En la teoría de campo de clase, el teorema de la existencia de Takagi del indica que para cualquier K del campo de número hay una inclusión una por que invierte la correspondencia entre las extensiones abelianas finito del K (en un encierro algebraico fijo del K ) y de los grupos ideales generalizados de la clase definida vía un módulo del K .

Se llama un teorema de la existencia porque una carga principal de la prueba es demostrar la existencia de bastantes extensiones abelianas del K .

Formulación

Aquí un módulo (o el divisor del rayo del ) es un producto finito formal de las valuaciones (también llamado prepara o los lugares ) del K con los exponentes positivos del número entero. Las valuaciones de Arquímedes que pudieron aparecer en un módulo incluyen solamente los cuyas terminaciones sean los números verdaderos (no los números complejos); pueden ser identificadas con orderings en el K y ocurrir solamente al exponente uno.

El m del módulo es un producto de un (finito) no-de Arquímedes f del _{del m de la parte y de un (infinito) de Arquímedes m ∞ de la parte. El no-de Arquímedes f} del _{del m de la parte es un ideal diferente a cero en el anillo K} del _{del O de los números enteros del K y el de Arquímedes m ∞ de la parte es simplemente un sistema de embeddings verdaderos del K . Se asocian a tal m del módulo dos grupos de ideales fraccionarios. El más grande, m} del _{del I, es el grupo de toda la prima fraccionaria de los ideales relativamente al m (que significa que estos ideales fraccionarios no implican ninguna aparecer ideal primera en el f} del _{del m ). El más pequeño, m} del _{del P, es el grupo de ideales fraccionarios principales ( u / v ) donde están elementos el u y el v diferentes a cero del K} del _{del O que sean primeros al f} del _{del m, al f} del _{del m de la MOD del v del ≡ del u, y al u / v > 0 en cada uno de los orderings del m ∞. (Es importante aquí que en el m} , todo del _{del P que requerimos es que un poco de generador del ideal tiene la forma indicada. Si hace uno, otros no pudieron. Por ejemplo, tomando el K para ser los números racionales, el (3) ideal miente en el P 4 porque (3) = (- 3) y -3 cabe las condiciones necesarias. Pero (3) no está en el P 4∞ puesto que aquí se requiere que el generador positivo del del ideal es 1 MOD 4, que no está tan.) Cualquier H del grupo que miente entre el m} del _{del m} y del P del _{del I, el H del m} /del _{del I del cociente se pide un grupo ideal generalizado de la clase.}

Es estos grupos ideales generalizados de la clase que corresponden a las extensiones abelianas del K por el teorema de la existencia, y de hecho es los grupos de Galois de estas extensiones. Que los grupos ideales generalizados de la clase son finitos se prueba a lo largo de las mismas líneas de la prueba que el grupo ideal de la clase generalmente es finito, mucho antes de saber éstos son grupos de Galois de extensiones abelianas finitas del campo de número.

Una correspondencia bien definida

En realidad, la correspondencia entre las extensiones abelianas finitas del K y los grupos ideales generalizados de la clase no es absolutamente una por. Los grupos ideales generalizados de la clase definidos concerniente a diversos módulos pueden dar lugar a la misma extensión abeliana del K, y esto se codifica a priori en una relación de equivalencia algo complicada en grupos ideales generalizados de la clase.

En términos concretos, para el abeliano L de los números racionales, éste de las extensiones corresponde al hecho de que una extensión abeliana de los números racionales que mienten en un campo ciclotómico también miente en infinitamente muchos otros campos ciclotómicos, y para cada tal overfield ciclotómico uno obtiene por la teoría de Galois a subgrupo del grupo de Galois que corresponde al mismo L del campo.

En la formulación de Idelic de la teoría de campo de clase, uno obtiene una correspondencia una por exacta entre las extensiones abelianas y los grupos apropiados de Ideles donde los grupos ideales generalizados equivalentes de la clase en la lengua ideal-teórica corresponden al mismo grupo de ideles.

Trabajo anterior

Un caso especial del teorema de la existencia es cuando el m = 1 y el H = el P ₁. En este caso el grupo ideal generalizado de la clase es el grupo ideal de la clase K, y el teorema de la existencia dice que existe un abeliano L / K de la extensión único con el grupo de Galois isomorfo al grupo ideal de la clase del K tales que el L unramified en todos los lugares del K . Esta extensión se llama el campo de clase de Hilbert . Fue conjeturada por el David Hilbert para existir, y la existencia en este caso especial fue probada por el Furtwängler en 1907, antes del teorema general de la existencia de Takagi.

Otra y especial característica del campo de clase de Hilbert, no verdad de otras extensiones abelianas de un campo de número, es que todos los ideales en un campo de número llegan a ser principales en el campo de clase de Hilbert. Él required Artin y Furtwängler para probar que ocurre el principalization.

Historia

El teorema de la existencia es debido al Takagi, que lo probó en Japón durante los años aislados de la Primera Guerra Mundial . Él lo presentó en el congreso internacional de los matemáticos en 1920, llevando al desarrollo de la teoría clásica de la teoría de campo de clase durante los años 20. En la petición de Hilbert, el papel fue publicado en el Mathematische Annalen en 1925.