En cinemática, el teorema de la rotación de Euler del indica que, en el espacio tridimensional, cualquier dislocación de un cuerpo rígido tales que un punto en el cuerpo rígido sigue siendo fijo, es equivalente a una rotación sobre un eje fijo a través de ese punto. El teorema se nombra después Leonhard Euler .

En términos matemáticos, esto es una declaración que, en el espacio 3D, cualquier dos sistemas coordinados con un origen común son relacionados por una rotación sobre un cierto eje fijo. Esto también significa que el producto de dos matrices de la rotación es otra vez una matriz de la rotación. La matriz de la rotación de A (no-identidad) tiene un valor propio verdadero que sea igual a la unidad. El vector propio que corresponde a este valor propio es el eje de la rotación que conecta los dos sistemas.

Usos

Generadores de rotaciones

Suponer que especificamos un eje de la rotación por un   del vector de unidad '' y '', '' z '';, y suponer que tenemos una rotación infinitamente pequeña del &Delta del ángulo; θ   sobre ese eje. A primero pedir el &Delta de la matriz de la rotación; R  se representa como: $\backslash \; delta\; del$

l R = \ comenzar {el bmatrix} 1&0&0 \ \ 0&1&0 \ \ 0&0&1 \ extremo {bmatrix} + \ comenzar {el bmatrix} 0 y \ z&-y \ - del z& 0& x \ \ &-x& 0 de y \ fin {} \, \ delta \ theta

del bmatrix \ mathbf {I} + \ mathbf {} \, \ delta \ theta de A.

Una rotación finita con &theta del ángulo; sobre este eje puede ser visto como sucesión del eje casi igual de las pequeñas rotaciones. Aproximar Δ θ   como θ / N donde   del N ; es un gran número, una rotación del θ sobre el eje puede ser representado como: ^N = \ dejado (\ mathbf {1} + \ frac {\ mathbf {} \ theta} {N} de A \ derecho) del $R\; del$

l \ aproximadamente e^ {\ mathbf {} \ theta de A}.

Puede ser visto que los estados del teorema de Euler esencialmente que las rotaciones de all se pueden representar en esta forma. Producto $\backslash \; mathbf\; \{\}\; \backslash \; theta$ de A es el " generator" de la rotación particular. El análisis es a menudo más fácil en términos de estos generadores, algo que la matriz completa de la rotación. El análisis en términos de generadores se conoce como la álgebra de mentira del grupo de la rotación.

Quaternions

Sigue del teorema de Euler que la orientación relativa de cualquier par de sistemas coordinados se puede especificar por un sistema de cuatro números. Tres de estos números son los cosenos de dirección que orientan el vector propio. El cuarto es el del ángulo sobre el vector propio que separa los dos sistemas de coordenadas. Tal sistema de cuatro números se llama un Quaternion .

Mientras que el quaternion como se describe anteriormente, no implica los números complejos si los quaternions se utilizan para describir dos rotaciones sucesivas, deben ser combinados usar la álgebra no conmutativa de Quaternion derivada por el serbal Hamilton de Guillermo con el uso de números imaginarios.

El cálculo de la rotación vía quaternions ha venido substituir el uso de los cosenos de dirección en los usos aeroespaciales con su reducción de los cálculos required, y su capacidad de reducir al mínimo errores round-off. También, en los gráficos de computadora la capacidad de realizar la interpolación esférica entre los quaternions con facilidad relativa está de valor.

Ver también

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