l : para entender completamente este artículo que usted puede querer para referir a la porción de la teoría determinada de la tabla de los símbolos matemáticos .

En la teoría determinada elemental, el teorema del chantre del indica que la energía determinado (el determinado de todos los subconjuntos de cualquier A del sistema tiene una cardinalidad terminantemente mayor que el del A . El teorema del chantre es obvio para los sistemas finitos pero asombrosamente es verdad para los sistemas infinitos también. Particularmente, la energía determinado de un sistema contable infinito es el uncountably infinito. El teorema se nombra para el chantre de Jorge, que primero lo indicó y probó.

La prueba

Dejar el f ser cualquier función del A en el fijado energía del A . Para establecer el teorema del chantre debe ser demostrado que el f no es necesario el surjective. Para hacer eso, es bastante para exhibir un subconjunto de A que no esté en la imagen del f . Considerar por ejemplo el subconjunto el $B=\; del$

l \ se fue \ {\, x \ en A: x \ no \ en f (x) \, \ derecho \}.

Para demostrar que el B no está en la imagen del f, suponer el un contrario que el B está en la imagen del f . Entonces para un cierto A del ∈ del x, tenemos f ( x ) = el B . B del ∉ ahora del x del ∈ del B o del x . Si el B, entonces f ( x ) del ∈ del x, solamente de que del ∈ del x implica, por la definición del B, ese B del ∉ del x . Por una parte, si B, entonces B del ∉ del x del ∈ del f ( x ) y por lo tanto del x del ∉ del x . Cualquier manera, conseguimos una contradicción. Esto prueba que el B no está en la imagen del f y que el f no es surjective. Por lo tanto el A y su sistema de la energía no son el equipotente.

Debido a la ocurrencia doble del x en el " de la expresión; " del f ( x ) del ∉ del x ;, esto es una discusión diagonal .

Una explicación detallada de la prueba cuando el X es contable infinito

Para consigamos una manija en la prueba, la examinan para el caso específico cuando el X es el contable infinito. sin la pérdida de la generalidad, podemos tomar el X = el N = {1, 2, 3,…}, el sistema de los números naturales

Suponer que el N es el Bijective con su determinado P ( N ) de la energía . Veamos una muestra de qué P ( N del ) parece: = \ {del $P\; del$

l (\ mathbb {N}) \, varnothing \ {1, 2 \}, \ {1, 2, 3 \}, \ {4 \}, \ {1, 5 \}, \ {3, 4, 6 \}, \ {2, 4, 6,… \},… \}

El P ( N ) contiene subconjuntos infinitos del N, e. el sistema de todos los números pares {2, 4, 6,…}, así como el sistema vacío .

Ahora que tenemos una manija en de lo que tienen gusto los elementos de la mirada del P ( N ), intentemos aparearse de cada elemento del N con cada elemento del P ( N ) para demostrar que estos sistemas infinitos son bijective. Es decir intentaremos aparearnos de cada elemento del N con un elemento del infinito P ( N ) del sistema, de modo que ningún elemento del sistema tampoco infinito siga siendo desparejado. Tal tentativa de aparear elementos parecería esto: el $X\; del$

l \ comienza {Bmatrix} 1 y \ y \ {de Longleftrightarrow 4, 5 \} \ \ 2 y \ y \ {de Longleftrightarrow 1, 2, 3 \} \ \ 3 y \ y \ {de Longleftrightarrow 4, 5, 6 \} \ \ 4 y \ y \ {de Longleftrightarrow 1, 3, 5 \} \ \ \ los vdots y \ los vdots y \ los vdots \ extremo {Bmatrix} P (\ mathbb {N})

Dado tal apareamiento, algunos números naturales se aparean con los subconjuntos que contienen muy el mismo número. Por ejemplo, en nuestro ejemplo el número 2 se aparea con el subconjunto {1, 2, 3}, que contiene 2 como miembro. Llamemos tal de los números egoísta. Otros números naturales se aparean con los subconjuntos que no los contienen. Por ejemplo, en nuestro ejemplo el número 1 se aparea con el subconjunto {4, 5}, que no contiene la llamada del número 1. el no-egoísta de estos números. Asimismo, 3 y 4 son no-egoístas.

