En la teoría determinada, el teorema del Chantre-Bernstein-Schroeder del, nombrado después del chantre de Jorge, Felix Bernstein, y Ernst Schröder, indica eso, si existen el f de las funciones inyectivas : B del → del A y g : El A del → del B entre el fija el A de y el B, después existe un bijective h de la función : B DEL → DEL A . En términos de cardinalidad de los dos sistemas, esto significa eso si | A | ≤ | B | y | B | ≤ | A |, entonces | A | = | B |; El A y el B reputan el " " equivalente ;. Esto es obviamente una característica muy útil en ordenar de los números cardinales

Prueba

Idea del de la prueba: redefinen el f para ser la función inversa g en la imagen del g para hacerle el Surjective. Sin embargo, esto pudo destruir injectivity, corrige tan este problema iterativo, cambiando de puesto el " del problema; al infinity" y por lo tanto fuera de vista. Más exacto, este significa dejar el f sin cambios inicialmente en el C ₀: = A  \   g . Sin embargo, entonces cada elemento f tiene dos inferior f de Preimages uno y uno bajo   ^{de g del ; - 1}. Por lo tanto, f de la licencia sin cambiar en la unión C ₀ y del C ₁: = ] de g del . Sin embargo, después cada elemento del f tiene dos preimages, corrige esto dejando el f sin cambios en la unión del C ₀, del C ₁, y del C ₂: = ] de g del y así sucesivamente. Dejando el f sin cambios en el contable C de la unión del C ₀ y de todo estos n del _{del C +1} = el ] de g del soluciona el problema, porque el ] de g del es un subconjunto del C y no hay unión adicional necesaria.

Prueba del : definen

$C\_0=A\; \backslash \; setminus\; g,\; \backslash ]\; \backslash patio\backslash \; mbox\; \{para\; todos\}\; n\; \backslash \; GE\; 0,$ del del =g de C_ del qquad {n+1}

y $C=\; del$

l \ ^ del bigcup_ {n=0} \ C_n. infty

Entonces, para cada un   de ; ∈  El A define

$h\; (a)=\; \backslash \; comenzar\; \{los\; casos\}\; f\; (a)\; y\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; a\; \backslash \; en\; C,\; \backslash \; \backslash \; y\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; a\; \backslash \; notin\; C.\; \backslash \; extremo\; \{casos\}$

Si el un no está en el C, después, particularmente, el un no está en el C ₀. Por lo tanto un   de ; ∈  g por la definición del C ₀. Puesto que el g es inyectivo, su   ^{de g preimage; - 1} ( un ) está por lo tanto bien definido.

Permanece comprobar las características siguientes del   del h del mapa;:     del A ; →  B para verificar que sea el bijection deseado:
Surjectivity del

: consideran cualquier   del b ; ∈  B . Si   del b ; ∈  el f , entonces allí es un al   de ; ∈  C con el   del b ; =  f ( un ). Por lo tanto   del b ; =  h ( un ) por la definición del h . Si el b no está en el f , definir el un   de ; =  g ( b ). Por la definición del C ₀, este un no puede estar en el C ₀. Puesto que el f es un subconjunto del f , sigue que el b no está en ningún f , por lo tanto el un   de ; =  el g ( b ) no está en ningún n +1  del _{del C ; = el ] de g del por la definición recurrente de éstos fija. Por lo tanto, el un no está en el C . Entonces   del b ; =   ^{de g del ; - ( un )   1}; = h ( un ) por la definición del h .
Injectivity del}

: puesto que el f es inyectivo en el A, que abarca el C, y   ^{de g del ; - 1} es inyectivo en el g , que abarca el complemento del C, él es suficiente demostrar a eso el   del f ( c ) de la asunción; =   ^{de g del ; - 1} ( un ) para el   del c ; ∈  C y un   de ; ∈    del A ; \   El C lleva a una contradicción (éste significa el problema original, la carencia del injectivity mencionada en la idea de la prueba anteriormente, es solucionado por la definición lista del h ). Desde   del c ; ∈  El C, allí existe un   del n del número entero; ≥  0 tales que   del c ; ∈  n del _{del C . Por lo tanto g ( f ( c )) está en el n +1} del _{del C y por lo tanto en el C, también. Sin embargo, g ( f ( c ))  = g (  ^{de g del ; - 1} ( un ))  =  el un no está en el C - contradicción.}

Observar que la definición antedicha del h es nonconstructive, en el sentido que existe ningún método general del a decidir en un número finito de pasos, porque cualesquiera sistemas dados el A y el B y el f de las inyecciones y el g, si un del elemento un del A no miente en el C . Para los sistemas y los mapas especiales esto pudo, por supuesto, ser posible.

