En las matemáticas, el teorema (1935) de la unión del, acreditado generalmente al Philip Pasillo del matemático, es un resultado combinatorio que da la condición permitiendo la selección de un elemento distinto de cada uno de una colección de los subconjuntos

Formalmente, dejar el S = {el 1 del _{del S, el 2} del _{del S ,…} sea a (no no necesario contable) fijan de subconjuntos finitos de un cierto M de una colección más grande. Un transversal o el sistema del de los representantes distintos (abreviado a veces como SDR) es un X del sistema = {el 1} del _{del x, el 2} del _{del x ,…} de elementos en parejas distintos del M (donde |X| = |S|) y con la característica que para todo el i, i} del _{del x es en el i} del _{del S .}

La condición de la unión del para el S es que, para cualquie T del subconjunto = {el i del _{del T } del S,}

$|\backslash \; bigcup\; T\_i|\; \backslash \; GE\; |T|$ (es decir cualquier subconjunto tomado junto tiene por lo menos elementos de n) de n

El teorema de la unión (más bien conocido como teorema de Pasillo del ) entonces indica que existe un sistema del distinto X de los representantes = {el i del _{del x } si y solamente si el S cumple la condición de la unión.}

Ejemplo: 1 del _{del S} = {1, 2, 3} 2 del _{del S} = {1, 4, 5} 3 del _{del S} = {3, 5}

Para este S del sistema = {el 1 del _{del S, el 2} del _{del S, el 3} del _{del S }, un SDR válido estaría {1, 4, 5}. (Observar esto no es único: {2, 1, 3} los trabajos manan igualmente)}

El ejemplo estándar de un uso del teorema de la unión es imaginarse a dos grupos de hombres y de mujeres del n . Cada mujer casaría feliz un cierto subconjunto de los hombres; y cualquier hombre se placería casar a una mujer que quiere casarlo. Considerar si es posible aparearse encima (en la unión ) de los hombres y de las mujeres de modo que cada persona sea feliz.

Si dejáramos el i del _{del M ser el sistema de los hombres que el i - la mujer del th se placería casarse, después el teorema de la unión indica que cada mujer puede casar feliz a un hombre si y solamente si la colección de sistemas { i} del _{del M } cumple la condición de la unión.}

Observar que la condición de la unión es que, para cualquier subconjunto $I$ de las mujeres, el número de hombres a que por lo menos una de las mujeres se placería casar ($|\backslash \; \_\; del\; bigcup\; \{i\; \backslash \; adentro\; I\}\; T\_i|$) sea por lo menos tan grande como el número de mujeres en ese subconjunto, $|I|\; =\; |\backslash \; \{T\_i:\; i\; \backslash \; adentro\; I\; \backslash \}|$. Es obvio que esta condición es que necesarios, como si no se sostengan, allí no son bastantes hombres a compartir entre las mujeres de $I$. Cuál es interesante es que es también una suficiente condición del .

El teorema tiene mucho otro " interesante; non-marital" usos. Por ejemplo, tomar una cubierta de tarjetas estándar, y repartirlas hacia fuera en 13 pilas de 4 tarjetas cada uno. Entonces, usar el teorema de la unión, podemos demostrar que es posible seleccionar exactamente 1 tarjeta de cada pila, tales que las 13 tarjetas seleccionadas contienen exactamente una tarjeta de cada fila (as, 2, 3,…, reina, rey).

Más abstracto, dejar el G ser un grupo, y el H sea un subgrupo finito G . Entonces el teorema de la unión se puede utilizar para demostrar que hay un X del sistema tales que el X es un SDR para ambo el sistema de izquierdo Cosets y cosets correctos del H en el G .

Esto se puede también aplicar al problema de la asignación: Dado un sistema de empleados de n, completar una lista de los trabajos cada uno de ellos poder realizarse. Entonces, podemos dar a cada persona un trabajo adecuado a sus capacidades si, y solamente si, para cada valor de k (1… n), la unión de cualquier k de las listas contiene por lo menos trabajos de k.