Usar esta idea, construyamos un sistema especial de números naturales. Este sistema proporcionará la contradicción que buscamos. Dejar el D ser el sistema de números naturales no-egoístas. Por definición, la energía que el determinado P ( N ) de contiene todos los sistemas de números naturales, y así que de él contiene este D del sistema como elemento. Por lo tanto, el D se debe aparear apagado con un cierto número natural, dice el d . Sin embargo, esto causa un problema. Si el d es egoísta, después el d del número no puede ser un miembro del D, puesto que el D fue definido para contener solamente números no-egoístas. Pero por otra parte el d es no-egoísta, porque no es un miembro del D . ¡Por una parte, si el d es no-egoísta, después… bien, después debe ser contenido en el D, otra vez por la definición del D !

Esto es una contradicción porque el número natural no puede estar tanto en el interior como en el exterior del D al mismo tiempo. Por lo tanto, no hay número natural que se puede aparear con el D, y hemos contradicho nuestra suposición original, que hay un Bijection entre el N y el P ( N ).

A través de esta prueba por la contradicción hemos probado que la cardinalidad del N y del P ( N ) no puede ser igual. También sabemos que la cardinalidad del P ( N ) no puede ser menos que la cardinalidad del N porque el P ( N ) contiene todos los singletons por definición, y estos singletons forma un " copy" del N dentro del P ( N ). Por lo tanto, sigue habiendo solamente una posibilidad, y ésa es la cardinalidad del P ( N ) es terminantemente mayor que la cardinalidad del N, y ésta prueba el teorema del chantre.

Observar que el D del sistema puede ser vacío. Esto significaría que cada número natural x traza a un sistema de números naturales que contenga el X. Entonces, cada número traza a un sistema no vacío y a ningunos mapas del número al sistema vacío. Pero el sistema vacío es un miembro del P ( N ), así que todavía el trazado no cubre el P ( N ).

Historia

El chantre dio esencialmente esta prueba en un papel publicado en el der 1891 de Frage del elementare del eine de Über del Mannigfaltigkeitslehre, donde aparece la discusión diagonal para el uncountability de los reals también primero (él tenía anterior probado el uncountability de los reals por otros métodos ). La versión de esta discusión que él dio en ese papel fue expresada en términos de funciones del indicador en un sistema algo que subconjuntos de un sistema. Él demostró que si el f es una función definida en el X cuyos valores son 2 funciones valoradas en el X, entonces el G ( x ) de la función valorada 2 = 1 − el f ( x ) ( x ) no está en la gama del f .

Russell tiene una prueba muy similar en principios del de las matemáticas (1903, sección 348), donde él demuestra a eso que hay más funciones proposicionales que objetos. " Para suponer una correlación de todos los objetos y de algunas funciones proposicionales para haber sido afectado, y dejar el x de la phi ser el correlativo del x . Entonces " x ( x ), " de la no-phi; es decir " el x de la phi no hace asimiento del " del x ; es una función proposicional no contenida en esta correlación; para ella es verdad o falso del x según como el x de la phi es falso o verdad del x, y por lo tanto diferencia del x de la phi para cada valor del x . " Él atribuye la idea detrás de la prueba al chantre.

El Ernst Zermelo tiene un teorema (que él llame " Theorem" del chantre;) eso es idéntico a la forma arriba en el papel que se convirtió en la fundación de la teoría determinada moderna (" El über de Untersuchungen muere el der Mengenlehre I" de Grundlagen;), publicado en 1908. Ver la teoría determinada de Zermelo.

Para una consecuencia del teorema del chantre, ver los números de Beth

Ver también

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