En las matemáticas, el teorema de Lindemann-Weierstrass del es un resultado que es muy útil en el establecimiento de la trascendencia de números. Indica eso si α ₁,…, α el n del _{es los números algébricos que son la independiente linear sobre el Q de los números racionales, después el $e^\; \{\backslash \; alpha\_1\},\; \backslash \; los\; ldots,\; e^\; \{\backslash \; alpha\_n\}$ es la independiente algebraico sobre el Q ; es decir el $del\; campo\; de\; extensión\; \backslash \; el\; mathbf\; \{Q\}\; (e^\; \{\backslash \; alpha\_1\},\; \backslash \; ldots,\; e^\; \{\backslash \; alpha\_n\})$ tiene n del grado de la trascendencia sobre el $\backslash \; el\; mathbf\; \{Q\}$.}

Una formulación equivalente, es la siguiente: Si α ₁,…, α el n del _{es números algébricos distintos, después el $e^\; de\; los\; exponentials\; \{\backslash \; alpha\_1\},\; \backslash \; los\; ldots,\; e^\; \{\backslash \; alpha\_n\}$ es linear independiente sobre los números algébricos.}

El teorema se nombra para el Fernando von Lindemann y el Karl Weierstrass . Lindemann probó en 1882 ese ^{&alpha del e ;} es trascendental para cada &alpha diferente a cero del número algébrico;, de tal modo estableciendo ese π es trascendental (véase abajo). Weierstrass probó la declaración más general antedicha en 1885.

El teorema, junto con el teorema de Gelfond-Schneider, es generalizado por la conjetura de Schanuel.

Trascendencia del e y del π

La trascendencia e del y del π son corolario directos de este teorema.

Suponer el α es un número algébrico diferente a cero; entonces {α} está linear una independiente fijada sobre los números racionales, y por lo tanto por la primera formulación del teorema {^{&alpha del e ;} } es algebraico un sistema de la independiente; o es decir ^{&alpha del e ;} es trascendental. Particularmente, el e ^{1 = el e es trascendental. (Una prueba más elemental de A que el e es trascendental se contornea en el artículo sobre los números trascendentales )}

Alternativo, usar la segunda formulación del teorema, podemos sostener eso si α es un número algébrico diferente a cero, entonces {0, el α} es un sistema de números algébricos distintos, y así que el $del\; sistema\; \backslash \; \{e^0,\; e^\; \backslash \; alfa\; \backslash \}\; =\; \backslash \; \{1,\; e^\; \backslash \; alfa\; \backslash \}$ es linear independiente sobre los números algébricos y particularmente el ^{&alpha del e ;} no puede ser algebraico y así que es trascendental. Ahora, probamos ese π es trascendental. Si π eran algebraico, 2π el i también (desde el 2 i es algebraico), y después sería algebraico por el teorema de Lindemann-Weierstrass e ^{2π el i} = 1 (véase la fórmula de Euler) sería trascendental, que es absurdo.

Una variante leve en la misma prueba demostrará eso si α es un número algébrico diferente a cero entonces sin (el α), lechuga romana (α), tan (α) y sus contrapartes hiperbólicas son también trascendentales.

p - conjetura adic

El p - conjetura adic de Lindemann-Weierstrass es que un '' p '' - análogo adic de de esta declaración es también verdad: suponer que el p es un cierto número primero y α ₁,…, α el n del es el p - los números adic que son algebraicos sobre el Q y linear la independiente sobre el Q, tales que para todo el i ; entonces el $e^\; de\; los\; exponentials\; de\; P-adic\; \{\backslash \; alpha\_1\},\; \backslash \; los\; ldots,\; e^\; \{\backslash \; alpha\_n\}$ es el p - los números adic que son algebraico independiente sobre el Q .

Ver también

Prueba que e es irracional
Prueba que π es irracional

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Zenithic

Sonangol Group

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