el

l esta página está sobre la reversión de Lagrange. Para la inversión, ver el teorema de la inversión de Lagrange.

En las matemáticas, el teorema de la reversión de Lagrange del da las series o el las extensiones formales de la serie de energía de ciertas funciones haber definido implícito de hecho, de composiciones con tales funciones.

Dejar el v ser una función del x y del y en términos de otro f de la función tales que el
$v=x+yf\; (v)$ del
Entonces para cualquie g, $g\; del\; (v)=g\; (x)+\; \backslash \; ^\; del\; sum\_\; \{k=1\}\; \backslash \; infty\; \backslash \; frac\; \{y^k\}\; \{k\; de\; la\; función!\}\backslash \; (\backslash \; frac\; \backslash \; x\; parcial\; \{\backslash \; parcial\}\; \backslash \; derecho)\; el\; ^\; dejado\; \{k-1\}\; \backslash \; se\; fue\; (f\; (x)^kg\text{'}(x)\; \backslash \; derecho)$ para el pequeño y . Si el g es el
$v=x+\; del$
de la identidad \ ^ del sum_ {k=1} \ infty \ frac {y^k} {k!}\ (\ frac \ x parcial {\ parcial} \ derecho) el ^ dejado {k-1} \ se fue (f (x)^k \ derecho)

En 1770, el José Louis Lagrange (1736-1813) publicó su solución de serie de energía de la ecuación implícita para el v que se menciona anteriormente. Sin embargo, su solución utilizó extensiones de serie incómodas de logaritmos. En 1780, el Pedro-Simon Laplace (1749-1827) publicó una prueba más simple del teorema, que fue basado en relaciones entre los derivados parciales con respecto al x variable y el Charles Hermite (1822-1901) del parámetro Y. que presentó la prueba más directa del teorema usando la integración del contorno.

El teorema de la reversión de Lagrange se utiliza para obtener soluciones numéricas a la ecuación de Kepler.

Prueba simple

Comenzamos escribiendo el $g\; del\; (v)\; =\; \backslash \; internacional\; DZ\; \backslash \; delta\; (y\; f\; (z)\; -\; z\; +\; x)\; g\; (z)\; (1-y\; f\text{'}(z))$ Escribiendo a la función delta como integral nos tenemos $del\; g\; (v)\; =\; \backslash \; internacional\; DZ\; \backslash \; internacional\; \backslash \; frac\; \{DK\}\; \{\}\; \backslash \; exp\; (ik\; f\; de\; 2\; \backslash \; pi\; (z)\; -\; z\; +\; x)\; g\; (z)\; (1-y\; f\text{'}(z))$

$$

\ sum_ {n0} ^ \ infty \ internacional DZ \ internacional \ frac {} \ frac de DK} {2 \ pi {^n} (del ik y f (z)) {n!} g (z) (1-y f'(z)) e^ {ik (x-z)}

$$

\ sum_ {n0} ^ \ infty \ ido (\ frac {\ parcial} {\ x parcial} \ derecho) ^n \ internacional DZ \ internacional \ frac {} \ frac de DK} {2 \ pi {^n} (de y f (z)) {n!} g (z) (1-y f'(z)) e^ {ik (x-z)}

El integral sobre el k entonces da el $\backslash \; el\; delta\; (x-z)$ y tenemos $del\; ^n\; de\; g\; (v)\; =\; \backslash \; ^\; del\; sum\_\; \{n=0\}\; \backslash \; infty\; \backslash \; haber\; ido\; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; x\; parcial\}\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; ido\; \backslash \; frac\; \{^n\}\; (de\; y\; f\; (x))\; \{n!\}\; g\; (x)\; (1-y\; f\text{'}(x))\; \backslash \; derecho$

$=\; \backslash \; el\; ^\; del\; sum\_\; \{n=0\}\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; x\; parcial\}\; \backslash \; derecho)\; el\; ^n\; infty\; \backslash \; dejado\; \backslash \; se\; fueron\; \backslash \; frac\; \{y^\; N-F\; (x)^n\; g\; (x)\}\; \{n!\}\; -\; \backslash \; frac\; \{y^\; \{n+1\}\}\; \{(n+1)!\}\backslash \; ido\; \backslash \; \{(g\; (x)\; f\; (x)^\; \{n+1\})\; “-\; g”\; (x)\; f\; (x)^\; \{n+1\}\; \backslash \; derechos\; \backslash \}\; \backslash \; derecho]$ El cambio de la suma y la cancelación después da el $g\; del\; del\; resultado\; (v)=g\; (x)+\; \backslash \; ^\; del\; sum\_\; \{k=1\}\; \backslash \; infty\; \backslash \; frac\; \{y^k\}\; \{k!\}\backslash \; (\backslash \; frac\; \backslash \; x\; parcial\; \{\backslash \; parcial\}\; \backslash \; derecho)\; el\; ^\; dejado\; \{k-1\}\; \backslash \; se\; fue\; (f\; (x)^kg\text{'}(x)\; \backslash \; derecho)$

.

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