El problema más general de seleccionar el elemento de a (no no necesario distinta) de cada uno de una colección de sistemas se permite en general solamente si el axioma de la opción se acepta.

Prueba

Probamos que el teorema de la unión de Pasillo por la inducción en $\backslash \; se\; fue\; \backslash \; que\; el\; vert\; S\; \backslash derecho\backslash \; vert$, el tamaño de $S$.

El teorema es trivial verdad para el $\backslash \; el\; vert\; S\; \backslash \; vert=0$.

Si se asume que el teorema verdad para todo el

Primero suponer que tenemos la condición más fuerte el $\backslash \; se\; fue\; \backslash \; vert\; \backslash \; la\; taza\; T\; \backslash \; derecho\; \backslash \; el\; vert\; \backslash \; GE\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; el\; vert\; T\; \backslash \; derecho\; \backslash \; vert+1$ para todo el $\backslash \; emptyset\; \backslash \; ne\; T\; \backslash \; subconjunto\; S$. Escoger cualquier $x\; \backslash \; en\; S\_n$ como el representante de $S\_n$; debemos elegir un SDR de = \ dejado \ {S_1 \ setminus \ {x \}, \ ldots, S_ {n-1} \ setminus \ {x \} \ derecho \} del s del $.\; Pero\; si$ \backslash \; \{S\_\; \{j\_1\}\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{x\; \backslash \},\dots ,\; S\_\; \{j\_k\}\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{x\; \backslash \}\; \backslash \}\; =\; S\text{'}$del\; subseteq\; del\; T\text{'}\backslash \; entonces,\; por\; nuestra\; asunción,\; el$ \backslash \; se\; fue\; \backslash \; la\; derecha\; del\; T\text{'}\backslash \; del\; vert\; \backslash \; de\; la\; taza\; \backslash \; el\; vert\; \backslash \; GE\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; el\; ^\; del\; vert\; \backslash \; del\; cup\_\; \{i=1\}\; \{k\}\; S\_\; \{j\_i\}\; \backslash \; derecho\; \backslash \; vert-1\; \backslash \; GE\; k$.\; Al\; lado\; del\; caso\; ya-probado\; del\; teorema\; para\; el$ S\text{'}\; vemos\; que\; podemos\; escoger\; dehechoun\; SDR\; para\; el$ S\text{'}.$$$

Si no, porque cierto $\backslash \; emptyset\; \backslash \; ne\; T\; \backslash \; subconjunto\; S$ tenemos el ``tamaño exacto del el $\backslash \; se\; fue\; \backslash \; vert\; \backslash \; la\; taza\; T\; \backslash \; derecho\; \backslash \; vert=\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; el\; vert\; T\; \backslash \; derecho\; \backslash \; vert$. $T$ interior sí mismo, porque cualquie subseteq T \ subconjunto S del $T\text{'}\backslash \; que\; tenemos\; el$ \backslash \; se\; fue\; \backslash \; la\; derecha\; del\; T\text{'}\backslash \; del\; vert\; \backslash \; de\; la\; taza\; \backslash \; el\; vert\; \backslash \; GE\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; la\; derecha\; \backslash \; vert$del\; T\text{'}\backslash \; del\; vert,\; tan\; por\; un\; caso\; ya-probado\; del\; teorema\; podemos\; escoger\; un\; SDR\; para$ T$.$

Permanece escoger un SDR para el $S\; \backslash \; el\; setminus\; T$ que evita todos los elementos del $\backslash \; de\; la\; taza\; T$ (estos elementos están en el SDR para $T$). Para utilizar el caso ya-probado del teorema (otra vez) y hacer esto, debemos demostrar que para cualquier subseteq S \ setminus T del $T\text{'}\backslash ,\; incluso\; después\; el\; desecho\; de\; elementos\; del$ \backslash \; de\; la\; taza\; T$sigue\; siendo\; bastante\; elemento\; en$ \backslash \; T\text{'}$de\; la\; taza:\; debemos\; probar\; el$ \backslash \; se\; fue\; \backslash \; vert\; \backslash \; taza\; T\; \backslash \; setminus\; \backslash \; taza\; T\; \backslash \; derecho\; \backslash \; el\; vert\; \backslash \; GE\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; la\; derecha\; \backslash \; vert$del\; T\text{'}\backslash \; del\; vert.$

