El teorema de Tychonoff del indica que el producto de cualquier colección de los espacios topológicos del acuerdo es compacto. El teorema se nombra después Andrey Nikolayevich Tychonoff, que lo probó que primero en 1930 para las energías del intervalo de unidad cerrado y en 1935 indicó el teorema completo junto con la observación que su prueba era igual que para el caso especial. La prueba publicada lo más temprano posible sabida se contiene en un papel 1937 Eduard Čech .

Varios textos identifican el teorema de Tychonoff como el solo resultado más importante de la topología general Willard, P. 120; otros permiten que comparta este honor con el lema de Urysohn.

Definición

El teorema crucial depende de las definiciones exactas de la compacticidad y de la topología del producto; de hecho, el papel de Tychonoff 1935 define la topología del producto por primera vez. Inversamente, parte de su importancia es dar confianza que estas definiciones particulares están las correctas (es decir, el más útil) unos.

De hecho, la definición de Heine-Borel de la compacticidad - que cada cubierta de un espacio por los sistemas abiertos admite subcovering finito - es relativamente reciente. Más popular en los diecinueveavo y a principios de siglo 20 siglos era el criterio de Bolzano-Weierstrass que cada secuencia admite un subsequence convergente, ahora llamado el la compacticidad secuencial . Estas condiciones son equivalentes para los espacios de Metrizable pero ni unas ni otras implican la otra en la clase de todos los espacios topológicos.

Es casi trivial probar que el producto de dos espacios compactos es secuencialmente secuencialmente compacto -- uno pasa a un subsequence para el primer componente y entonces a un subsubsequence para el segundo componente. Un único " levemente más elaborado; diagonalization" la discusión establece la compacticidad secuencial de un producto contable de espacios secuencialmente compactos. Sin embargo, el producto de un número no numerable de copias del intervalo de unidad cerrado no puede ser secuencialmente compacto.

Esto es una falta crítica: si X es un espacio de Hausdorff totalmente regular, hay una encajadura natural del X en el C ( X ,) del ^{, a donde está el sistema el C ( X ,) de mapas continuos del X . La compacticidad del C ( X ,)} del ^{demuestra así que cada espacio totalmente regular de Hausdorff encaja en un espacio de Hausdorff compacto (o, puede ser el " compactified".) Esta construcción no es ninguna con excepción del compactification de la Piedra-Čech. Inversamente, todos los subespacios de los espacios de Hausdorff compactos son Hausdorff totalmente regular, así que éste caracteriza los espacios de Hausdorff totalmente regulares pues los que puedan ser comprimidos. Tales espacios ahora se llaman los espacios de Tychonoff}

Usos

El teorema de Tychonoff también se utiliza en la prueba del teorema de Banach-Alaoglu y en el del teorema de Ascoli. En general, cualquier clase de construcción que tome mientras que la entrada un objeto bastante general (a menudo de una naturaleza algebraica, o topológico-algebraica) y hace salir un espacio compacto es probable utilizar Tychonoff: e., el espacio de Gelfand de ideales máximos de una álgebra comutativa, el espacio de C* de la piedra de ideales máximos de una álgebra boleana, el espectro de Berkovich de un anillo comutativo de Banach.

Pruebas del teorema de Tychonoff

1) La prueba de Tychonoff 1930 utilizó el concepto de un punto de acumulación completo .

2) El teorema es un corolario rápido del teorema de la base inferior de Alexander.

Pruebas más modernas han sido motivadas por las consideraciones siguientes: el acercamiento a la compacticidad vía la convergencia de subsequences lleva a una prueba simple y transparente en el caso de sistemas de índice contables. Sin embargo, el acercamiento a la convergencia en un espacio topológico usar secuencias es suficiente cuando el espacio satisface el primer axioma del countability (como lo hacen los espacios metrizable), pero generalmente no de otra manera. Sin embargo, el producto uncountably de muchos espacios metrizable, cada uno con por lo menos dos puntos, no puede ser primero contable. Es tan natural esperar que una noción conveniente de la convergencia en espacios arbitrarios llevará a un criterio de la compacticidad que generaliza compacticidad secuencial en los spcaces metrizable que estarán según lo aplicado fácilmente para deducir la compacticidad de productos. Éste ha resultado ser el caso.

