leanup-reescribir En las matemáticas, el teorema de Künneth del de la topología algebraica describe la homología singular de los × del X del producto de cartesiano ; El Y de dos espacios topológicos en términos de homología singular agrupa el j ( Y, R ) del _{del i} ( X, R ) y del H del _{del H . En este artículo, el R es un anillo comutativo de coeficientes, y será suprimido de la notación en grupos de la homología. Incluso en el caso donde está el el R Z del anillo de los números enteros la declaración del resultado completo requiere un cierto uso de la álgebra Homological, a saber el uso de los functors del Tor de ahora en adelante los coeficientes en el R será entendido siempre tácito en la notación.}

Caso de un campo

Si el R se toma para ser un campo entonces no hay necesidad de invocar los functors del Tor. El resultado en este caso se puede utilizar como “primera aproximación” al caso general. Indica eso $H\_k\; del$

l (X \ épocas Y) \ cong \ bigoplus_ {i + j = k} H_i (X) \ otimes H_j (Y)

Fomentar allí es una demostración de la operación del producto cruzado del cómo un i - completar un ciclo en el X y un j - ciclo en el Y se puede combinar para crear (el i + el j ) - completan un ciclo en × del X ; Y ; de modo que haya un trazado linear explícito definido de la suma directa al k (× del _{del H del X ; Y ). La declaración del teorema de Künneth del, cuando el R es un campo, es que este trazado linear es un isomorfismo .}

Números de Betti de un producto

Por consiguiente el Betti numera de los × del X ; El Y es determinado por los del X y del Y ; la declaración es formalmente equivalente a decir eso si el Z ( t ) del _{del p es la función de generación de la secuencia del k} ( Z ) del _{del b de los números de Betti de un Z del espacio, entonces ¡$p\_\; del$}

l {X \ épocas Y} (t) = p_X (t) p_Y (t) \, \! .

Aquí cuando hay finito muchos números de Betti del X y el Y, que es un número natural algo que ∞, esto lee como identidad en los polinomios de Poincaré en el caso general que éstas son las series de energía formales con el ∞ posible de los coeficientes, y tiene que ser interpretada por consiguiente. Además, el Betti numera sobre cualquier F, k ( Z, F ) del campo del _{del b, satisface el mismo tipo de relación que el generalmente k} ( Z, Q ) del _{del b para los coeficientes del número racional (no necesitan realmente ser el los mismos números a menos que la homología sea el torsión-libre).}

Formulación del caso general

Para ampliar esto al caso del general R, es necesario cambiar la declaración: el R - el φ definido homomorfismo del módulo apenas de la misma manera por el producto cruzado es el inyectivo, y ahora hay una descripción de su Cokernel . Es decir, tenemos que definir un R - módulo = del $T\; del$

l \ bigoplus_ {p + q = k - 1} \ _R del operatorname {Tor} (H_p (X), H_q (Y))

Entonces el cokernel del φ es isomorfo al T .

Por lo tanto, en todo caso donde los grupos relevantes del Tor se pueden demostrar para desaparecer, tenemos un isomorfismo. Esto no es, sin embargo, universal verdad. (En los comienzos de la topología algebraica que los fenómenos causados por la torsión en homología agrupan, cuyo éste es una, aparecido investigadores sutiles y equivocados.)

Para la homología, tenemos el siguiente teorema del del

l (Künneth). si el X y el Y son los complejos del CW y el R es un dominio de ideal principal, después allí son las secuencias exactas del cortocircuito natural :: el $0\; \backslash \; rarr\; \backslash \; bigoplus\_i\; \backslash \; se\; fue\; (H\_i\; (X;\; R)\; \backslash \; otimes\_R\; H\_\; \{n-i\}\; (Y;\; R)\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; rarr\; H\_n\; (X\; \backslash \; épocas\; Y;\; R)\; \backslash \; el\; \_R\; del\; rarr\; \backslash \; del\; bigoplus\_i\; \backslash \; del\; mathrm\; \{Tor\}\; \backslash \; se\; fueron\; (H\_i\; (X;\; R),\; H\_\; \{n-i-1\}\; (Y;\; R)\; \backslash \; derecho)\; \backslash$
del rarr 0 y partido de estas secuencias (pero no canónico .

La prueba generalmente del resultado depende del teorema de Eilenberg-Zilber.

El resultado se nombra para el alemán Otto Hermann Künneth (1892-1975) del matemático. La idea de una fórmula de Künneth del ahora se ha convertido en un término genérico, aplicado a muchas teorías homological.