiendo que este Hypercube está llenado totalmente del " noughts" y " crosses". Utilizaremos una prueba por la contradicción y asumiremos que ni el sistema de nadas ni el sistema de cruces contiene una línea combinatoria. ¿Si fijamos los primeros seis elementos de tal secuencia y dejamos los dos pasados variar, obtenemos un tablero ordinario, por ejemplo 132113 del Tic-tac-dedo del pie ?? da a tal tablero. ¿Para cada tal abcdef del tablero??, consideramos las posiciones abcdef11, abcdef12, abcdef22. Cada uno de éstos se debe llenar de una nada o de una cruz, tan por El principio de casillero dos de ellas se debe llenar del mismo símbolo. Puesto que cualesquiera dos de estas posiciones son parte de una línea combinatoria, el tercer elemento de esa línea se debe ocupar por el símbolo opuesto (puesto que estamos asumiendo que ninguna línea combinatoria tiene tres elementos llenados del mismo símbolo). Es decir para cada opción del abcdef (que se puede pensar en como elemento del seis-dimensional W 36 del hypercube), hay seis posibilidades (traslapadas): el abcdef11 y abcdef12 es nadas; abcdef13 es una cruz. Así podemos repartir el seis-dimensional W 36 de Hypercube en seis clases, correspondiendo a cada uno de las seis posibilidades antedichas. (Si un abcdef del elemento obedece posibilidades múltiples, podemos elegir uno arbitrariamente, e. eligiendo el más alto en la lista antedicha). Ahora considerar los siete elementos 111111, 111112, 111122, 111222, 112222, 122222, 222222 en el W 36. Por el principio de casillero, dos de estos elementos deben bajar en la misma clase. Suponer por ejemplo 111112 y 112222 la caída en clase (5), así 11111211, 11111222, 11222211, 11222222 es cruces y 11111233, 11222233 son nadas. Pero ahora considerar la posición 11333233, que se debe llenar de un cruzado o de una nada. Si se llena de una cruz, entonces la línea combinatoria 11xxx2xx se llena enteramente de las cruces, contradiciendo nuestra hipótesis. Si en lugar de otro se llena de un sin valor, después la línea combinatoria 11xxx233 se llena enteramente de las nadas, contradiciendo otra vez nuestra hipótesis. Semejantemente eventualmente otros dos de los siete elementos antedichos de la caída del W 36 en la misma clase. Puesto que tenemos una contradicción en todos los casos, la hipótesis original debe ser falsa; así allí debe existir por lo menos una línea combinatoria que consiste enteramente en nadas o enteramente en cruces. La discusión antedicha era algo derrochador; es absolutamente probable que el mismo teorema se sostenga para un valor más bajo del H . Si uno amplía la discusión antedicha a los valores generales del n y el c, después el H crecerá muy rápidamente; incluso cuando c =2 (que corresponde al Tic-tac-dedo del pie two-player ) que el H dado por la discusión antedicha crece tan rápido como la función de Ackermann. El límite recurrente primitivo del primer es debido al Saharon Shelah, y sigue siendo el límite más conocido en general para el H del número de Hales-Jewett del = el H ( n, c ). Observar que la discusión antedicha también da el corolario siguiente: si dejamos el A ser el sistema de todos números de ocho dígitos cuyos dígitos son todo el cualquiera 1, 2, 3 (así el A contiene números tales como 11333233), y coloreamos el A en dos colores, después el A contiene por lo menos una progresión aritmética de la longitud tres, todos cuyos de elementos está el mismo color. Esto está simplemente porque todas las líneas combinatorias que aparecen en sobre la prueba del teorema de Hales-Jewett, también formar las progresiones aritméticas en la notación decimal . Un más general la formulación de esta discusión se puede utilizar para demostrar a eso el teorema de Hales-Jewett generaliza el teorema de Van der Waerden. El teorema de Hales-Jewett es de hecho substancialmente un teorema más fuerte. Apenas como Van der Waerden el teorema tiene una versión más fuerte de la densidad del en el teorema de Szemerédi, El teorema de Hales-Jewett también tiene una versión de la densidad. En esta versión consolidada del teorema de Hales-Jewett, en vez de colorear el entero H .
Prueba del teorema de Hales-Jewett (en un caso especial)
Conexiones con otros teoremas
Ver también
Bartel Leendert van der Waerden Random links: gato Negro-footed | La hélice | Lista de lugares nombrados después de José Stalin | Motor de Buick V8 | Cyworld