3) La teoría de la convergencia vía los filtros, debido al Enrique Cartan y convertido por el Bourbaki en 1937, lleva al criterio siguiente: un espacio es compacto si y solamente si converge cada ultrafiltro en el espacio. Con esto a disposición, la prueba llega a ser fácil: (filtro generado por) la imagen de un ultrafiltro en el espacio del producto debajo de cualquier mapa de la proyección es un ultrafiltro en el espacio del factor, que por lo tanto converge, por lo menos a un x_i del . Uno entonces demuestra que el ultrafiltro original converge al (x_i) .

El Munkres da en su libro de textos volver a trabajar de la prueba de Cartan-Bourbaki que no utiliza explícitamente ninguna lengua o preliminares filtro-teórica.

4) Semejantemente, la teoría de Moore-Smith de la convergencia vía redes, según lo complementado por la noción de Kelley de una red universal, lleva al criterio que un espacio es compacto si y solamente si converge cada red universal en el espacio. Este criterio lleva a una prueba (Kelley, 1950) del teorema de Tychonoff que es idéntico palabra por palabra a la prueba de Cartan/Bourbaki usar los filtros, excepto para la substitución repetida del " net" universal; para el " base" del ultrafiltro;.

5) Una prueba usar redes pero redes no universales fue dada en 1992 por Paul Chernoff.

Teorema y el axioma de la opción de Tychonoff

Todas las pruebas antedichas utilizan el axioma de la opción (CA) de cierta manera. Por ejemplo, las segundas aplicaciones de la prueba que cada filtro está contenido en un ultrafiltro (es decir, un filtro máximo), y ésta es consideradas por el lema de Zorn de invocación. El lema de Zorn también se utiliza para probar el teorema de Kelley, esa cada red tiene un subnet universal. De hecho estas aplicaciones de la CA son esenciales: en 1950 Kelley probó que el teorema de Tychonoff implica el axioma de la opción. Observar que una formulación de la CA es que el producto de cartesiano de una familia de sistemas no vacíos es no vacío; pero puesto que el sistema vacío es lo más ciertamente posible compacto, la prueba no puede proceder a lo largo de tales líneas directas. Así el teorema de Tychonoff ensambla varios otros teoremas básicos (e. que cada espacio de vector diferente a cero tenga una base) en ser el equivalente a la CA.

Por una parte, la declaración que cada filtro está contenido en un ultrafiltro no implica la CA. De hecho, él no difícilmente para ver que es equivalente al teorema ideal primero boleano (BPIT), a un punto intermedio bien conocido entre los axiomas de la teoría determinada de Zermelo-Fraenkel (ZF) y de la teoría de ZF aumentada por el axioma de la opción (ZFC). Un primer vistazo en la segunda prueba de Tychnoff puede sugerir que la prueba no utilice no más que (BPIT), en la contradicción al antedicho. Sin embargo, los espacios en los cuales cada filtro convergente tiene un límite único son exacto los espacios de Hausdorff. En general debemos seleccionar, para cada elemento del sistema de índice, un elemento del sistema no vacío de límites de la base proyectada del ultrafiltro, y por supuesto ésta utiliza la CA. Sin embargo, también demuestra que la compacticidad del producto de los espacios de Hausdorff compactos se puede probar usar (BPIT), y de hecho del inverso los asimientos también. Estudiar la fuerza teorema de Tychonoff para las varias clases restrictas de espacios es un área activa en la topología Fijar-teórica .

El análogo del teorema de Tychonoff en la topología insustancial no requiere ninguna forma del axioma de la opción.