En la geometría, teorema de Thales el '(nombrado después Thales de Miletus) indica eso si A, B y C son puntos en un círculo del donde está un diámetro la línea CA el círculo, entonces el ABC del ángulo es un de ángulo recto.
Prueba
Utilizamos los hechos siguientes:
la suma de los ángulos en un triángulo es igual a dos ángulos rectos (° de 180 ),
los ángulos bajos de un triángulo isósceles son iguales.
Dejar O ser el centro del círculo. Desde el OA = OB = OC, OAB y OBC están triángulos isósceles, y por la igualdad de los ángulos bajos del triángulo isósceles, OBC = OCB y BAO = ABO. Dejar el α = BAO y el β = OBC. Los 3 ángulos internos del triángulo del ABC son α, α + β y β. Puesto que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos, tenemos el
entonces
o simplemente
Q.
Inverso
El inverso del teorema de Thales es también válido; indica que hipotenusa de s del triángulo correcto un la 'es un diámetro de su Circumcircle .Combinando el teorema de Thales con su inverso conseguimos eso: el el centro del circumcircle de un triángulo miente en uno de los lados del triángulo si y solamente si el triángulo es un triángulo correcto.
Prueba del inverso usar geometría
Esta prueba consiste en el “terminar” del triángulo correcto para formar un rectángulo y notando que el centro de ese rectángulo es equidistante de las cimas y así que es el centro del círculo el circunscribir del triángulo original, utiliza dos hechos:
los ángulos adyacentes del
en un paralelogramo son suplementarios (agregar al ° de 180 ) y,
las diagonales de un rectángulo son iguales y cruzadas en su punto medio.
Dejado haya un ABC de ángulo recto, r una línea paralela A. al paso por A y línea del S. paralela al AB que pasa por la C. Dejar D ser el punto de la intersección de las líneas r y S.
El cuadrilátero ABCD forma un paralelogramo por la construcción (como enfrente de lados ser paralelo). Puesto que en un paralelogramo los ángulos adyacentes son suplementarios (agregan a 180°) y el ABC es un de ángulo recto (el 90°) entonces pesca MALO con caña, el BCD, y el ADC también correctos (el 90°); por lo tanto ABCD es un rectángulo.
Dejar O ser el punto de la intersección de las diagonales CA y BD. Entonces el punto O, por el segundo hecho arriba, es equidistante de A, de B, de C, y de la D. Y O es tan centro del círculo el circunscribir, y la hipotenusa de la CA del triángulo es un diámetro del círculo.
Prueba del inverso usar álgebra linear
Esta prueba utiliza dos hechos:
dos líneas forman un de ángulo recto si y solamente si el producto de punto de sus vectores direccionales es cero, y
el cuadrado de la longitud de un vector es dado por el producto de punto del vector consigo mismo. Dejado haya un ABC y un círculo de ángulo recto M con la CA como diámetro. Dejar el centro del m mentir en el origen, para un cálculo más fácil. Entonces sabemos el
− C, porque el círculo centrado en el origen tiene CA como diámetro, y
(&minus de A; B) · (&minus de B; C) = 0, porque el ABC es un de ángulo recto. Sigue el
del
(&minus de A; B) · (&minus de B; C) (&minus de A; B) · (B + A) |A|&minus de 2; |B|2.
Por lo tanto:
l |A| = |B|.
Esto significa que el A y el B son equidistantes del origen, es decir del centro del M . Desde mentiras del A en el M, así que hace el B, y el M del círculo es por lo tanto el circumcircle del triángulo.
Los cálculos antedichos de hecho establecen que ambas direcciones del teorema de Thales son válidas en cualquier espacio del producto interno.
Generalización
El teorema de Thales es un caso especial del teorema siguiente: el dado tres puntos de A, B y C en un círculo con el centro O, el ángulo AOC es dos veces más grande que el ABC del ángulo. Ver el inscrito para pescar con caña, la prueba de este teorema es absolutamente similar a la prueba del teorema de Thales dada arriba.
Uso
El teorema de Thales se puede utilizar para construir la tangente a un círculo dado que pase a través de un punto dado.) Dado un k del círculo, con un de centro O, y un P del punto fuera del círculo, queremos construir las tangentes (del rojo) al k que pasan a través del P . Suponer (hasta ahora los tactos del t de la tangente el desconocido) el círculo en el T del punto. De simetría, está claro que el OT del radio es ortogonal a la tangente. Construir tan el H del punto mediano entre el O y el P, y dibujar un círculo centrado en el H a el O y el P . Por el teorema de Thales, el buscado T del punto es la intersección de este círculo con el dado k del círculo, porque ése es el punto en el k que termina un OTP del triángulo correcto.
Puesto que allí el círculo dos se interseca en dos puntos, podemos construir ambas tangentes de este modo.
Historia
Thales no era el primer para descubrir este teorema desde los egipcios y los babilónico deben haber sabido de esto empírico, no obstante no hay expediente de una prueba del teorema por cualquiera de ellos. El teorema se nombra después de Thales porque le dijeron para haber sido el primer para probar el teorema, usar sus propios resultados que los ángulos bajos de un triángulo isósceles son iguales, y que la suma de ángulos en un triángulo es igual a dos ángulos rectos.
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