En la lógica matemática, el teorema de la compacticidad del indica que a (posiblemente infinito) fijó que las oraciones de primer orden de tienen un modelo, Iff cada subconjunto finito de él tiene un modelo. Hay una generalización de la compacticidad para las idiomas que están de una orden más alta que las de primer orden. Con respecto a las teorías basadas en las lógicas que son terminantemente más fuertes que lógica de primer orden, la compacticidad se considera para ser una característica demasiado fuerte.

El teorema de la compacticidad para el cálculo proposicional es un resultado del teorema (que de Tychonoff dice que el producto de los espacios del acuerdo es compacto) aplicado a los espacios compactos de la piedra el ref>See Truss (1997). ; por lo tanto nombre de s del teorema el '.

Usos

Del teorema sigue por ejemplo que si una cierta oración de primer orden se sostiene para cada campo característico cero, después existe un constante p tales que la oración se sostiene para cada campo de más grande característico que el p . Esto puede ser vista como sigue: suponer que el S es la oración considerada. Entonces su S del ~ de la negación, junto con los axiomas del campo y la serie infinita del ≠ 0 de las oraciones 1+1, 1+1+1 el ≠ 0,… no es satisfiable por la asunción. Por lo tanto un subconjunto finito de estas oraciones no es satisfiable, significando que el S se sostiene en esos campos que tengan bastante grande característica.

También, sigue del teorema que cualquier teoría que tenga un modelo infinito tiene modelos de la cardinalidad grande arbitraria (éste es el teorema ascendente de Löwenheim-Skolem). Por ejemplo, hay así pues, modelos no estándar Peano aritmético con uncountably muchos “números naturales”. El análisis no estándar es otro ejemplo donde aparecen los números naturales infinitos, una posibilidad que no se pueda excluir por ninguna axiomatización - también una consecuencia del teorema de la compacticidad.

Pruebas

Uno puede probar el teorema de la compacticidad usar el teorema de lo completo de Gödel, que establece que un sistema de oraciones es satisfiable si y solamente si ninguna contradicción se puede probar de ella. Puesto que las pruebas son siempre finitas y por lo tanto implican solamente finito muchas de las oraciones dadas, el teorema de la compacticidad sigue. De hecho, el teorema de la compacticidad es equivalente al teorema de lo completo de Gödel, y ambos son equivalentes al lema, una forma débil del ultrafiltro del axioma de la opción .

Gödel probó original el teorema de la compacticidad apenas de esta manera, pero más adelante un cierto " puramente semantic" las pruebas del teorema de la compacticidad fueron encontradas, es decir, las pruebas que refieren a la verdad del pero no al provability del . Una de esas pruebas confía en el Ultraproducts que abisagra en el axioma de la opción como sigue:

Prueba: Fijar una lengua de primer orden L, y dejar Σ ser una colección de L-oraciones tales que cada subcollection finito de L-oraciones, ⊆ Σ del i de él tiene un $modelo\; \backslash \; \{M\}\; un\; \_i$ mathcal. También dejar el $\backslash \; el\; prod\_\; \{i\; \backslash \; subseteq\; \backslash \; sigma\}\; \backslash \; \{M\}\; \_i$ mathcal sea el producto directo de las estructuras y el I sea la colección de subconjuntos finitos de Σ. Para cada i en el I dejó i de A_{: = { I del ∈ del j : i del ⊇ del j }. La familia de todos estos sistemas que el i} de A _{genera un filtro, tan allí es un U del ultrafiltro que contiene todos los sistemas del i} de A _{de la forma.}

Ahora para cualquier φ de la fórmula en Σ tenemos:
el sistema A _{φ} está en el U
siempre que el ∈ A _{φ} , entonces j del j del ∈ del φ, por lo tanto φ se sostenga en $\backslash \; M\_j$ mathcal
el sistema de todo el j con la característica que el φ sostiene en $\backslash \; M\_j$ mathcal es un sobreconjunto de A _{φ} , por lo tanto también en el U Usar el teorema de Łoś vemos que el φ se sostiene en el $del\; ultraproduct\; \backslash \; el\; prod\_\; \{i\; \backslash \; subseteq\; \backslash \; sigma\}\; \backslash \; \{M\}\; el\; \_i/U$ mathcal. Este ultraproduct satisface tan todas las fórmulas en Σ.

Ver también

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