Pero

el $\backslash \; se\; fue\; \backslash \; vert\; \backslash \; taza\; T\; \backslash \; setminus\; \backslash \; taza\; T\; \backslash \; derecho\; \backslash \; vert$

$=\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; vert\; \backslash \; bigcup\; (T\; \backslash \; taza\; T\text{'})\; \backslash \; derecho\; \backslash \; vert\; -\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; \backslash \; vert\; \backslash \; taza\; T\; \backslash \; derecho\; \backslash \; el\; vert\; \backslash \; GE\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; -\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; \backslash \; vert\; T\; de\; la\; derecha\; \backslash \; del\; vert\; del\; T\text{'}\backslash \; del\; vert\; T\; \backslash \; taza\; \backslash \; derecho\; \backslash \; vert$

el $=\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; el\; vert\; T\; \backslash \; +\; derecho\; \backslash \; del\; vert\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; \backslash \; -\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; \backslash \; vert\; T\; \backslash \; =\; derecho\; \backslash \; del\; vert\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; \backslash \; la\; derecha\; \backslash \; vert$ de la derecha \ del vert del T'\ del vert del T'\ del vert,

usar el disjointness de $T$ y del $T\text{'}.\; Tan\; al\; lado\; de\; un\; caso\; ya-probado\; del\; teorema,\; el$ S\; \backslash \; el\; setminus\; T$tiene\; de\; hecho\; un\; SDR\; cuál\; evita\; todos\; los\; elementos\; del$ \backslash \; de\; la\; taza\; T$,$

Realización de la prueba.

Corolario

Si $G\; (V\_1,\; V\_2,\; E)$ es un gráfico bipartito, después $G$ tiene un completo el emparejar de que el satura cada cima de $V\_1$ si y solamente si $\backslash \; el\; vert\; S\; \backslash \; vert\; \backslash \; leq\; \backslash \; vert\; N\; \backslash \; vert$ para cada $S\; \backslash \; subconjunto\; V\_1$ del subconjunto.

Teoría de gráfico

El teorema de la unión tiene usos en el área de la teoría de gráfico . Formulado en términos teóricos del gráfico el problema se puede indicar como:

Dado un el bipartito G del gráfico : ¿= ( S + T, E ) con el igualmente clasificado S de dos particiones y el T, existe un que empareja perfecto?

El teorema de la unión proporciona la respuesta:

Dejar el $N\_G\; (X)$ denotan la vecindad X en el G . El teorema de la unión (teorema de Pasillo) para la teoría de gráfico indica que existe el emparejar perfecto si y solamente si para cada X del subconjunto del $del\; del\; S\; \backslash |X\; \backslash |\; \backslash \; leq\; \backslash |N\_G\; (X)\; \backslash |$ Es decir cada X del subconjunto tiene bastantes cimas adyacentes en el T .

Una generalización a los gráficos arbitrarios es proporcionada por el teorema de Tutte.

Una declaración más general

Dejar G ser un gráfico bipartito, BIP^N (X, Y), con X y Y clasificados no no necesario igualmente. Entonces G contiene un que empareja de X en la condición del iff Pasillo de Y es satisfied para el X.

Si denotamos el sistema de todas las cimas adyacente por lo menos a un miembro de A por Г (A) (previamente $N\_G\; (A)$), después la condición de Pasillo es ésa para todos los subconjuntos A de X, |Г (A)| $\backslash \; GE$ |A|.

Equivalencias lógicas

Este teorema es parte de una colección de teoremas notable de gran alcance en combinatoria, que son lógicamente equivalentes. Éstos incluyen:
teorema de König
El teorema (1931) de Konig-Egervary ( Dénes Kőnig, Jenő Egerváry )
Teorema (1927) de Menger
El Máximo-Fluir-Minuto-Cortó el teorema (el algoritmo de Ford-Fulkerson)
El teorema (1946) de Birkhoff-Von Neumann
Teorema de Dilworth

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