Otra prueba

Debajo sigue una prueba alterna, atribuida al Julio König .

Asumir sin la pérdida de generalidad que el A y el B son desunen . Para cualquier un en el A o el b en el B podemos formar una secuencia bilateral única de elementos que estén alternativo en el A y el B, en varias ocasiones aplicando el $f$ y el $g$ para ir a la derecha y el $g^\; del\; \{-\; 1\}$ y el $f^\; del\; \{-\; 1\}$ para ir a la izquierda (donde definido).

$\backslash \; cdots\; \backslash \; rightarrow\; f^\; \{-\; 1\}\; (g^\; \{-\; 1\}\; (a))\; \backslash \; rightarrow\; g^\; \{-\; 1\}\; (a)\; \backslash \; rightarrow\; a\; \backslash \; rightarrow\; f\; (a)\; \backslash \; rightarrow\; g\; (f\; (a))\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; cdots$

Para cualquier particular un, esta secuencia puede terminar a la izquierda o no, en un punto donde el $f^\; del\; \{-\; 1\}$ o el $g^\; del\; \{-\; 1\}$ no se define.

Llamar tal secuencia (y todos sus elementos) un Uno-tapón del, si para en un elemento del A, o un B-tapón del si para en un elemento del B . Si no, llamarlo doble-infinito si todos los elementos son distintos o el cíclico si repite.

Por el hecho de que el $f$ y el $g$ sean funciones inyectivas, cada un en el A y el b en el B está en exactamente una tal secuencia dentro de la identidad, (como si un elemento ocurra en dos secuencias, todos los elementos a la izquierda y a la derecha deben estar iguales en ambos, por definición).

Por la observación antedicha, las secuencias forman una partición del conjunto de la unión de la desunión del A y del B, por lo tanto es suficiente producir un bijection entre los elementos del A y del B en cada uno de las secuencias por separado.

Para un Uno-tapón del, el $f$ de la función es un bijection entre sus elementos en el A y sus elementos en el B .

Para un B-tapón del, el $g$ de la función es un bijection entre sus elementos en el B y sus elementos en el A .

Para una secuencia doble infinita del o una secuencia cíclica del, el $f$ o el $g$ hará.

Visualización

La definición del h se puede visualizar con el diagrama siguiente.

Se exhiben (desunir) del A de los sistemas y del B junto con las partes del f de los mappings y del g . Si el B del ∪ del A del sistema, junto con los dos mapas, se interpreta como gráfico dirigido, después este gráfico bipartito tiene varios componentes conectados.

Éstos se pueden dividir en cuatro tipos: trayectorias que extienden infinitamente a ambas direcciones, ciclos finitos incluso de la longitud, trayectorias infinitas que comienzan en el A del sistema, y trayectorias infinitas que comienzan en el B del sistema (la trayectoria que pasa a través del del elemento un en el diagrama es infinita en ambas direcciones, así que el diagrama contiene una trayectoria de cada tipo). No es generalmente posible decidir en un número finito de pasos a los cuales el tipo de trayectoria un elemento dado del A o del B pertenezca.

El C del sistema definido arriba contiene exacto los elementos del A que son parte de una trayectoria infinita que comienza en el A . El h del mapa entonces se define de una manera tal que para cada trayectoria rinda un bijection que trace cada elemento del A en la trayectoria a un elemento del B directo antes o después de él en la trayectoria. Para la trayectoria que es infinita en ambas direcciones, y para los ciclos finitos, elegimos trazar cada elemento a su precursor en la trayectoria.

Prueba original

Una prueba anterior del chantre confió, en efecto, en el axioma de la opción deduciendo el resultado como corolario del teorema de Bien-petición . La discusión dada arriba demuestra que el resultado puede ser probado sin usar el axioma de la opción.

El teorema también se conoce como el teorema de Schroeder-Bernstein del, pero la tendencia ha sido agregar el nombre del chantre, así acreditándolo para la versión original. También se llama el teorema del Chantre-Bernstein del .

Ver también

teoremas de Schröder-Bernstein para las álgebra del operador

.

Zenithic

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